第2課時　空間中直線、平面的平行
第一章　1.4.1　用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系
學習目標
1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.
2.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的平行關(guān)系.
導語
觀察圖片，旗桿底部的平臺和地面平行，旗桿所在的直線和護旗戰(zhàn)士所在的直線平行.旗桿所在直線的方向向量和護旗戰(zhàn)士所在直線的方向向量有什么關(guān)系？
內(nèi)容索引
直線和直線平行

一
問題1　由直線與直線的平行關(guān)系，可以得到直線的方向向量具有什么關(guān)系？
提示　平行.
知識梳理
設u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2? ??λ∈R，使得u1＝ .
u1∥u2
λu2
(1)此處不考慮線線重合的情況.(2)證明線線平行的兩種思路：①用基向量表示出要證明的兩條直線的方向向量，通過向量的線性運算，利用向量共線的充要條件證明.②建立空間直角坐標系，通過坐標運算，利用向量平行的坐標表示.
注意點：
在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，點M在棱BB1上，且BM＝2MB1，點S在棱DD1上，且SD1＝2SD，點N，R分別為棱A1D1，BC的中點.求證：MN∥RS.
方法一　如圖所示，建立空間直角坐標系，
所以MN∥RS.
又R?MN，所以MN∥RS.
利用向量證明線線平行的思路證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可.
反思感悟
如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1和BB1的中點.求證：四邊形AEC1F是平行四邊形.
如圖，以點D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
又∵F?AE，F(xiàn)?EC1，
∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四邊形AEC1F是平行四邊形.
直線和平面平行

二
問題2　觀察下圖，直線l與平面α平行，u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，u與n有什么關(guān)系？
提示　垂直.
知識梳理
設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u n? .
u·n＝0
⊥
(1)證明線面平行的關(guān)鍵看直線的方向向量與平面的法向量垂直.(2)特別強調(diào)直線在平面外.
注意點：
在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點.證明：PA∥平面EDB.
如圖所示，建立空間直角坐標系，D是坐標原點，設PD＝DC＝a.連接AC，交BD于點G，連接EG，
方法一　設平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，
又PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法二　因為四邊形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.
所以PA∥平面EDB.
延伸探究　如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝ AD＝1.問：在棱PD上是否存在一點E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E點的位置，若不存在，請說明理由.
分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖.則P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0).假設在棱PD上存在符合題意的點E，
∴－y－2(z－1)＝0. ①
∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0.
∴E是PD的中點，即存在點E為PD的中點時，CE∥平面PAB.
利用空間向量證明線面平行一般有三種方法：(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一組基底表示.(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證.(3)先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.
反思感悟
在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點，求證：AB∥平面DEG.
∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE.又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA兩兩垂直.以點E為坐標原點，EB，EF，EA所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)，
設平面DEG的法向量為n＝(x，y，z)，
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，則n＝(－1,1，－1)，
∵AB?平面DEG，∴AB∥平面DEG.
平面和平面平行

三
問題3　觀察下圖，平面α，β平行，n1，n2分別是平面α，β的法向量，n1與n2具有什么關(guān)系？
提示　平行.
知識梳理
設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β? ??λ∈R，使得 .
n1∥n2
n1＝λn2
已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點，求證：平面ADE∥平面B1C1F.
建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,0,1)，B1(2,2,2)，
設n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的一個法向量，
令z1＝2，則y1＝－1，所以可取n1＝(0，－1,2).同理，設n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個法向量.
令z2＝2，得y2＝－1，所以可取n2＝(0，－1,2).因為n1＝n2，即n1∥n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思感悟
證明面面平行問題的方法(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行.(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進行證明.
如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F(xiàn)是棱AB的中點.求證：平面AA1D1D∥平面FCC1.
因為AB＝4，BC＝CD＝2，F(xiàn)是棱AB的中點，所以BF＝BC＝CF，所以△BCF為正三角形.因為平面ABCD為等腰梯形，所以∠BAD＝∠ABC＝60°.取AF的中點M，連接DM，則DM⊥AB，所以DM⊥CD.以D為原點，DM，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA?平面AA1D1D，CC1，CF?平面FCC1，所以平面AA1D1D∥平面FCC1.
課堂小結(jié)
1.知識清單： (1)線線平行的向量表示. (2)線面平行的向量表示. (3)面面平行的向量表示.2.方法歸納：坐標法、轉(zhuǎn)化化歸.3.常見誤區(qū)：通過向量和平面平行直接得到線面平行，忽略直線不在平面內(nèi)的條件.
隨堂演練

