初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊第二十四章圓24.4 弧長及扇形的面積精品綜合訓(xùn)練題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題24.4 弧長和扇形面積
典例體系（本專題共91題57頁）

一、知識點
1.弧長和扇形面積的計算
扇形的弧長l＝；扇形的面積S＝＝
2.圓錐與側(cè)面展開圖
（1）圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長.
（2）計算公式：S側(cè)=πrl，S=πr（l+r）
二、考點點撥與訓(xùn)練
考點1：計算弧長
典例：（2020·吉林長春·初三一模）如圖，BC為⊙O直徑，點A是⊙O上任意一點（不與點B、C重合），以BC、AB為鄰邊的平行四邊形ABCD的頂點D在⊙O外．
（1）當(dāng)AD與⊙O相切時，求∠B的大小．
（2）若⊙O的半徑為2，BC＝2AB，直接寫出的長．

【答案】（1）∠B＝45°；（2）
【解析】解：（1）連接OA，如圖1所示：

∵AD與⊙O相切，
∴AD⊥OA，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴OA⊥BC，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°；
（2）連接AC，如圖2所示：

∵BC為⊙O直徑，
∴∠BAC＝90°，
∵BC＝2AB，
∴∠ACB＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
∴的長為＝．
方法或規(guī)律點撥
本題是與圓有關(guān)的綜合題，涉及圓的基本性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、切線性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、弧長公式等知識，綜合性強，難易適中，認真分析，尋找這些知識的關(guān)聯(lián)點并靈活運用是解答的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．（2020·黃山市徽州區(qū)第二中學(xué)一模）如圖，在 Rt△ABC 中BC=2，以 BC 的中點 O 為圓心的⊙O 分別與 AB，AC 相切于 D，E 兩點，的長為（）

A． B． C．π D．2π
【答案】B
【解析】連接OE、OD，

設(shè)半徑為r，
∵⊙O分別與AB，AC相切于D，E兩點，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，
∵O是BC的中點，
∴OD是中位線，
∴OD=AE= AC，
∴AC=2r，
同理可知：AB=2r，
∴AB=AC，
∴∠B=45°，
∵BC=2
∴由勾股定理可知AB=2，
∴r=1，
∴= =
故選B
2．（2020·遼寧龍城·一模）如圖，菱形OABC的邊長為4，且點A、B、C在⊙O上，則劣弧的長度為（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】連接OB，

∵四邊形OABC是菱形，
∴OC＝BC＝AB＝OA＝4，
∴OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠COB＝60°，
∴劣弧的長為π，
故選：D．
3．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市索普初級中學(xué)月考）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，分別以點C、D為圓心，CD長為半徑畫弧，兩弧交于點F，則的長為_____．

【答案】
【解析】連接CF，DF，

則△CFD是等邊三角形，
∴∠FCD=60°，
∵在正五邊形ABCDE中，∠BCD=108°，
∴∠BCF=48°，
∴的長=，
故答案為．
4．（2020·江蘇南京·月考）如圖，在的方格紙中，每個小方格都是邊長為1的正方形，其中A、B、C為格點，作的外接圓，則的長等于_____．

【答案】
【解析】∵每個小方格都是邊長為1的正方形，
∴AB＝2，AC＝，BC＝，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ACB為等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴連接OC，則∠COB＝90°，
∵OB＝
∴的長為：＝
故答案為：．

5．（2020·山西太原五中一模）如圖，分別以正三角形的3個頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，三段弧圍成的圖形稱為萊洛三角形．若正三角形邊長為6cm，則該萊洛三角形的周長為_____cm．

【答案】6π
【解析】利用弧長公式計算：該萊洛三角形的周長（cm）
故答案為6π
6．（2020·廣東其他）如圖，，動線段的端點A，B分別在射線上，點C線段的中點，點B由點O開始沿方向運動，此時點A向點O運動，當(dāng)點A到達O時，運動停止，若，則中點C所經(jīng)過的路徑長是_______________．

