第3課時(shí)　空間中直線、平面的垂直
第一章　1.4.1　用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.
2.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的垂直關(guān)系.
導(dǎo)語
在上一節(jié)中，我們可以用向量來表示空間中直線、平面之間的平行關(guān)系，當(dāng)直線、平面垂直時(shí)如何用向量表示呢？
內(nèi)容索引
直線和直線垂直

一
問題1　如圖，直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，直線l1，l2垂直時(shí)，u1，u2之間有什么關(guān)系？
提示　垂直.
知識(shí)梳理
設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2? ? ＝0.
u1⊥u2
u1·u2
(1)兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量相互垂直.(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐標(biāo)法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數(shù)量積為0.
注意點(diǎn)：
如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn)，且CN＝ CC1.求證：AB1⊥MN.
方法二　設(shè)AB的中點(diǎn)為O，作OO1∥AA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知得
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴AB1⊥MN.
證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直.
反思感悟
如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E是PC的中點(diǎn).求證：CD⊥AE.
方法一　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
方法二　∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.又AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴CD⊥平面PAC.∵AE?平面PAC，∴CD⊥AE.
直線與平面垂直

二
問題2　如圖，設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，當(dāng)直線l垂直平面α?xí)r，u，n之間有什么關(guān)系？
提示　平行(共線).
設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，則l⊥α? ??λ∈R，使得 .
知識(shí)梳理
u＝λn
u∥n
(1)若證明線面垂直，即證明直線的方向向量與平面的法向量平行.(2)證明線面垂直的方法：①基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論.②坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)，證明直線的方向向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論.③法向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo)，然后說明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結(jié)論.
注意點(diǎn)：
如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn).求證：EF⊥平面B1AC.
設(shè)正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(1,1,2).∴ ＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1). ＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)， ＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0).設(shè)平面B1AC的法向量為n＝(x，y，z)，
令x＝1得n＝(1,1，－1)，∴ ＝－n，∴ ∥n，∴EF⊥平面B1AC.
證明直線與平面垂直的方法：(1)選基底，將相關(guān)向量用基底表示出來，然后利用向量的計(jì)算來證明.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)(坐標(biāo))的運(yùn)算，以達(dá)到證明的目的.
反思感悟
如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點(diǎn).求證：EF⊥平面PAB.
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC，DA，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)DA＝1，E(a,0,0)，其中a＞0，
所以EF⊥PB，EF⊥AB.又PB?平面PAB，AB?平面PAB，PB∩AB＝B，所以EF⊥平面PAB.
平面與平面垂直

三
問題3　設(shè)n1，n2 分別是平面α，β的法向量，當(dāng)平面α垂直于平面β時(shí)，n1，n2之間有什么關(guān)系？
提示　垂直.
設(shè)n1，n2 分別是平面α，β的法向量，則α⊥β? ? ＝0.
知識(shí)梳理
n1⊥n2
n1·n2
利用空間向量證明面面垂直通常有兩個(gè)途徑：一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個(gè)平面的法向量，由兩個(gè)法向量垂直，得面面垂直.
注意點(diǎn)：
如圖，在正三棱錐P－ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點(diǎn)，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求證：平面EFG⊥平面PBC.
方法一　如圖，以三棱錐的頂點(diǎn)P為原點(diǎn)，以PA，PB，PC所在直線分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.令PA＝PB＝PC＝3，則P(0,0,0)，A(3,0,0)，F(xiàn)(0,1,0)，G(1,1,0)，
而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
方法二　同方法一，建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,0)，A(3,0,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，G(1,1,0).
設(shè)平面EFG的法向量為n＝(x，y，z)，
即n＝(0,1，－1).
即平面PBC的法向量與平面EFG的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC.
延伸探究　如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.(1)求證：AC⊥BF；
∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF?平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.∵AC?平面ABCD，∴AF⊥AC.過A作AH⊥BC于H(圖略)，
∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB.∵AB∩AF＝A，AB，AF?平面FAB，
∴AC⊥平面FAB.∵BF?平面FAB，∴AC⊥BF.
存在.理由如下：
假設(shè)在線段BE上存在一點(diǎn)P滿足題意，則易知點(diǎn)P不與點(diǎn)B，E重合，
設(shè)平面PAC的法向量為m＝(x，y，z).
反思感悟
證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明.(2)法向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直.
如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝ PD.證明：平面PQC⊥平面DCQ.
如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長為單位長，射線DA，DP，DC分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.則D(0,0,0)，Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，DQ，DC?平面DCQ，
∴PQ⊥平面DCQ，又PQ?平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.
課堂小結(jié)
1.知識(shí)清單： (1)直線與直線垂直的向量表示. (2)直線與平面垂直的向量表示. (3)平面與平面垂直的向量表示.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法、法向量法.3.常見誤區(qū)：直線的方向向量、平面的法向量的關(guān)系與線面間的垂直關(guān)系的對(duì)應(yīng)易混.
隨堂演練

