?專題22.2 二次函數(shù)與一元二次方程
典例體系

一、知識(shí)點(diǎn)
1.二次函數(shù)與一元二次方程
二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
當(dāng)Δ＝b2－4ac＞0，兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)Δ＝b2－4ac＝0，兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)Δ＝b2－4ac＜0，無實(shí)根
2.二次函數(shù)與不等式
拋物線y= ax2＋bx＋c＝0在x軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正，所對(duì)應(yīng)的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為負(fù)，所對(duì)應(yīng)的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
二、考點(diǎn)點(diǎn)撥與訓(xùn)練
考點(diǎn)1：二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)問題
典例：（2020·貴州省中考真題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與兩點(diǎn)，關(guān)于的方程有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是3．則關(guān)于的方程有兩個(gè)整數(shù)根，這兩個(gè)整數(shù)根是（ ）
A．或0 B．或2 C．或3 D．或4
【答案】B
【解析】
二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與兩點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根是﹣3和1，
可以看成二次函數(shù)y的圖象沿著y軸平移m個(gè)單位,得到一個(gè)根3，
由1到3移動(dòng)2個(gè)單位，可得另一個(gè)根為﹣5.由于0＜n＜m，
可知方程的兩根范圍在﹣5~﹣3和1~3，
由此判斷B符合該范圍．
故選B．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題考查二次函數(shù)圖象與一元二次方程的綜合,關(guān)鍵在于方程加減任意數(shù)值可理解為在圖像上進(jìn)行平移．
鞏固練習(xí)
1．（2020·湖北省中考真題）若拋物線經(jīng)過第四象限的點(diǎn)），則關(guān)于x的方程的根的情況是（ ）
A．有兩個(gè)大于1的不相等實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)小于1的不相等實(shí)數(shù)根
C．有一個(gè)大于1另一個(gè)小于1的實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根
【答案】C
【解析】∵a>0，
∴拋物線開口向上，
∵拋物線經(jīng)過第四象限的點(diǎn)（1，-1）
∴方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，一個(gè)大于1另一個(gè)小于1，
故選：C．
2．（2020·四川省中考真題）已知二次函數(shù)（其中x是自變量）的圖象經(jīng)過不同兩點(diǎn)，，且該二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則的值（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，，
∴對(duì)稱軸x=，即x=，
∵對(duì)稱軸x=b，
∴=b，化簡(jiǎn)得c=b-1，
∵該二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)，
∴△=
=
=
=
∴b=2，c=1，
∴b+c=3，
故選：C.
3．（2020·云南省初三其他）拋物線y＝ax2＋bx＋c（a，b，c為常數(shù)，a＜0）經(jīng)過點(diǎn)(0，2)，且關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱，（x1，0）是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，有下列結(jié)論，其中結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．方程ax2＋bx＋c＝2的一個(gè)根是x＝﹣2
B．若x1＝2，則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(﹣4，0)
C．若m＝4時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝m有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則a＝﹣2
D．若≤x≤0時(shí)，2≤y≤3，則a＝
【答案】D
【解析】解：由已知可得，c＝2，b＝2a，
∴y＝ax2＋2ax＋2＝a（x2＋2x）＋2＝a（x＋1）2﹣a＋2，
A.當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝2，
∴方程ax2＋bx＋c＝2的一個(gè)根是x＝﹣2；故A正確，不符合題意；
B.若x1＝2，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(﹣4，0)，正確，不符合題意；
C.ax2＋2ax＋2＝4時(shí)，△＝4a2＋8a＝0，
∴a＝0或a＝﹣2，
∴a＝﹣2，正確，不符合題意；
D.若﹣≤x≤0時(shí)2≤y≤3；
在﹣≤x≤0時(shí)，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y有最大值2﹣a，當(dāng)x＝0時(shí)，有最最小值2；
∴3＝2﹣a，
∴a＝﹣1，
故D.錯(cuò)誤，符合題意；
故選：D．
4．（2021·浙江省初三二模）二次函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值如下表：


















則關(guān)于的一元二次方程的解為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】解：時(shí)，；時(shí)，，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
或時(shí)，，
關(guān)于的一元二次方程的解為，．
故選：C
5．（2020·天津初三其他）二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論： ；；若m為任意實(shí)數(shù)，則；；若，且，則其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】解：①拋物線開口方向向下，則a＜0．
拋物線對(duì)稱軸位于y軸右側(cè)，則a、b異號(hào)，即ab＜0．
拋物線與y軸交于正半軸，則c＞0
所以abc＜0．
故①錯(cuò)誤．
②∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=，
∴b=-2a，即2a+b=0，
故②正確；
③∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，
∴函數(shù)的最大值為：a+b+c，
∴當(dāng)m≠1時(shí)，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，
故③錯(cuò)誤；
④∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（3，0）的左側(cè)，而對(duì)稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（-1，0）的右側(cè)
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y＜0，
∴a-b+c＜0，
故④錯(cuò)誤；
⑤∵ax12+bx1=ax22+bx2，
∴ax12+bx1-ax22-bx2=0，
∴a（x1+x2）（x1-x2）+b（x1-x2）=0，
∴（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=，
∵b=-2a，
∴x1+x2=2，
故⑤正確．
綜上所述，正確的有②⑤．
故選：C．
6．（2020·南通市八一中學(xué)初二月考）已知函數(shù)y=(k-1)x2-4x+4的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),則k的取值范圍是( )
A．k≤2且k≠1 B．k

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