通過對空間向量的學(xué)習(xí)，能熟練利用空間向量求點、線、面間的距離、空間角及解決有關(guān)探索性問題.
如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點M在線段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝ ，AB＝4.(1)求證：M為PB的中點；
如圖，設(shè)AC，BD的交點為E，連接ME.∵PD∥平面MAC，PD?平面PDB，平面MAC∩平面PDB＝ME，∴PD∥ME.∵四邊形ABCD是正方形，∴E為BD的中點.∴M為PB的中點.
(2)求平面BPD與平面APD的夾角；
取AD的中點O，連接OP，OE.∵PA＝PD，∴OP⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP?平面PAD，∴OP⊥平面ABCD.∵OE?平面ABCD，∴OP⊥OE.∵底面ABCD是正方形，∴OE⊥AD.
設(shè)平面BDP的一個法向量為n＝(x，y，z)，
又平面APD的一個法向量為p＝(0,1,0)，
∴平面BPD與平面APD的夾角為60°.
(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
設(shè)直線MC與平面BDP所成角為α，
運用空間向量坐標(biāo)運算求空間角的一般步驟(1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求出相關(guān)點的坐標(biāo)；(3)寫出向量坐標(biāo)；(4)結(jié)合公式進(jìn)行論證、計算；(5)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.
如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABEF為正方形，AF⊥DF，AF＝ FD，∠DFE＝∠CEF＝45°.(1)求異面直線BC，DF所成角的大??；
因為四邊形ABEF為正方形，AF⊥DF，所以AF⊥平面DCEF.又∠DFE＝∠CEF＝45°，所以在平面DCEF內(nèi)作DO⊥EF，垂足為點O，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OF所在的直線為x軸，OD所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示).
D(0,0，a)，F(xiàn)(a,0,0)，B(－3a,4a,0)，C(－2a,0，a).
(2)求平面BDE與平面BEC夾角的余弦值.
設(shè)平面BDE的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
取x1＝1得平面BDE的一個法向量為n1＝(1,0，－3)，設(shè)平面BEC的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，
取x2＝1得平面BEC的一個法向量為n2＝(1,0，－1)，設(shè)平面BDE與平面BEC的夾角為θ，
已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求點B到平面EFG的距離.
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，則G(0,0,2)，E(4，－2，0)，F(xiàn)(2，－4,0)，B(4,0,0)，
設(shè)平面EFG的法向量為n＝(x，y，z).
∴x＝－y，z＝－3y.取y＝1，則n＝(－1,1，－3).
如圖，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝ ，求點A到平面MBC的距離.
如圖，取CD的中點O，連接OB，OM，因為△BCD與△MCD均為正三角形，所以O(shè)B⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，平面MCD∩平面BCD＝CD，OM?平面MCD，所以MO⊥平面BCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點，直線OC，BO，OM分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.因為△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，
設(shè)平面MBC的法向量為n＝(x，y，z)，
利用空間向量解決探索性問題
如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝ ，BC＝2 ，PA＝2.(1)取PC的中點N，求證：DN∥平面PAB；
取BC的中點E，連接DE，交AC于點O，連接ON，以O(shè)為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，－1,0)，B(2，－1,0)，C(0,1,0)，D(－1,0,0)，P(0，－1,2).∵點N為PC的中點，∴N(0,0,1)，
設(shè)平面PAB的一個法向量為n＝(x，y，z)，
可得n＝(0,1,0)，
又∵DN?平面PAB，∴DN∥平面PAB.
(2)求直線AC與PD所成角的余弦值；
設(shè)直線AC與PD所成的角為θ，
(3)在線段PD上，是否存在一點M，使得平面MAC與平面ACD的夾角為45°？如果存在，求出BM與平面MAC所成角的大小；如果不存在，請說明理由.
設(shè)平面MAC的一個法向量為m＝(a，b，c)，
可得m＝(2－2λ，0，λ)，由圖知平面ACD的一個法向量為u＝(0,0,1)，
設(shè)BM與平面MAC所成的角為φ，
∴φ＝30°.故存在點M，使得平面MAC與平面ACD的夾角為45°，此時BM與平面MAC所成的角為30°.
(1)對于存在判斷型問題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.(2)對于位置探索型問題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù).
如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝2 ，E為CD的中點，點F在線段PB上.(1)求證：AD⊥PC；
如圖所示，在平行四邊形ABCD中，連接AC，因為AB＝2 ，BC＝2，∠ABC＝45°，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2·AB·BC·cs 45°＝4，得AC＝2，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.又AD∥BC，所以AD⊥AC.因為AD＝AP＝2，DP＝2 ，所以PA⊥AD，
又AP∩AC＝A，AP，AC?平面PAC，所以AD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以AD⊥PC.
(2)試確定點F的位置，使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等.
因為側(cè)面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，側(cè)面PAD∩底面ABCD＝AD，PA?側(cè)面PAD，所以PA⊥底面ABCD，所以直線AC，AD，AP兩兩垂直，以A為原點，直線DA，AC，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，D(－2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(－1,1，0)，P(0,0,2)，
易得平面ABCD的一個法向量為m＝(0,0,1).設(shè)平面PDC的法向量為n＝(x，y，z)，
令x＝1，得n＝(1，－1，－1).
因為直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等，
1.已知兩平面的法向量分別為m＝(1，－1,0)，n＝(0,1，－1)，則兩平面的夾角為A.60° B.120° C.60°或120° D.90°
即〈m，n〉＝60°.∴兩平面的夾角為60°.
2.在棱長為3的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為線段AA1的中點，F(xiàn)為線段C1D1上靠近D1的三等分點，則異面直線A1B與EF所成角的余弦值為
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(3,0,0)，B(3,3,3)，
3.如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點M為棱CC1的中點，則直線B1M與平面A1D1M所成角的正弦值是