【答案】cm
【解析】解：連接OC，

∵，C為AB中點，
∴OC=，
∴點C所經(jīng)過的路徑為以O(shè)為圓心，以O(shè)C為半徑的弧，且弧所對的圓心角為90°，
∴中點C所經(jīng)過的路徑長為cm．
故答案為：cm
7．（2018·華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)光谷分校月考）在如圖的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，△ABC的三個頂點都在格點上．
（1）畫出△ABC向上平移4個單位后的△A1B1C1；
（2）畫出△ABC繞點O順時旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2，并求出點A旋轉(zhuǎn)到A2所經(jīng)過的路線長．

【答案】（1）見解析；（2）圖見解析，
【解析】（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；

（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求；
點A旋轉(zhuǎn)到A2所經(jīng)過的路線長為：．
8．（2020·山東濱州·月考）在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．

（1）將△ABC向右平移2個單位長度后得到的△A1B1C1；則A1坐標(biāo)為______．
（2）將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C2；則C2坐標(biāo)為______．
（3）求在（2）的旋轉(zhuǎn)變換中，點C到達C2的路徑長（結(jié)果保留π）．
【答案】（1）詳見解析，（2，5）；（2）詳見解析，（2，3）；（3）
【解析】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．A1（2，5）．
故答案為（2，5）．
（2）△A2B2C2即為所求．則C2（2，3）．
故答案為（2，3）．
（3）點C的運動路徑為．

9．（2020·山東濱州·月考）如圖，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，將Rt△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到Rt△DEC，使點A的對應(yīng)點D恰好落在AB邊上．

（1）求點A旋轉(zhuǎn)到點D所經(jīng)過的路線的長；
（2）若點F為AD的中點，作射線CF，將射線CF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，交DE于點G，求CG的長．
【答案】（1）點A旋轉(zhuǎn)到點D所經(jīng)過的路線的長為；（2）CG＝1．
【解析】（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，
∴AC＝AB＝1，∠A＝60°，
∵CA＝CD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴點A旋轉(zhuǎn)到點D所經(jīng)過的路線的長＝＝．
（2）∵△ACD是等邊三角形，AF＝FD，
∴∠ACF＝∠FCD＝∠DCB＝30°，
∵∠FCG＝90°，
∴∠DCG＝60°，
∵∠CDG＝∠A＝60°，
∴△DCG是等邊三角形，
∴CG＝CD＝AC＝1．
10．（2020·廣西其他）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，的三個頂點坐標(biāo)分別為，，．

（1）畫出關(guān)于軸對稱的；
（2）畫出繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的；
（3）在（2）的條件下，點運動的路徑對應(yīng)的弧長為______（結(jié)果保留）．
【答案】（1）△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1如圖所示；見解析；（2）△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2如圖所示；見解析；（3）．
【解析】解：（1）△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1如圖所示：

（2）△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2，如圖所示：

（3）∵OC＝，
∴點C經(jīng)過路徑長．
考點2：由弧長求扇形半徑（圓心角）
典例：（2020·揚州中學(xué)教育集團樹人學(xué)校初三二模）如圖，將等邊△ABC的邊AC逐漸變成以B為圓心、BA為半徑的，長度不變，AB、BC的長度也不變，則∠ABC的度數(shù)大小由60°變?yōu)椋?）

