1.熟練掌握均值不等式及其變形的應(yīng)用.
2.會(huì)用均值不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問題.
3.能夠運(yùn)用均值不等式解決生活中的應(yīng)用問題.
相等與不等關(guān)系經(jīng)常會(huì)涉及最大值、最小值問題，而均值不等式可以解決變化中的最值問題，那么在什么條件下可以應(yīng)用均值不等式來求最值呢？這節(jié)課我們就一起來探究一下這個(gè)問題.
利用均值不等式變形求最值
問題1　若兩個(gè)正數(shù)的和為8，那么這兩個(gè)正數(shù)分別是多少時(shí)，其積最大？
問題2　若兩個(gè)正數(shù)的積為16，那么這兩個(gè)正數(shù)分別是多少時(shí)，其和最??？
1.口訣：和定積最大，積定和最小.2.應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)，應(yīng)把握不等式成立的條件：一正二定三相等.
故當(dāng)x＝12，y＝3時(shí)，x＋2y的最小值為18.
即y＝3，x＝12時(shí)，等號(hào)成立，x＋2y的最小值為18.
利用均值不等式的變形求最值的策略(1)應(yīng)根據(jù)已知條件適當(dāng)進(jìn)行“拆”“拼”“湊”“合”“變形”，創(chuàng)造應(yīng)用均值不等式以及使等號(hào)成立的條件.(2)特別注意“1”的代換.
設(shè)x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值.
方法一　由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∴x＋y的最小值是18.
方法二　由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，
均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用
“足寒傷心，民寒傷國(guó)”，精準(zhǔn)扶貧是鞏固溫飽成果、加快脫貧致富、實(shí)現(xiàn)中華民族偉大“中國(guó)夢(mèng)”的重要保障.某地政府在對(duì)山區(qū)鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)實(shí)施精準(zhǔn)扶貧的工作中，準(zhǔn)備投入資金將當(dāng)?shù)剞r(nóng)產(chǎn)品二次加工后進(jìn)行推廣促銷，預(yù)計(jì)該批產(chǎn)品銷售量Q萬件(生產(chǎn)量與銷售量相等)與推廣促銷費(fèi)x萬元之間的函數(shù)關(guān)系為Q＝ (其中推廣促銷費(fèi)不能超過3萬元).已知加工此批農(nóng)產(chǎn)品還要投入成本 萬元(不包含推廣促銷費(fèi)用)，若加工后的每件成品的銷售價(jià)格定為 元/件.那么當(dāng)推廣促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，此批產(chǎn)品的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？(利潤(rùn)＝銷售額－成本－推廣促銷費(fèi))
設(shè)該批產(chǎn)品的利潤(rùn)為y萬元，
∴當(dāng)推廣促銷費(fèi)投入1萬元時(shí)，利潤(rùn)最大為17萬元.
利用均值不等式解決實(shí)際問題的步驟先弄清題意(審題)，建立數(shù)學(xué)模型(列式)，再用所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題(求解)，最后要回應(yīng)題意下結(jié)論(作答).
為了改善居民的居住條件，某城建公司承包了棚戶區(qū)改造工程，按合同規(guī)定在4個(gè)月內(nèi)完成.若提前完成，則每提前一天可獲2 000元獎(jiǎng)金，但要追加投入費(fèi)用；若延期完成，則每延期一天將被罰款5 000元.追加投入的費(fèi)用按以下關(guān)系計(jì)算： 千元，其中x表示提前完工的天數(shù)，試問提前多少天完工，才能使公司獲得最大附加效益？(附加效益＝所獲獎(jiǎng)金－追加費(fèi)用)
設(shè)城建公司獲得的附加效益為y千元，
所以提前11天完工，能使公司獲得最大附加效益.
不等式9x＋ ≥a＋1(常數(shù)a>0)，對(duì)一切正實(shí)數(shù)x成立，求a的取值范圍.
(1)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)的最小值.(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)的最大值.注意：f(x)表示關(guān)于x的代數(shù)式.
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，
(2)已知不等式2x＋m＋ >0對(duì)任意的x>1恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為____________.
∵x>1，∴x－1>0，
∴m>－10，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m>－10}.