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，
設(shè)平面A1D1M的法向量為m＝(x，y，z)，
令y＝1可得z＝2，所以m＝(0,1,2)，設(shè)直線B1M與平面A1D1M所成的角為θ，
4.在三棱錐P－ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝45°，則點C到平面PAB的距離是
方法一　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)平面PAB的法向量為m＝(x，y，z)，
方法二　∵PC⊥底面ABC，∴PC⊥AB，又AB⊥AC，且PC∩AC＝C，PC，AC?平面PAC，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA，∵AC＝AB＝4，
令點C到平面PAB的距離為d，
∵VP－ABC＝VC－PAB，
5.(多選)已知直線l的方向向量n＝(1,0，－1)，A(2,1，－3)為直線l上一點，若點P(－1,0，－2)為直線外一點，則P到直線l上任意一點Q的距離可能為
6.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD夾角的余弦值為
以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)正方體的棱長為1，
設(shè)平面A1ED的一個法向量為n1＝(1，y，z)，
∴n1＝(1,2,2)；∵平面ABCD的一個法向量為n2＝(0,0,1)，
7.設(shè)A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，則點D到平面ABC的距離為______.
設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z).
令z＝－2，則n＝(3,2，－2).
8.如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PA＝PD＝ ，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中點，O是AD的中點，則直線BM與平面PCO所成角的正弦值是_____.
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，B(1,2,0)，P(0,0,2)，C(－1,2,0)，M ，
以O(shè)為原點，OA所在直線為x軸，過O作AB的平行線為y軸，OP所在直線為z軸，
設(shè)平面PCO的法向量為m＝(x，y，z)，
設(shè)直線BM與平面PCO所成的角為θ，
9.如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點，F(xiàn)是DD1的中點.(1)求證：CF∥平面A1DE；
以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(2,0,2)，E(1,2,0)，D(0,0,0)，C(0,2,0)，F(xiàn)(0,0,1)，
設(shè)平面A1DE的法向量n＝(a，b，c)，
取n＝(－2,1,2)，
又CF?平面A1DE，∴CF∥平面A1DE.
(2)求平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值.
10.如圖，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四邊形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝ AE＝2，O，M分別為CE，AB的中點.(1)求異面直線AB與CE所成角的大?。?br/>∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB?平面ABDE，∴DB⊥平面ABC.∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC.如圖所示，以C為坐標(biāo)原點，分別以CA，CB所在直線為x，y軸，以過點C且與EA平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
∵AC＝BC＝4，∴C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(4,0,4)，
(2)求直線CD與平面ODM所成角的正弦值.
由(1)知O(2,0,2)，D(0,4,2)，M(2,2,0)，
設(shè)平面ODM的法向量為n＝(x，y，z)，
令x＝2，則y＝1，z＝1，∴n＝(2,1,1).設(shè)直線CD與平面ODM所成的角為θ，
11.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為線段AB的中點，點F在線段AD上移動，當(dāng)異面直線B1C與EF所成角最小時，其余弦值為
以D為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為線段AB的中點，設(shè)正方體的棱長為2，
設(shè)異面直線B1C與EF所成的角為θ，
12.如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都相等，E，F(xiàn)，G分別為AB，AA1，A1C1的中點，則B1F與平面GEF所成角的正弦值為___.
設(shè)正三棱柱的棱長為2，取AC的中點D，連接DG，DB，分別以DA，DB，DG所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)平面GEF的法向量為n＝(x，y，z)，
13.如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面邊長為2，直線CC1與平面ACD1所成角的正弦值為 ，則正四棱柱的高為___.
以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DD1＝a(a>0)，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0，a)，C1(0,2，a)，
設(shè)平面ACD1的一個法向量為n＝(x，y，z)，
14.設(shè)動點P在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的體對角線BD1上，記 ＝λ.當(dāng)∠APC為銳角時，λ的取值范圍是______.
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
又因為動點P在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的體對角線BD1上，
15.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為線段AA1上的一個動點，F(xiàn)為線段B1C1上的一個動點，則平面EFB與底面ABCD夾角的余弦值的取值范圍是
設(shè)平面EFB與底面ABCD的夾角為θ，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，AE＝m，F(xiàn)C1＝n，則D(0,0,0)，A(1，0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0，0,1)，E(1,0，m)，F(xiàn)(n,1,1). ＝(0，－1，m)， ＝(n－1,0,1)，設(shè)平面EFB的一個法向量為n＝(x，y，z)，
16.如圖，已知在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E在棱AB上移動.(1)求證：D1E⊥A1D；
∵AE⊥平面AA1D1D，A1D?平面AA1D1D，∴AE⊥A1D.∵在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，∴A1D⊥AD1.∵AE∩AD1＝A，AE，AD1?平面AED1，∴A1D⊥平面AED1.∵D1E?平面AED1，∴D1E⊥A1D.
(2)在棱AB上是否存在點E使得AD1與平面D1EC所成的角為 ？若存在，求出AE的長；若不存在，說明理由.
以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)棱AB上存在點E(1，t,0)(0≤t≤2)，
A(1,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，
設(shè)平面D1EC的法向量為n＝(x，y，z)，
取y＝1，得n＝(2－t,1,2)，
整理得t2＋4t－9＝0，

