第2課時　空間向量基本定理的初步應(yīng)用
第一章　§1.2　空間向量與立體幾何
學(xué)習(xí)目標
1.會用基底表示空間向量.
2.初步體會利用空間向量基本定理求解立體幾何問題的方法.
導(dǎo)語
“道生一，一生二，二生三，三生萬物”這句話出自老子《道德經(jīng)》，它表示“道”生萬物從少到多，從簡單到復(fù)雜的一個過程.聯(lián)系到我們學(xué)過的平面向量基本定理，可以概括為給出一個二維的基底可以生成平面中所有的向量；推廣到三維空間，仍然為給出一個三維的基底，可以生成空間中的所有向量.
內(nèi)容索引
證明平行、共面問題

一
知識梳理
1.對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使 .2.如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝ .3.直線平行和點共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題.
a＝λb
xa＋yb
如圖，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，G分別是A′D′，DD′，D′C′的中點，請選擇恰當?shù)幕紫蛄孔C明：(1)EG∥AC；
又EG，AC無公共點，所以EG∥AC.
(2)平面EFG∥平面AB′C.
又FG，AB′無公共點，所以FG∥AB′.又FG?平面AB′C，AB′?平面AB′C，所以FG∥平面AB′C.又由(1)知EG∥AC，AC?平面AB′C，EG?平面AB′C，
可得EG∥平面AB′C，又FG∩EG＝G，F(xiàn)G，EG?平面EFG，所以平面EFG∥平面AB′C.
證明平行、共面問題的思路(1)利用向量共線的充要條件來證明點共線或直線平行.(2)利用空間向量基本定理證明點線共面或線面平行.
反思感悟
求證：A，E，C1，F(xiàn)四點共面.
計算夾角、垂直問題

二
問題　如何利用空間向量解決空間幾何中的垂直問題，以及求解夾角問題？
提示(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.　
區(qū)分向量的夾角與異面直線所成的角的范圍.
注意點：
在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，BD的中點，點G在棱CD上，且CG＝ CD.(1)證明：EF⊥B1C；
則{i，j，k}構(gòu)成空間的一個正交基底.
所以EF⊥B1C.
(2)求EF與C1G所成角的余弦值.
延伸探究　設(shè)在這個正方體中線段A1B的中點為M，證明：MF∥B1C.
又MF，B1C無公共點，所以MF∥B1C.
反思感悟
(1)已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_____.
如圖所示，
(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G，H分別是CC1，BC，CD和A1C1的中點.證明：①AB1∥GE，AB1⊥EH；
則{i，j，k}構(gòu)成空間的一個單位正交基底.
∴AB1∥GE.
∴AB1⊥EH.
②A1G⊥平面EFD.
∴A1G⊥DF.
∴A1G⊥DE.又DE∩DF＝D，DE，DF?平面EFD，∴A1G⊥平面EFD.
課堂小結(jié)
1.知識清單： (1)空間向量基本定理. (2)空間向量共線、共面的充要條件. (3)向量的數(shù)量積及應(yīng)用.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸.3.常見誤區(qū)： (1)向量夾角和線線角的范圍不同，不要混淆. (2)轉(zhuǎn)化目標不清：表示向量時沒有轉(zhuǎn)化目標，不理解空間向量基本定理的意義.
隨堂演練

1.在棱長為1的正四面體ABCD中，直線AB與CDA.相交 B.平行C.垂直 D.無法判斷位置關(guān)系
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2.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為AB，B1C的中點，若AB＝a，則MN的長為
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3.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F(xiàn)，G分別是DC，AB，CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成角的余弦值為
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根據(jù)題意可得，
故其所成角的余弦值為0.
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4.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，則線段AC1的長度是____.
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課時對點練

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1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，則AC1與CE的位置關(guān)系是A.重合 B.垂直C.平行 D.無法確定
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設(shè)正方體的棱長為1，
2.已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，CC1＝2，AA1與AB，AC都成60°角，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為
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則a·b＝0，a·c＝2，b·c＝2，
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3.已知l，m是異面直線，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m且AB＝2，CD＝1，則異面直線l，m所成的角等于A.30° B.45° C.60° D.90°
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所以異面直線l，m所成的角等于60°.
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5.如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2 ，則SC與AB所成角的大小為A.90° B.60°C.45° D.30°
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因為SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以a·c＝0，又AB⊥BC，AB＝BC＝2，所以∠BAC＝45°，AC＝2 .
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所以SC與AB所成角的大小為60°.
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∵AM⊥平面BCD，MC?平面BCD，∴AM⊥MC，
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7.正四面體ABCD中，M，N分別為棱BC，AB的中點，則異面直線DM與CN所成角的余弦值為___.
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由題意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，
且p，q，r三向量兩兩夾角均為60°.
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9.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1D1，D1D的中點，正方體的棱長為1.
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10.如圖，已知在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，BB′的中點.(1)求證：CE⊥A′D；
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根據(jù)題意，得|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0.
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(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值.
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12.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點，則異面直線EF和BC1所成的角是A.30° B.45° C.90° D.60°
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因為點E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點，
設(shè)所求異面直線的夾角為θ ，
所以θ＝60°.
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13.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中點，N是A1B1的中點，則直線ON與AM的位置關(guān)系是A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.無法判斷
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14.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC1與B1C相交于點O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，則線段AO的長度為
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∵四邊形BCC1B1是平行四邊形，
∵∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，∴a2＝b2＝4，c2＝9，a·b＝0，a·c＝b·c＝3×2×cos 60°＝3，
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15.在如圖所示的平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N為A1D1上一點，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，則λ的值為______.
設(shè)AB＝1，因為BD⊥AN，
所以(b－a)·(c＋λb)＝0，
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16.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中點，O是底面ABCD的中心.求證：OB1⊥平面PAC.
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如圖，連接BD，則BD過點O，
設(shè)|a|＝|b|＝|c|＝1，
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又AC∩AP＝A，AC，AP?平面PAC，∴OB1⊥平面PAC.

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1.2 空間向量基本定理

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