1.知識(shí)清單： (1)已知x，y是正數(shù)，“和定積最大，積定和最小”. (2)求解應(yīng)用題的方法與步驟. ①審題，②建模(列式)，③求解，④作答. (3)均值不等式的綜合應(yīng)用.2.方法歸納：常數(shù)代換法.3.常見誤區(qū)：缺少等號(hào)成立的條件.
2.將一根鐵絲切割成三段做一個(gè)面積為2 m2、形狀為直角三角形的框架，在下列四種長(zhǎng)度的鐵絲中，選用最合理(夠用且浪費(fèi)最少)的是A.6.5 m　　　B.6.8 m　　　C.7 m　　　D.7.2 m
∵要求夠用且浪費(fèi)最少.∴選用7 m的鐵絲.
3.已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，則xy的最大值為______.
因?yàn)閤>0，y>0,2x＋3y＝6，
1.(多選)下列求最值的運(yùn)算中，運(yùn)算方法錯(cuò)誤的有
對(duì)于A中，根據(jù)均值不等式，可判定是正確的；
對(duì)于D中，兩次均值不等式的等號(hào)成立條件不相同，第一次是x＝4y，第二次是x＝y(tǒng)，所以D不正確.
2.若對(duì)于任意x>1，　　 ≥a恒成立，則a的最大值是A.4　　　B.6　　　C.8　　　D.10
即x＝3時(shí)，“＝”成立，∴a≤6.則a的最大值是6.
3.(多選)小王從甲地到乙地往返的速度分別為a和b(a0，b>0， ，若不等式2a＋b≥9m恒成立，則m的最大值為A.8　　　B.7　　　C.6　　　D.5
∴9m≤54，即m≤6.∴m的最大值為6.
5.某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成正比.如果在距離車站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站A.5千米處 B.4千米處C.3千米處 D.2千米處
設(shè)倉(cāng)庫(kù)與車站的距離為d千米，
∴k1＝20，k2＝0.8，
即d＝5時(shí)，等號(hào)成立.
6.若a，b∈(0，＋∞)，滿足a＋b＋3＝ab，則a＋b的取值范圍是___________.
∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào).
7.若不等式x2－ax＋1≥0對(duì)一切x∈(0，＋∞)恒成立，則a的取值范圍是___________.
8.為凈化水質(zhì)，向一個(gè)游泳池加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中該藥品的濃度C(單位：mg·L－1)隨時(shí)間t(單位：h)的變化關(guān)系為C＝　 　，則經(jīng)過____ h后池水中該藥品的濃度達(dá)到最大，最大濃度是____mg·L－1.
所以經(jīng)過2 h后池水中該藥品的濃度達(dá)到最大，最大濃度為5 mg·L－1
＝10＋2×3＝16，
即b＝3a時(shí)等號(hào)成立.
∴a＝4，b＝12.這兩個(gè)數(shù)分別是4,12.
10.如圖，動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.現(xiàn)有36 m長(zhǎng)的鋼筋網(wǎng)材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬分別設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？
設(shè)每間虎籠長(zhǎng)x m，寬y m，則由條件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.設(shè)每間虎籠面積為S，則S＝xy.
當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時(shí)，等號(hào)成立.
故每間虎籠長(zhǎng)為4.5 m，寬為3 m時(shí)，可使每間虎籠面積最大.
∵01，∴a－1>0，∵a＋b＝2，∴(a－1)＋b＝1.
12.若正數(shù)x，y滿足x2＋3xy－1＝0，則x＋y的最小值是
由x2＋3xy－1＝0，
13.如圖，有一張單欄的豎向張貼的海報(bào)，它的印刷面積為72 dm2(圖中陰影部分)，上下空白各寬2 dm，左右空白各寬1 dm，則四周空白部分面積的最小值是______dm2.
四周空白部分的面積是y dm2.
即x＝12時(shí)等號(hào)成立.
14.如圖，在半徑為4(單位：cm)的半圓形(O為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD，其頂點(diǎn)A，B在直徑上，頂點(diǎn)C，D在圓周上，則矩形ABCD面積的最大值為_______(單位：cm2)，此時(shí)矩形的長(zhǎng)、寬比是________.
如圖所示，連接OC，設(shè)OB＝x(0c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0.

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2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用

版本： 人教B版 (2019)

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