數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊3.3 拋物線習(xí)題課件ppt-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

習(xí)題課　拋物線焦點弦的應(yīng)用
第三章　§3.3　拋物線
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.拋物線焦點弦的推導(dǎo).
2.利用拋物線的焦點弦求解弦長問題.
導(dǎo)語
在上節(jié)中，我們已經(jīng)掌握了拋物線焦點弦的一些性質(zhì)：設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
內(nèi)容索引

一
已知拋物線C的頂點是原點O，焦點F在x軸的正半軸上，經(jīng)過點F的直線與拋物線C交于A，B兩點，若＝－12，則拋物線C的方程為A.x2＝8y B.x2＝4yC.y2＝8x D.y2＝4x
√
得p＝4(舍負(fù))，即拋物線C的方程為y2＝8x.
通過拋物線的特殊性質(zhì)，脫離于傳統(tǒng)的聯(lián)立方程組求解，較為迅速的得到結(jié)果.
反思感悟
已知O為坐標(biāo)原點，過點M(a，0)(a≠0)的直線與拋物線y2＝2px(p>0)交于A，B兩點，設(shè)直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，若k1k2＝－2p，則a等于
√
∴a＝1.
若y1＝y(tǒng)2，則直線AB與拋物線y2＝2px(p>0)只有一個交點，不符合題意，

二
拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線的方程.
設(shè)直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，
故所求的拋物線方程為y2＝4x.當(dāng)拋物線方程設(shè)為y2＝－2px(p>0)時，同理可求得拋物線方程為y2＝－4x.綜上，拋物線方程為y2＝±4x.
反思感悟
經(jīng)過拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F，傾斜角為30°的直線l與C交于A，B兩點，若線段AB的中點M的橫坐標(biāo)為7，那么p＝____.
2
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AB的中點M的橫坐標(biāo)為7，∴x1＋x2＝14，

三
過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于
√
反思感悟
將求弦長問題通過焦半徑與p之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為焦半徑問題.
如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準(zhǔn)線l于點C，若F是AC的中點，且|AF|＝4，則線段AB的長為
√

四
以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切的應(yīng)用
求證：以拋物線的焦點弦為直徑的圓必與拋物線的準(zhǔn)線相切.
如圖，作AA′⊥l于點A′，BB′⊥l于點B′，M為AB的中點，作MM′⊥l于點M′，則由拋物線定義可知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，在直角梯形BB′A′A中，
即|MM′|等于以AB為直徑的圓的半徑.故以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.
反思感悟
把焦點三角形的外接圓轉(zhuǎn)化為以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，進行問題的求解.
拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，M為拋物線上一點.若△OFM的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切(O為坐標(biāo)原點)，且外接圓的面積為9π，則p等于A.2 B.4 C.6 D.8
√
∵△OFM的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，∴△OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑.∵外接圓的面積為9π，∴外接圓的半徑為3.
課堂小結(jié)
1.知識清單：拋物線焦點弦性質(zhì)的應(yīng)用.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)：對焦點弦的性質(zhì)記憶混淆，導(dǎo)致出錯.
隨堂演練

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由題意可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式為x2＝8y，所以準(zhǔn)線方程為y＝－2，
√
所以弦長|AB|＝5＋4＝9.
2.過拋物線C：y2＝8x的焦點F的直線交拋物線C于A，B兩點，若|AF|＝6，則|BF|等于A.9或6 B.6或3 C.9 D.3
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方法一　設(shè)點A為第一象限內(nèi)的點，設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1>0，y1>0，則由題意可得F(2，0)，|AF|＝x1＋2＝6，
將直線AB的方程代入y2＝8x化簡得x2－5x＋4＝0，所以x2＝1，所以|BF|＝x2＋2＝3.
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根據(jù)題意，可得拋物線及直線的線段關(guān)系如圖所示，拋物線x2＝8y的焦點為F，則F(0，2)，準(zhǔn)線方程為y＝－2，設(shè)直線l與y軸交點為B，直線AF的傾斜角等于60°，即∠FAB＝60°，而PA⊥l，所以∠FAP＝30°，由拋物線定義可知|PF|＝|PA|，因而∠FAP＝∠PFA＝30°，作FE垂直于AP的延長線于E，則|EA|＝4，∠FPE＝60°，
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4.過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，若x1＋x2＝6，則PQ的中點M到拋物線準(zhǔn)線的距離為_____.
4
由拋物線的方程y2＝4x，可得p＝2，故它的焦點為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.
課時對點練

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當(dāng)AB垂直于對稱軸時，|AB|取最小值，此時AB為拋物線的通徑，長度等于2p.
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如圖所示，設(shè)線段AB的中點為P(x0，y0)，分別過A，P，B三點作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A′，Q，B′，
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由|AF|＝4，|BF|＝1，
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由拋物線焦點弦的性質(zhì)知ABD正確.
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7.已知直線l：y＝x－1經(jīng)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，且與拋物線C交于A，B兩點，則|AB|＝______.
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8.過拋物線y2＝2x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝，|AF|0)上三點A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F(xiàn)為拋物線的焦點，則下列說法正確的是A.拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1
C.若A，F(xiàn)，C三點共線，則y1y2＝－1D.若|AC|＝6，則AC的中點到y(tǒng)軸距離的最小值為2
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把點B(1，2)代入拋物線y2＝2px，得p＝2，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，故A正確；
因為A，F(xiàn)，C三點共線，所以直線AC是焦點弦，所以y1y2＝－p2＝－4，故C不正確；
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設(shè)AC的中點為M(x0，y0)，因為|AF|＋|CF|≥|AC|，|AF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中點到y(tǒng)軸距離的最小值為2，故D正確.
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14.過拋物線y2＝4x焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，交其準(zhǔn)線于點C，且A，C位于x軸同側(cè).若|AC|＝2|AF|，則|BF|等于A.2 B.3 C.4 D.5
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拋物線y2＝4x的焦點F(1，0)，準(zhǔn)線方程l：x＝－1，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點H，不妨設(shè)點A在第四象限，過A和B分別作AD⊥l，BE⊥l，垂足分別為D，E，如圖，由拋物線的定義可知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，又|AC|＝2|AF|，所以|AC|＝2|AD|，則∠ACD＝ .
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15.(多選)已知點F是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，AB，CD是經(jīng)過點F的弦且AB⊥CD，AB的斜率為k，且k>0，C，B兩點在x軸上方，O為坐標(biāo)原點，則下列結(jié)論中正確的是
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如圖所示，
設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，
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16.已知拋物線C的頂點為原點，焦點F與圓x2＋y2－2x＝0的圓心重合.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
由已知易得F(1，0)，則所求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.
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(2)設(shè)定點A(3，2)，當(dāng)P點在C上何處時，|PA|＋|PF|的值最小，并求最小值及點P的坐標(biāo)；
設(shè)點P在拋物線C的準(zhǔn)線上的射影為點B，根據(jù)拋物線定義知|PF|＝|PB|，要使|PA|＋|PF|的值最小，則P，A，B三點共線.可得P(x1，2)，22＝4x1?x1＝1，即P(1，2).此時|PA|＋|PF|＝2＋2＝4.
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因為MN為焦點弦，

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