相關(guān)課件

新教材人教A版步步高學(xué)習(xí)筆記【學(xué)案+同步課件】模塊綜合試卷：

這是一份新教材人教A版步步高學(xué)習(xí)筆記【學(xué)案+同步課件】模塊綜合試卷，文件包含模塊綜合試卷pptx、模塊綜合試卷docx等2份課件配套教學(xué)資源，其中PPT共60頁， 歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.2 雙曲線習(xí)題課件ppt：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.2 雙曲線習(xí)題課件ppt，文件包含§31習(xí)題課弦長問題pptx、§32習(xí)題課弦長問題docx等2份課件配套教學(xué)資源，其中PPT共60頁， 歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊第三章 圓錐曲線的方程3.1 橢圓習(xí)題課件ppt：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊第三章 圓錐曲線的方程3.1 橢圓習(xí)題課件ppt，文件包含§31習(xí)題課軌跡問題pptx、§31習(xí)題課軌跡問題docx等2份課件配套教學(xué)資源，其中PPT共60頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)課件 更多

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊2.5 直線與圓、圓與圓的位置習(xí)題ppt課件

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊2.5 直線與圓、圓與圓的位置習(xí)題ppt課件
人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊第二章 直線和圓的方程2.3 直線的交點坐標(biāo)與距離公式習(xí)題ppt課件

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊第二章 直線和圓的方程2.3 直線的交點坐標(biāo)與距離公式習(xí)題ppt課件
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊5.6 函數(shù) y=Asin（ ωx ＋ φ）習(xí)題ppt課件

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊5.6 函數(shù) y=Asin（ ωx ＋ φ）習(xí)題ppt課件
2021學(xué)年5.6 函數(shù) y=Asin（ ωx ＋ φ）習(xí)題ppt課件

2021學(xué)年5.6 函數(shù) y=Asin（ ωx ＋ φ）習(xí)題ppt課件
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

1.4 空間向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部