1.若平面α，β的法向量分別為a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，則α與β的位置關(guān)系是A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.無法確定
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√
a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.
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2.已知平面α的法向量為a＝(1,2，－2)，平面β的法向量為b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，則k等于A.4 B.－4 C.5 D.－5
√
∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.
3.如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F(xiàn)分別為PB，AD的中點(diǎn)，則直線EF與平面PBC的位置關(guān)系是_____.
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垂直
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以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，
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是
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如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于BC的直線為x軸，AC，AS所在直線分別為y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
所以SC⊥BC.
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練

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1.設(shè)l1的一個(gè)方向向量為a＝(1,3，－2)，l2的一個(gè)方向向量為b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，則m等于
√
因?yàn)閘1⊥l2，所以a·b＝0，即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，
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2.設(shè)a，b分別是兩條直線a，b上的向量方向，α，β是兩個(gè)平面，且a⊥α，b⊥β，則“α⊥β”是“a⊥b”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
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a⊥α，b⊥β，則a是平面α的一個(gè)法向量，b是平面β的一個(gè)法向量，則由a⊥b得α⊥β，必要性滿足，反之若α⊥β，則法向量a⊥b，充分性滿足，應(yīng)是充要條件.
3.已知點(diǎn)A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為A.(1,0，－2) B.(1,0,2) C.(－1,0,2) D.(2,0，－1)
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聯(lián)立①②得x＝－1，z＝2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1,0,2).
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4.已知向量a，b是平面α的兩個(gè)不相等的非零向量，非零向量c是直線l的一個(gè)方向向量，則“c·a＝0且c·b＝0”是“l(fā)⊥α”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
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當(dāng)a，b不共線時(shí)，由c·a＝0且c·b＝0，可推出l⊥α；當(dāng)a，b為共線向量時(shí)，由c·a＝0且c·b＝0，不能夠推出l⊥α，所以“c·a＝0且c·b＝0”是“l(fā)⊥α”的不充分條件；若l⊥α，則一定有c·a＝0且c·b＝0，所以“c·a＝0且c·b＝0”是“l(fā)⊥α”的必要條件.
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5.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于A.BD B.AC C.A1D D.A1A
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以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).設(shè)正方體的棱長為1，則C(0,1,0)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C1(0,1，1)，A1(1,0,1)，E ，
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∴CE⊥BD.
∴CE與AC，A1D，A1A均不垂直.
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6.(多選)給出下列命題，其中是真命題的是A.若直線l的方向向量a＝(1，－1,2)，直線m的方向向量b＝ ， 則l與m垂直B.若直線l的方向向量a＝(0,1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)， 則l⊥αC.若平面α，β的法向量分別為n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，則α⊥βD.若平面α經(jīng)過三點(diǎn)A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1，2,0)，向量n＝(1，u， t)是平面α的法向量，則u＋t＝1
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則a⊥b，所以直線l與m垂直，故A是真命題；對(duì)于B，a·n＝0，則a⊥n，所以l∥α或l?α，故B是假命題；對(duì)于C，n1·n2＝6，所以α⊥β不成立，故C是假命題；
因?yàn)橄蛄縩＝(1，u，t)是平面α的法向量，
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得u＋t＝1，故D是真命題.
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7.在空間直角坐標(biāo)系中，已知Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(－3，－2,1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x,0)，則x的值為_____.
0或9
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∵A(－3，－2,1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x,0)，
分三種情況：
綜上，x的值為0或9.
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8.在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1).若向量n與平面ABC垂直，且|n|＝ ，則n的坐標(biāo)為_______________________.
(－2,4,1)或(2，－4，－1)
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設(shè)n＝(x，y，z)，∵n與平面ABC垂直，
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解得y＝4或y＝－4.當(dāng)y＝4時(shí)，x＝－2，z＝1；當(dāng)y＝－4時(shí)，x＝2，z＝－1.∴n的坐標(biāo)為(－2,4,1)或(2，－4，－1).
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9.如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，設(shè)P為AC的中點(diǎn)，Q在AB上，且AB＝3AQ，證明：PQ⊥OA.
