第1課時　空間向量基本定理
第一章　§1.2　空間向量與立體幾何
學習目標
1.理解空間向量基本定理及其意義并會簡單應(yīng)用.
2.掌握空間向量的正交分解.
導語
回顧平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.類似地，任意一個空間向量能否用任意三個不共面的向量a，b，c表示呢？
內(nèi)容索引
空間向量基本定理

一
問題1　如圖，設(shè)i，j，k是空間中三個兩兩垂直的向量，且表示它們的有向線段有公共起點O，對于任意一個空間向量p＝ ，p 能否用i，j，k表示呢？
問題2　你能證明唯一性嗎？
提示　假設(shè)除(x，y，z)外，還存在有序?qū)崝?shù)組(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，則x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.不妨設(shè)x′≠x，則(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，這與已知矛盾.所以有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)是唯一的.
知識梳理
1.空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在 的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得 .2.基底：我們把{a，b，c}叫做空間的一個 ，a，b，c都叫做基向量.
唯一
基底
p＝xa＋yb＋zc
(1)空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底.基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示.(2)一個基底是一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量.(3)若三個向量不共面，就說明它們都不是零向量.
注意點：
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，
基底的判斷思路(1)判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質(zhì)是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為一個基底.(2)判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發(fā)的三條棱對應(yīng)的方向向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進行相關(guān)的判斷.
反思感悟
(多選)設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個基底，則下列向量組中，可以作為空間一個基底的向量組有A.{a，b，x} B.{x，y，z}C.{b，c，z} D.{x，y，a＋b＋c}
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空間向量的正交分解

二
知識梳理
1.單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量 ，且長度都為 ，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示.2.正交分解：由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，使 .像這樣，把一個空間向量分解為三個 的向量，叫做把空間向量進行正交分解.
兩兩垂直
1
兩兩垂直
a＝xi＋yj＋zk
用基底表示空間向量

三
反思感悟
用基底表示向量時(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘運算的運算律；(2)若沒給定基底，首先選擇基底，選擇時，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求.
如圖，連接AC，EF，D1F，BD1，
課堂小結(jié)
1.知識清單： (1)空間的基底. (2)空間向量基本定理.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸.3.常見誤區(qū)： (1)基向量理解錯誤，沒有注意到基向量的條件. (2)運算錯誤，利用基底表示向量時計算要細心.
隨堂演練

1.設(shè)p：a，b，c是三個非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個基底，則p是q的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
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當非零向量a，b，c不共面時，{a，b，c}可以當基底，否則不能當基底，當{a，b，c}為基底時，一定有a，b，c為非零向量.因此p?q，q?p，p是q的必要不充分條件.
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1.(多選)若{a，b，c}是空間的一個基底，則下列各組中能構(gòu)成空間的一個基底的是A.{a,2b,3c} B.{a＋b,b＋c,c＋a}C.{a＋b＋c,b＋c，c} D.{a＋2b,2b＋3c,3a－9c}
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因為{a，b，c}是空間的一個基底，所以a，b，c不共面，對于A，B，C選項，每組都是不共面的向量，能構(gòu)成空間的一個基底；對于D，a＋2b,2b＋3c,3a－9c滿足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，所以這三個向量是共面向量，故不能構(gòu)成空間的一個基底.
2.(多選)給出下列命題，其中是真命題的是A.若{a，b，c}可以作為空間的一個基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d} 也可以作為空間的一個基底B.已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底C.已知A，B，M，N是空間中的四點，若 不能構(gòu)成空間的一 個基底，則A， B，M，N四點共面D.若a，b是兩個不共線的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則{a， b，c}構(gòu)成空間的一個基底
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A中，假設(shè)d與a，b共面，則存在實數(shù)λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d與c共線，c≠0，∴存在實數(shù)k，使得d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，從而 ，∴c與a，b共面，與已知條件矛盾，∴d與a，b不共面，即A是真命題；B中，根據(jù)基底的概念，知空間中任何三個不共面的向量都可作為空間的一個基底，顯然B是真命題；C中，由 有公共點B，所以A，B，M，N四點共面，即C是真命題；D中，因為a，b，c共面，所以{a，b，c}不能構(gòu)成基底，故D錯誤.
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4.已知{a，b，c}是空間的一個基底，若p＝a＋b，q＝a－b，則A.{a，p，q}是空間的一個基底B.{b，p，q}是空間的一個基底C.{c，p，q}是空間的一個基底D.p，q與a，b，c中的任何一個都不能構(gòu)成空間的一個基底
√
假設(shè)c＝k1p＋k2q，即c＝k1(a＋b)＋k2(a－b)，得c＝(k1＋k2)a＋(k1－k2)b，這與{a，b，c}是空間的一個基底矛盾，故{c，p，q}是空間的一個基底.
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A.a＋b＋c B.a－b＋cC.a＋b－c D.－a＋b＋c
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在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，
＝－a＋b＋c.
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又e1，e2，e3是不共面的三個單位向量，
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所以e1＋e2， e1＋e3，e2＋2e3三個向量不共面，能作為一個基底；對于B，因為(e1－e3)＋(e2＋e3)＝e1＋e2，所以e1－e3，e2＋e3，e1＋e2三個向量共面，故不能作為一個基底；對于C，設(shè)e1－e2，e2－2e3，e3－3e1三個向量共面，則存在唯一一對實數(shù)λ，μ，使得e1－e2＝λ(e2－2e3)＋μ(e3－3e1)，即e1－e2＝－3μe1＋λe2＋(μ－2λ)e3，又e1，e2，e3是不共面的三個單位向量，
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所以e1－e2，e2－2e3，e3－3e1三個向量不共面，能作為一個基底；對于D，設(shè)e1＋e3，e2＋e3，e1＋e2三個向量共面，則存在唯一一對實數(shù)λ，μ，使得e1＋e3＝λ(e2＋e3)＋μ(e1＋e2)，即e1＋e3＝μe1＋(λ＋μ)e2＋λe3，又e1，e2，e3是不共面的三個單位向量，
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所以e1＋e3，e2＋e3，e1＋e2三個向量不共面，能作為一個基底.
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連接AG并延長交BC于點H，連接DM(圖略).
∵點D，E，F(xiàn)，M共面，
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1.2 空間向量基本定理

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