一次函數(shù)與一元一次方程(不等式)的關(guān)系
一天，小明以80米/分的速度去上學，請問小明離家的距離S（米）與小明出發(fā)的時間t（分）之間的函數(shù)關(guān)系式是怎樣的？它是一次函數(shù)嗎？它是正比例函數(shù)嗎？ S=80t（t≥0）下面的圖象能表示上面問題中的S與t的關(guān)系嗎？
思考 下面3個方程有什么共同點和不同點？你能從函數(shù)的角度對解這3個方程進行解釋嗎？(1)2x＋1＝3; (2)2x＋1＝0； (3)2x＋1＝－1.
可以看出，這3個方程的等號左邊都是2x＋1，等號右邊分別是3, 0, －1.從函數(shù)的角度看，解這3個方程相當于在一次函數(shù)y＝ 2x＋1的函數(shù)值分別為3, 0，－1時，求自變量x的值.或者說，在直線y＝ 2x＋1上取縱坐標分別為3，0,－1的點，看它們的橫坐標分別為多少(如圖). 因為任何一個以x為未知數(shù)的一元一次方程都可以變形為ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解 一元一次方程相當于在某個一次函數(shù)y＝ax＋b的函數(shù)值為0時，求自變量x的值.
一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系： 任何一個以x為未知數(shù)的一元一次方程都可以變形為ax＋b＝0(a≠0，a，b為常數(shù))的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：求一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0，a，b為常數(shù))的函數(shù)值為0時，自變量x的取值；反映在圖象上，就是直線y＝ax＋b與x軸的交點的橫坐標．
特別提醒:(1) 求一次函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標的實質(zhì)就是解一元一次方程；也就是說，“數(shù)”題可用“形”解，“形”題也可用“數(shù)”解.(2) 對于一次函數(shù)y=kx+b（k、b 為常數(shù)， 且k ≠ 0），已知x 的值求y 的值，或已知y 的值求x 的值時，就是把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y或x 的一元一次方程來求解.
利用函數(shù)圖象解出x：3x－2＝x＋4.
先將方程化為ax＋b＝0的形式，再在坐標系中畫出函數(shù)y＝ax＋b的圖象，然后觀察出直線y＝ax＋b與x軸的交點坐標，從而取定所求x的值．
由3x－2＝x＋4得2x－6＝0畫函數(shù)y＝2x－6的圖象，如圖所示，由圖可知，直線y＝2x－6與x軸的交點為(3，0)，所以x＝3.
利用函數(shù)圖象解一元一次方程時，一般需將方程變形為ax＋b＝0的形式，然后通過觀察直線y＝ax＋b與x軸的交點坐標確定方程的解，此求解對作圖的準確性要求較高．
思考 下面3個不等式有什么共同點和不同點？你能從函數(shù)的角度對解這3個不等式進行解釋嗎？(1)3x＋2＞2; (2) 3x＋2＜0； (3) 3x＋2＜－1.
可以看出，這3個不等式的不等號左邊都是3x＋2,而不等號及不等號右邊卻有不同.從函數(shù)的角度看，解這3個不等式相當于在一次函數(shù)y＝3x＋2的函數(shù)值分別大于2、小于0、小于－1時，求自變量x的取值范圍.或者說，在直線y＝3x＋2上取縱坐標分別滿足大于2、小于0、小于－1的點，看它們的橫坐標分別滿足什么條件(如圖). 因為任何一個以x為未知數(shù)的一元一次不等式 都可以變形為ax＋b＞0或ax＋b＜0 (a≠0)的形式，所以解一元一次不等式相當于在某個一次函數(shù) y＝ax＋b的函數(shù)值大于0或小于0時，求自變量x的取值范圍.?
一次函數(shù)和一元一次不等式的聯(lián)系：任何一個以x為未知數(shù)的一元一次不等式都可以變形為ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0,a，b為常數(shù))的形式，所以解一元一次不等式可以看作是求一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0，a，b為常數(shù))的函數(shù)值大于0或小于0時，自變量x的取值范圍；反映在圖象上，就是直線y＝ax＋b在x軸上方的部分或在x軸下方的部分對應的自變量x的取值范圍．
已知函數(shù)y1＝2x－5，y2＝3－2x，求當x取何值時，(1)y1＞y2； (2)y1＝y(tǒng)2； (3)y1＜y2.
方法一：代數(shù)法．(1)y1＞y2，即2x－5＞3－2x，解得x＞2；(2)y1＝y(tǒng)2，即2x－5＝3－2x，解得x＝2；(3)y1＜y2，即2x－5＜3－2x，解得x＜2.所以當x＞2時，y1＞y2；當x＝2時，y1＝y(tǒng)2；當x＜2時，y1＜y2.
解這類題目的關(guān)鍵，是要將比較函數(shù)值的大小的問題轉(zhuǎn)化成解不等式的問題．
方法二：圖象法．在同一直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y1＝2x－5和y2＝3－2x的圖象，如圖所示．由圖象知，兩直線的交點坐標為(2，－1)．觀察圖象可知，當x＞2時，y1＞y2；當x＝2時，y1＝y(tǒng)2；當x＜2時，y1＜y2.
根據(jù)問題可尋找代數(shù)法和圖象法兩種途徑，用代數(shù)法將其轉(zhuǎn)化為解不等式，用圖象法確定一元一次不等式的解集的方法是：先找出直線與坐標軸的交點，畫出函數(shù)的圖象，再觀察圖象，確定兩條直線的交點坐標，最后觀察圖象交點兩側(cè)直線的位置，直接得出不等式的解集．
已知方程 x＋b＝0的解是x＝ －2，下列可能為直線y＝ x＋b的圖象的是 (　　)

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6.2 一次函數(shù)

版本： 蘇科版

年級： 八年級上冊

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