2.1  相等關(guān)系與不等關(guān)系 同步課時(shí)訓(xùn)練學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一、選擇題(共40分)1、(4分)不等式對(duì)任意a，恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(   )A. B. C. D.2、(4分)若，則當(dāng)取得最大值時(shí)，x的值為(   )A. B. C. D.3、(4分)若，且，則下列四個(gè)數(shù)中最大的是(   )A. B.b C.ab D.4、(4分)已知，函數(shù)在處的切線與直線平行，則的最小值是（    ）A.2 B.3 C.4 D.55、(4分)已知，，，則M與N的大小關(guān)系為(   )A. B. C. D.6、(4分)若某汽車運(yùn)輸公司購買了一批豪華大客車投入營運(yùn),據(jù)市場分析每輛客車營運(yùn)的總利潤y(單位:10萬元)與營運(yùn)年數(shù)為二次函數(shù)關(guān)系(如圖所示),則每輛客車營運(yùn)(   )年時(shí),其營運(yùn)的年平均利潤最大.A.3 B.4 C.5 D.67、(4分)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（）（假設(shè)全部溶解），下列不等式中表示糖水變甜的是(   )A.         B．       C.         D. 8、(4分)已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項(xiàng)不恒成立的是(   )A. B. C. D.9、(4分)已知，且，則mn有(   )A.最大值1 B.最大值2 C.最小值1 D.最小值210、(4分)已知a，b為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值是(   )A.6 B. C.8 D.二、填空題(共25分)11、(5分)已知a，b均為正數(shù)，且，則ab的最大值為________，的最小值為__________.12、(5分)給出下列命題：①若，，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確命題的序號(hào)是___________.（填上所有正確的序號(hào)）13、(5分)下列四個(gè)條件：①，②，③，④.其中能使得成立的是___________.（填上所有正確的序號(hào)）14、(5分)已知在中,,則的取值范圍是______,若,則的最小值是___________.15、(5分)已知，，且滿足，則的最小值為_____________.三、解答題(共35分)16、(8分)已知，滿足.（1）求證：；（2）現(xiàn)推廣：把的分子改為另一個(gè)大于1的正整數(shù)p，使對(duì)任意恒成立，試寫出一個(gè)p，并證明之.17、(9分)某工廠某種產(chǎn)品的月固定成本為10萬元，每生產(chǎn)x件，需另投入成本為C，當(dāng)月產(chǎn)量不足30件時(shí)，（萬元）.當(dāng)月產(chǎn)量不小于30件時(shí)，（萬元）.每件商品售價(jià)為5萬元，通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.因設(shè)備問題，該廠月生產(chǎn)量不超過50件.（1）寫出月利潤L（萬元）關(guān)于月產(chǎn)量x（件）的表達(dá)式；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為多少件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲月利潤最大？18、(9分)已知正數(shù)a，b滿足.（1）若，，求的值；（2）求的最大值.19、(9分)某地為了加快推進(jìn)垃圾分類工作，新建了一個(gè)垃圾處理廠，每月最少要處理300噸垃圾，最多要處理600噸垃圾，月處理成本（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為.（1）寫出自變量x的取值范圍；（2）為使每噸平均處理成本最低（如處理500噸垃圾時(shí)每噸垃圾平均處理成本為），該廠每月垃圾處理量應(yīng)為多少噸？
參考答案1、答案：C解析：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，不等式對(duì)任意a，恒成立，，，實(shí)數(shù)x的取值范圍是.故選：C.2、答案：D解析：本題考查基本不等式的應(yīng)用.，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得“=”.3、答案：D解析：本題考查基本不等式.因?yàn)?/span>，，所以，可得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；因?yàn)?/span>，所以等號(hào)不成立，則，可得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；因?yàn)?/span>，所以等號(hào)不成立，則，而，所以.綜上可得，四個(gè)數(shù)中最大的是.4、答案：C解析：因?yàn)?/span>，則，因?yàn)榍悬c(diǎn)為，則切線的斜率為，又因?yàn)榍芯€與直線平行，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值是4，故選：C.5、答案：C解析：本題考查作差法比較大小.由題意，，，則，所以，即，故選C項(xiàng).6、答案：C解析：根據(jù)題意得到,拋物線的頂點(diǎn)為(6,11),過點(diǎn)(4,7),圖象開口向下,設(shè)二次函數(shù)的解析式為,所以,解得,即,因?yàn)?/span>,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).故選C.7、答案：D解析：因?yàn)?/span>b克糖水中含a克糖,所以糖水的“甜度”為,再加入克糖,糖水的“甜度”為,因?yàn)樘撬鹆?/span>,所以.8、答案：D解析：由基本不等式，，，，這三個(gè)不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而題中，因此等號(hào)都取不到，所以ABC三個(gè)不等式恒成立；中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，如，即可取等號(hào)，D中不等式不恒成立.9、答案：A解析：，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，有最大值1.故選A.10、答案：C解析：設(shè)切點(diǎn)為，的導(dǎo)數(shù)為，由題意可得，又，，解得，，即有，因?yàn)?/span>a、b為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為8.故選：C.11、答案：2，解析：由題意，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以，所以ab的最大值為2，，當(dāng)，時(shí)取等號(hào).12、答案：②解析：本題考查利用不等式的性質(zhì)判斷大小.①當(dāng)時(shí)，不成立，故①不正確；
②由知，所以，即，
所以，故②正確；③當(dāng)，，命題不成立，故③不正確；
④當(dāng)時(shí)，，故④不正確.13、答案：④解析：本題考查不等式的性質(zhì)判斷大小.，④能使它成立.14、答案：；解析：由題意得.若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以的最小值是.15、答案：7解析：，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則最小值為7.16、答案： (1)見解析(2) 見解析解析：(1) 證明 : 由 ，得 ，,
要證 ，
只要證 ，
左邊 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號(hào)成立；(2)要使,
只至至,左邊 則 ， 可取 或 3
取 ，問題轉(zhuǎn)化為.
證明如下 : 要證 ，
只需證明 ，
左邊 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號(hào)成立.17、答案：（1）見解析（2）當(dāng)月產(chǎn)量為30件時(shí)，月獲利潤最大.解析：（1）因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為5萬元，所以x件商品銷售額為5x萬元，
依題意得，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
（2）當(dāng)時(shí)，，
對(duì)稱軸為.
即當(dāng)時(shí)，（萬元）；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（萬元）.綜上所述，當(dāng)月產(chǎn)量為30件時(shí)，月獲利潤最大.18、答案：（1）3（2）見解析解析：（1）由，可得，則.（2）由（1）得，，
則

，
當(dāng)且僅當(dāng)中，即時(shí)，等號(hào)成立.19、答案：(1).(2)400噸.解析：(1)；(2)依題意，每噸平均處理成本元，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以該廠每月垃圾處理量為400噸時(shí)，每噸平均處理成本最低為100元.
 

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高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第一冊(cè)電子課本

2.1 相等關(guān)系與不等關(guān)系

版本： 湘教版（2019）

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