習(xí)題課　圓錐曲線的離心率
第三章　圓錐曲線的方程
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握圓錐曲線的離心率的求法.
2.會求圓錐曲線的離心率的最值及范圍問題.
內(nèi)容索引
定義法

一
因?yàn)镻F2垂直于x軸，
因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝2a，
根據(jù)橢圓或雙曲線的定義，求出a，c或列出關(guān)于a，c的等式，得到關(guān)于e的方程，進(jìn)而求出e.
反思感悟
不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1－r2＝2a，
幾何法

二
√
如圖，設(shè)PF1的中點(diǎn)為M，連接PF2.因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)M為△PF1F2的中位線.所以O(shè)M∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因?yàn)椤螾F1F2＝30°，
由橢圓定義得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，
涉及到焦點(diǎn)三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等來求得 的值.
反思感悟
設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C： ＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn).若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為_____.
根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，
又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最小.在△PF1F2中，由余弦定理，
尋求齊次方程求離心率

三
由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，即a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，整理得a2＋b2＝c2＋2ac，將b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，
2
又2|AB|＝3|BC|，
即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負(fù)值舍去).
利用定義以及圖形中的幾何關(guān)系來建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合a，b，c之間的關(guān)系，化簡為參數(shù)a，c的關(guān)系式進(jìn)行求解.
反思感悟
√
如圖所示，∵兩條曲線交點(diǎn)的連線過點(diǎn)F，
化簡得c4－6a2c2＋a4＝0，∴e4－6e2＋1＝0，又e>1，
求離心率的取值范圍

四
√
求離心率范圍的常用思路(1)通過幾何方法如圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍、三角形中的不等關(guān)系等轉(zhuǎn)化為求離心率的取值范圍.(2)通過代數(shù)方法如基本不等式、函數(shù)最值求得離心率的取值范圍.
反思感悟
設(shè)P(x，y)，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
課堂小結(jié)
1.知識清單： (1)圓錐曲線的離心率的求法. (2)圓錐曲線的離心率的范圍問題.2.方法歸納：定義法、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：忽略離心率的范圍導(dǎo)致出錯(cuò).
隨堂演練

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由雙曲線方程可知c2＝4，
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√
√
若雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，
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交點(diǎn)，若|QF2|＝2|OQ|，則橢圓離心率的取值范圍是________.
∵PQ是∠F1PF2的角平分線，
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課時(shí)對點(diǎn)練

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依題意，不妨設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，b)，在△F1AF2中，由余弦定理得，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cos∠F1AF2，
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由橢圓方程可得，A(0，b)，因?yàn)辄c(diǎn)A到直線l：y＝2x的距離是1，
記橢圓的右焦點(diǎn)為F1，連接MF1，NF1，由橢圓的對稱性可得，|MF1|＝|NF|，再由橢圓的定義可得，2a＝|MF1|＋|MF|＝|NF|＋|MF|＝6，
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如圖，連接PF1，OQ，由OQ為△F1PF2的中位線，可得OQ∥PF1，|OQ|＝ |PF1|，由圓x2＋y2＝b2，可得|OQ|＝b，即有|PF1|＝2b，由橢圓的定義可得|PF1|＋|PF2|＝2a，可得|PF2|＝2a－2b，又OQ⊥PF2，可得PF1⊥PF2，即(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2，即b2＋a2－2ab＋b2＝c2＝a2－b2，整理得2a＝3b，
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設(shè)橢圓的焦距為2c(c>0)，
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離心率為____________.
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設(shè)橢圓對應(yīng)的參數(shù)為a1，b1，c，雙曲線對應(yīng)的參數(shù)為a2，b2，c，由于線段PF1的垂直平分線過F2，所以有|F1F2|＝|PF2|＝2c.
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兩式相減得到4c＝2(a1－a2)，即a1－a2＝2c，
當(dāng)且僅當(dāng)c＝2a2時(shí)，等號成立，即最小值為6.
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分析知P不是雙曲線的頂點(diǎn).
所以點(diǎn)P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，知|PF1|－|PF2|＝2a，
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即c2－2ac－a2

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