新教材人教A版步步高學習筆記【學案+同步課件】第三章　習題課　圓錐曲線中的綜合問題-課件下載-教習網(wǎng)

習題課　圓錐曲線中的綜合問題
第三章　圓錐曲線的方程
學習目標
1.通過圓錐曲線方程的學習，進一步體會數(shù)形結(jié)合思想的應用.
2.能根據(jù)圓錐曲線的有關(guān)性質(zhì)解決綜合問題.
內(nèi)容索引
范圍與最值問題

一
(2)過點(1,0)的直線l與C交于M，N兩點，P為線段MN的中點，A為C的左頂點，求直線PA的斜率k的取值范圍.
當直線l的斜率為0時，AP的斜率k＝0.當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為x＝my＋1，
得(m2＋4)y2＋2my－3＝0.Δ>0顯然成立.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，
而點A的坐標為(－2,0)，
①當m＝0時，k＝0.
圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何圖形特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值與范圍，求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、重要不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等.
反思感悟
當直線l的傾斜角為0°時，不妨令A(－2,0)，B(2,0)，
當直線l的傾斜角不為0°時，設其方程為x＝my＋4，
由Δ>0?(24m)2－4×(3m2＋4)×36>0?m2>4，設A(my1＋4，y1)，B(my2＋4，y2).
定點與定值問題

二
∵M是橢圓上任意一點，若M與A重合，
∴λ2＋μ2＝1，現(xiàn)在需要證明λ2＋μ2為定值1.
A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為N(x0，y0)，
①
②
∴a2＝3b2，∴橢圓方程為x2＋3y2＝3b2，設橢圓右焦點為F(c，0)∴直線方程為y＝x－c.
代入橢圓方程整理得
∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2為定值.
解析幾何中的定點和定值問題需要合理選擇參數(shù)(坐標、斜率等)表示動態(tài)幾何對象和幾何量，探究、證明動態(tài)圖形中的不變性質(zhì)(定點、定值等)，體會“設而不求”“整體代換”在簡化運算中的作用.
反思感悟
設橢圓的焦距為2c，由題意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.
(2)若λ1＋λ2＝－3，試證明：直線l過定點，并求此定點.
由題意設P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，設l的方程為x＝t(y－m)，
∴y1－m＝－y1λ1，由題意得y1≠0，
∵λ1＋λ2＝－3，
∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0. ①
消x得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，∴由題意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0， ②
將③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，
∴(mt)2＝1，由題意，得mt0)，則圓的方程為(x＋p)2＋(y－p)2＝8，由于O(0,0)在圓上，∴p2＋p2＝8，解得p＝2，∴圓C的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)試探究圓C上是否存在異于原點的點Q，使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長.若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.
∴橢圓右焦點為F(4,0).假設存在異于原點的點Q(m，n)使|QF|＝|OF|，
(1)探索性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法.
反思感悟
試問是否能找到一條斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓＋y2＝1交于兩個不同的點M，N，且使M，N到點A(0,1)的距離相等？若存在，試求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由.
設直線l：y＝kx＋m為滿足條件的直線，再設P為MN的中點，欲滿足條件，只需AP⊥MN即可.
消y得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∵AP⊥MN，
由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)＝9(1＋3k2)(1－k2)>0，得－10)中心的弦，F(xiàn)(c，0)為橢圓的右焦點，則△AFB面積的最大值為A.b2 B.ab C.ac D.bc
由橢圓的對稱性知，A，B兩點關(guān)于原點O對稱，因此S△AFB＝2S△OFB＝c·|yB|，故當|yB|＝b時，△AFB面積最大，最大面積為bc.
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∵Q是圓(x－6)2＋y2＝1上任意一點，
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4.拋物線y2＝4x上不同兩點A，B(異于原點O)，若直線OA，OB斜率之和為1，則直線AB必經(jīng)過定點A.(0,2) B.(0,4)C.(－4,0) D.(－2,0)
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設直線AB的方程為x＝ty＋b(b≠0)，并代入拋物線方程，消去x得y2－4ty－4b＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，
∴b＝－4t，所以直線AB的方程為x＝ty－4t＝t(y－4)，過定點(0,4).
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聯(lián)立兩個方程化為5x2＋8tx＋4t2－4＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
而Δ＝(8t)2－4×5×(4t2－4)>0，解得0≤t20，b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點，若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為A.4 B.8 C.16 D.32
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不妨設D在第一象限，E在第四象限，
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∴|ED|＝2b，
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設點P(x0，y0)，由于點P是拋物線x2＝8y上任意一點，
由于點Q是圓x2＋(y－2)2＝1上任意一點，
則|PQ|的值要最大，即點P到圓心的距離加上圓的半徑為|PQ|的最大值，
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設直線l的方程為x＝my＋n，代入橢圓方程，消去x可得(m2＋4)y2＋2mny＋n2－16＝0，
x1x2＝m2y1y2＋mn(y1＋y2)＋n2，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2n，由PA⊥PB，P(4,0)，
即(x1－4，y1)·(x2－4，y2)＝0，可得x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋16＝0，m2y1y2＋mn(y1＋y2)＋n2－4m(y1＋y2)－8n＋y1y2＋16＝0，
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化簡整理可得5n2－32n＋48＝0，
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設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴－y1＝2y2－3，∵A，B在橢圓上，
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當且僅當m＝5時取最大值.
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設P(x0，y0)，∵l1⊥l2，
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16.已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；
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設直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).
得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
即直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值－9.
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四邊形OAPB能為平行四邊形.
∴k≠3，
設點P的橫坐標為xP.
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四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即xP＝2xM，
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經(jīng)檢驗，滿足Δ>0，∵k≠3，