第1課時(shí)　對(duì)數(shù)的運(yùn)算
第四章　4.3.2　對(duì)數(shù)的運(yùn)算
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，理解其推導(dǎo)過程和成立的條件.
2.能熟練運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.
導(dǎo)語(yǔ)
同學(xué)們，數(shù)學(xué)運(yùn)算的發(fā)展可謂是貫穿了整個(gè)人類進(jìn)化史，人類的祖先，從數(shù)手指開始，逐漸積累經(jīng)驗(yàn)，堆石子、數(shù)貝殼、樹枝、竹片，而后有刻痕計(jì)數(shù)、結(jié)繩計(jì)數(shù)等，后來創(chuàng)造文字、數(shù)字及計(jì)數(shù)用具，如算盤、計(jì)算器等.從人們對(duì)天文、航天、航海感興趣開始，發(fā)現(xiàn)數(shù)太大了，再多的手指頭也算不過來了，怎么辦？比如天文學(xué)家開普勒利用他的對(duì)數(shù)表簡(jiǎn)化了行星軌道的復(fù)雜計(jì)算，對(duì)數(shù)被譽(yù)為“用縮短計(jì)算時(shí)間而使天文學(xué)家延長(zhǎng)壽命”，對(duì)整個(gè)科學(xué)的發(fā)展起了重要作用.
內(nèi)容索引
對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

一
問題1　將指數(shù)式M＝ap，N＝aq化為對(duì)數(shù)式，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)MN＝apaq＝ap＋q能否將其化為對(duì)數(shù)式？它們之間有何聯(lián)系(用一個(gè)等式表示)?
提示　由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN.由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(M·N).從而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0).
問題2　結(jié)合問題1，若 ，又能得到什么結(jié)論？
問題3　結(jié)合問題1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何結(jié)果？
提示　由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(n∈R).
知識(shí)梳理
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝ .(2) ＝ .(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).
logaM＋logaN
logaM－logaN
(1)性質(zhì)的逆運(yùn)算仍然成立.(2)公式成立的條件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意義，而log2(－2)與log2(－3)都沒有意義.(3)性質(zhì)(1)可以推廣為：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*.
注意點(diǎn)：
　　求下列各式的值.(1)ln e2；
ln e2＝2ln e＝2.
(3)lg 50－lg 5.
對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)求值一般是正用或逆用公式，對(duì)真數(shù)進(jìn)行處理，選哪種策略化簡(jiǎn)，取決于問題的實(shí)際情況，一般本著便于真數(shù)化簡(jiǎn)的原則進(jìn)行.
反思感悟
　　　 求下列各式的值：(1)log3(27×92)；
方法一　log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7.方法二　log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7.
(2)lg 5＋lg 2；
lg 5＋lg 2＝lg(5×2)＝lg 10＝1.
(4)log35－log315.
對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用

二
＝lg 3＋lg 22－1＋lg 2＝lg 3＋3lg 2－1＝b＋3a－1.
b＋3a－1
　　　 用lg x，lg y，lg z表示下列各式：(1)lg(xyz)；
lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)、求值

三
　　計(jì)算下列各式的值：(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.
利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值(1)“收”：將同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)的和(差)合并為積(商)的對(duì)數(shù)，即公式的逆用；(2)“拆”：將積(商)的對(duì)數(shù)拆成同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)的和(差)，即公式的正用；(3)“湊”：將同底數(shù)的對(duì)數(shù)湊成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn).
反思感悟
　　　 計(jì)算下列各式的值：
原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
課堂小結(jié)
1.知識(shí)清單： (1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì). (2)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用. (3)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)、求值.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)：要注意對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的結(jié)構(gòu)形式，易混淆，且不可自創(chuàng)運(yùn)算法則.
隨堂演練

1.若a>0，且a≠1，x>0，n∈N*，則下列各式：①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；
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其中正確的有A.2個(gè) 　　 B.3個(gè)　　 C.4個(gè) 　　 D.5個(gè)
√
根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知③與⑤正確.
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2.2log510＋log50.25等于A.0 　　 B.1 　　 C.2　　 D.4
√
原式＝log5100＋log50.25＝log525＝2.
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∵lg 3＝a，lg 7＝b，
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課時(shí)對(duì)點(diǎn)練

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1.log242＋log243＋log244等于A.1 B.2C.24 D.
√
原式＝log24(2×3×4)＝log2424＝1.
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2.已知3a＝2，那么log38－2log36用a表示是A.a－2 B.5a－2C.3a－(1＋a)2 D.3a－a2
√
因?yàn)?a＝2，所以a＝log32，所以log38－2log36＝log323－2(log32＋1)＝log32－2＝a－2.
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4.下列計(jì)算正確的是A.(a3)2＝a9 B.log26－log23＝1C. D.log3(－4)2＝2log3(－4)
√
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由題意，根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，可得(a3)2＝a6，　　 ＝a0＝1，所以A，C不正確；
根據(jù)對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)，可得log3(－4)2＝2log3(－4)，而log3(－4)無意義，所以D不正確.
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5.若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的兩個(gè)實(shí)根，則ab的值等于
∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的兩個(gè)實(shí)根，∴由根與系數(shù)的關(guān)系得lg a＋lg b＝2，∴l(xiāng)g(ab)＝2，∴ab＝100.
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6.(多選)已知f(x)＝log5x，則對(duì)任意的a，b∈(0，＋∞)，下列關(guān)系成立的是A.f(ab)＝f(a)＋f(b) B.f(ab)＝f(a)f(b) C. ＝f(a)＋f(b) D. ? ＝f(a)－f(b)
√
∵f(x)＝log5x，a，b∈(0，＋∞)，∴f(ab)＝log5(ab)＝log5a＋log5b＝f(a)＋f(b)，
√
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8.設(shè)alog34＝2，則4－a＝____.
因?yàn)閍log34＝2，則log34a＝2，則4a＝32＝9，
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10.計(jì)算下列各式的值：
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原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.
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11.如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0的兩根為α，β，則α·β的值是A. B.lg 35C.lg 7·lg 5 D.35
√
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由題意知，lg α，lg β是一元二次方程x2＋(lg 7＋lg 5)x＋lg 7·lg 5＝0的兩根，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)，lg(α·β)＝lg(7×5)－1，∴α·β＝ .
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12.已知xlog32＝1，則2x＋2－x的值是
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13.已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x>0且a，b，c，x≠1)，則logx(abc)等于
x＝a2＝b＝c4，所以(abc)4＝x7，所以 ，
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14.若x滿足(log2x)2－log2x2－3＝0，則x＝______.
由題意，方程可化為(log2x)2－2log2x－3＝0.令t＝log2x，則t2－2t－3＝0，解得t＝3或t＝－1，即log2x＝3或log2x＝－1，
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15.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽且滿足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(4＋x)，若f(1)＝6，則f(log2128)＋f(log216)等于A.6 　　B.0 　　 C.－6 　　 D.－12
√
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽且滿足f(－x)＝－f(x)，所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－6，故f(7)＝f(4＋3)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－6，f(4)＝f(0)＝0，所以f(log2128)＋f(log216)＝f(log227)＋f(log224)＝f(7)＋f(4)＝－6＋0＝－6.
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16.已知lg 2＝a，lg 3＝b.(1)求lg 72，lg 4.5；
lg 72＝lg(23×32)＝3lg 2＋2lg 3＝3a＋2b；
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(2)若lg x＝a＋b－2，求x的值.
lg x＝a＋b－2＝lg 2＋lg 3－2

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4.2 指數(shù)函數(shù)

版本： 人教A版 (2019)

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