1.已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y) 分別是直線l1，l2 的方向向量，若l1∥l2 ，則
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2.(多選)若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是A.a＝(1,0,0)，n＝(0，－2,0)B.a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C.a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D.a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
√
√
若l∥α，則a·n＝0.而A中a·n＝0，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，D中a·n＝－3＋3＝0.
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3.設平面α，β的一個法向量分別為u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，則α，β的位置關(guān)系為_____.
平行
∵v＝－3(1,2，－2)＝－3u，∴α∥β.
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4.已知直線l∥平面ABC，且l的一個方向向量為a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，則實數(shù)m的值是_____.
－3
∵l∥平面ABC，
∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)＝(x，y，－x－y)，
課時對點練

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因為n＝－3m，所以m∥n，所以α∥β或α與β重合.
3.已知直線l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，則l與α的位置關(guān)系是A.l⊥α B.l∥αC.l與α相交但不垂直 D.l∥α或l?α
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因為a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u.所以l∥α或l?α.
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4.(多選)下列結(jié)論正確的是A.直線的方向向量是唯一確定的B.平面的單位法向量是唯一確定的C.若兩平面的法向量平行，則兩平面平行D.若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行
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對于A，與直線平行的任何非零向量都是直線的方向向量，A不正確；對于B，與平面垂直的直線的方向向量都是平面的法向量，法向量方向不唯一，則平面的單位法向量也不唯一，B不正確；對于C，兩平面的法向量平行，即這兩平面可以垂直于同一直線，則兩平面平行，C正確；對于D，若兩直線平行，則它們的方向向量平行，與已知兩直線的方向向量不平行矛盾，即兩直線平行是錯的，則兩直線不平行，D正確.
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5.已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，則λ的值是
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∵α∥β，∴α的法向量與β的法向量也互相平行.
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6.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為A1B，AC的中點，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定
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根據(jù)題意建立空間直角坐標系如圖，設正方體的棱長為2，則A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)，∴M(2,1,1)，N(1,1,2)，∴ ＝(－1,0,1).又平面BB1C1C的一個法向量為n＝(0,1,0)，∴ ·n＝－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴ ⊥n，
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又∵MN?平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.
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7.已知平面α內(nèi)的三點A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個法向量為n＝(－1，－1，－1)，且β與α不重合，則β與α的位置關(guān)系是_____.
α∥β
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＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，
＝－1×1＋0＋(－1)×(－1)＝0，
∴n也為α的一個法向量，又α與β不重合，∴α∥β.
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9.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F(xiàn)分別為A1C1和BC的中點.求證：C1F∥平面ABE.
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以B為坐標原點，以BC，BA，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設BC＝a，AB＝b，BB1＝c，
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設平面ABE的一個法向量為n＝(x，y，z)，
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又C1F?平面ABE，所以C1F∥平面ABE.
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10.如圖所示，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分別是PC，AB，CD的中點.(1)求證：MN∥平面PAD；
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如圖所示，以A為原點，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設AB＝b，AD＝PA＝d，
則B(b,0,0)，D(0，d,0)，P(0,0，d)，C(b，d,0)，因為M，N，Q分別是PC，AB，CD的中點，所以
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(2)求證：平面QMN∥平面PAD.
11.如圖，在正方體AC1中，PQ與直線A1D和AC都垂直，則直線PQ與BD1的關(guān)系是A.異面直線B.平行直線C.垂直不相交D.垂直且相交
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∴PQ∥BD1.
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設M(a，a,1)，平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，
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方法二　如圖，設AC與BD相交于O點，連接OE，由AM∥平面BDE，且AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，所以AM∥EO，又O是正方形ABCD對角線的交點，所以M為線段EF的中點.
13.(多選)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點，平行六面體的各棱長均相等.下列結(jié)論中正確的是A.A1M∥D1PB.A1M∥B1QC.A1M∥平面DCC1D1D.A1M∥平面D1PQB1
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又B1Q與D1P不平行，故B不正確.
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14.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P為線段D1B上的動點，M，N分別為棱BC，AB的中點，若DP∥平面B1MN，則 ＝___.
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不妨令x＝－2，則n＝(－2，－2,1).
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15.在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為CC1的中點，P，Q是正方體表面上相異兩點，滿足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.(1)若P，Q均在平面A1B1C1D1內(nèi)，則PQ與BD的位置關(guān)系是____；
平行
以D為原點，以DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則A1(1,0,1)，E ，B(1,1,0)，因為P，Q均在平面A1B1C1D1內(nèi)，所以設P(a，b,1)，Q(m，n,1)，
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因為BP⊥A1E，BQ⊥A1E，
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所以PQ與BD的位置關(guān)系是平行.
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16.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面PAO?
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如圖所示，以D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，在CC1上任取一點Q，連接BQ，D1Q.設正方體的棱長為1，
A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，設Q(0,1，m).
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BD1＝(－1，－1,1)，
于是OP∥BD1.
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故當Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO.
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設平面PAO的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
取x1＝1，則n1＝(1,1,2).
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設平面D1BQ的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，
取z2＝1，則n2＝(m,1－m,1).要使平面D1BQ∥平面PAO，需滿足n1∥n2，
故當Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO.

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高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

1.4 空間向量的應用

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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