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如圖，連接OP，OQ，PQ，取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OC所在直線分別為x軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則A(1,0,0)，C(0,0,1)，
∵P為AC的中點(diǎn)，
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10.如圖，在四棱錐E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°，求證：平面ADE⊥平面ABE.
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取BE的中點(diǎn)O，連接OC，因?yàn)锳B⊥平面BCE，所以以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示).
設(shè)平面ADE的法向量為n＝(a，b，c)，
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又AB⊥平面BCE，OC?平面BCE，所以AB⊥OC.因?yàn)锽E⊥OC，AB∩BE＝B，AB，BE?平面ABE，所以O(shè)C⊥平面ABE.所以平面ABE的法向量可取為m＝(1,0,0).
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所以平面ADE⊥平面ABE.
11.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝ A1D，AF＝ AC，則A.EF至多與A1D，AC中的一個(gè)垂直B.EF⊥A1D，EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面
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如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則A1(1，0,1)，D(0,0,0)，
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從而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.
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12.如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，當(dāng)BF⊥PE時(shí)，AF∶FD的比值為A.1∶2 B.1∶1C.3∶1 D.2∶1
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以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，PA＝a，
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，y,0)，
因?yàn)锽F⊥PE，
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所以F為AD的中點(diǎn)，所以AF∶FD＝1∶1.
13.(多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線OMA.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D.與AC，MN都不垂直
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以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).設(shè)正方體的棱長為2a，則M(0,0，a)，A(2a,0,0)，C(0,2a,0)，O(a，a,0)，N(0，a,2a).
∴OM⊥MN，OM⊥AC，OM和AA1顯然不垂直.
14.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB＝2，E是PB的中點(diǎn)，cos .
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(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是______；
(1,1,1)
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以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，由已知平面ABCD是邊長為2的正方形，設(shè)DP＝t(t>0)，則D(0,0,0)，P(0,0，t)，A(2，0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，
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故E(1,1,1).
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(2)在底面ABCD內(nèi)求一點(diǎn)F，使EF⊥平面PCB，則點(diǎn)F的坐標(biāo)是__________________.
(1,0,0)(答案不唯一)
故F(1,0,0).
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15.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中點(diǎn)，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn)，若點(diǎn)Q在線段B1P上，則下列結(jié)論正確的是A.當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的中點(diǎn)時(shí)，DQ⊥平面A1BDB.當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的三等分點(diǎn)時(shí)，DQ⊥平面A1BDC.在線段B1P的延長線上，存在一點(diǎn)Q，使得DQ⊥ 平面A1BDD.不存在DQ與平面A1BD垂直
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以A1為坐標(biāo)原點(diǎn)，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，B(1,0,1)，
設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
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取z＝－2，則x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一個(gè)法向量為n＝(2,1，－2).
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但此方程關(guān)于λ無解.故不存在DQ與平面A1BD垂直.
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16.如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，點(diǎn)O，D分別是AC，PC的中點(diǎn)，OP⊥底面ABC.(1)求證：OD∥平面PAB；
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連接OB，∵OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC，∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP，以O(shè)為原點(diǎn)，射線OA，OB，OP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).
設(shè)OP＝h(h>0)，則P(0,0，h).
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∵D為PC的中點(diǎn)，
即OD∥PA，又PA?平面PAB，OD?平面PAB，∴OD∥平面PAB.
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(2)當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？
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∵OG⊥平面PBC，
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反之，當(dāng)k＝1時(shí)，三棱錐O－PBC為正三棱錐，此時(shí)O在平面PBC內(nèi)的射影為△PBC的重心.

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