A．（）° B．（）° C．（）° D．（）°
【答案】D
【解析】解：設(shè)∠ABC的度數(shù)大小由60變?yōu)閚，
則AC=，由AC=AB，
解得n=
故選D．
方法或規(guī)律點撥
本題考查的是弧長的計算和等邊三角形的性質(zhì)，掌握弧長的計算公式l=是解題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．（2019·樂清市英華學(xué)校月考）在⊙O中，∠AOB=120°，弧AB的長為，則⊙O的半徑是（）
A．6 B．8 C．12 D．24
【答案】C
【解析】解：由題意得：
，
解得：；
故選C．
2．（2019·河北涿鹿·期末）起重機的滑輪裝置如圖所示，已知滑輪半徑是10cm，當(dāng)物體向上提升3πcm時，滑輪的一條半徑OA繞軸心旋轉(zhuǎn)的角度為（）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：設(shè)半徑OA繞軸心旋轉(zhuǎn)的角度為n°
根據(jù)題意可得
解得n=54
即半徑OA繞軸心旋轉(zhuǎn)的角度為54°
故選A．
3．（2020·遼寧雙臺子·初三一模）一個扇形的弧長是π，半徑是2，則此扇形的圓心角的度數(shù)是（　　）
A．80° B．90° C．100° D．120°
【答案】B
【解析】解：∵弧長是π，半徑是2，
∴，
解得：
故選：B．
4．（2020·揚州市江都區(qū)國際學(xué)校初三三模）已知一個扇形的半徑為6，弧長為2π，則這個扇形的圓心角為（　?。?br /> A．60° B．30° C．90° D．120°
【答案】A
【解析】解：∵
∴°
故選：A
5．（2020·浙江泰順·初三二模）一段圓弧的半徑是12，弧長是，則這段圓弧所對的圓心角是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：根據(jù)弧長公式有：4π＝,
解得：n＝60．
故選：A．
6．（2020·安定區(qū)中華路中學(xué)三模）一個扇形的弧長是，面積是，則這個扇形的圓心角是___度．
【答案】150
【解析】根據(jù)扇形的面積公式可得：
，
解得r=24cm，
再根據(jù)弧長公式，
解得.
故答案為：150.
7．（2020·甘肅肅州·初三二模）已知一個扇形的弧長為，扇形的面積是，則它的半徑為________．
【答案】4
【解析】解：由扇形的面積公式可得：
，解得，
故答案為4．
8．（2020·哈爾濱市第四十七中學(xué)初三三模）已知扇形的半徑為5，弧長為，那么這個扇形的圓心角為__________度．
【答案】120
【解析】解：扇形的半徑為5，弧長為，
設(shè)扇形的圓心角為n，
可得，
解得n=120．
故答案為：120．
9．（2020·黑龍江哈爾濱·初三二模）一個扇形的弧長為，面積為，則此扇形的圓心角為_______度．
【答案】120
【解析】解：設(shè)扇形圓心角度數(shù)為n，半徑為r，
∵弧長為，面積為，
∴，，
解得n=120，r=9，
故答案為：120
10．（2020·黑龍江哈爾濱·一模）已知扇形半徑是，弧長為，則扇形的圓心角為__________度．
【答案】80
【解析】根據(jù)
解得n=80
故答案為：80
11．（2020·全國單元測試）已知圓弧的半徑為15厘米，圓弧的長度為，求圓心角的度數(shù)．
【答案】
【解析】解：圓心角的度數(shù)．
考點3：圖形中扇形和不規(guī)則圖形面積計算
典例：（2020·江蘇東臺·初三月考）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作⊙O的切線DF，交AC于點F．
（1）求證：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半徑為4，∠C=67.5°，求陰影部分的面積．

【答案】（1）詳見解析；（2） S陰影=4π﹣8．
【解析】
（1）證明：如圖1，連接OD，

，

是的切線，

（2）如圖2，連接OE，

的半徑為4，

方法或規(guī)律點撥
本題考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、扇形的面積等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．（2019·陽江市江城區(qū)教育教學(xué)研究室二模）如圖，是的直徑，弦，，，則陰影部分圖形的面積為（）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】連接OD．

∵CD⊥AB，
∴（垂徑定理），
∴S△OCE=S△ODE，
∴陰影部分的面積等于扇形OBD的面積，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°（圓周角定理），
∴OC=2，
∴，
∴陰影部分的面積為．
故選：D．
2．（2020·山東初三一模）如圖，菱形的邊長為4，且，、、、分別為、、、的中點，以、、、四點為圓心，半徑為2作圓，則圖中陰影部分的面積是（）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵點E為BC的中點，且AE⊥BC，
∴AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴∠B=60°，BE=EC=BC=2，
∴AE=，
∴
，
∴圖中陰影部分的面積是：．
故選：D．
3．（2020·廈門市翔安區(qū)教師進修學(xué)校（廈門市翔安區(qū)教育研究中心）其他）如圖，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的頂點C是的中點，點D在OB上，點E在OB的延長線上，當(dāng)正方形CDEF的邊長為2時，則陰影部分的面積為（　?。?br />
A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4
【答案】A
【解析】
如圖，連接OC.
∵C是弧AB的中點，∠AOB＝90°，
∴∠COB＝45°，
∵四邊形CDEF是正方形，且其邊長為2
∴∠ODC＝90°,CD=2
∴在Rt△ODC中，OD=CD=2，OC==4
∴S陰影＝S扇形OBC－S△ODC＝-×(2)2=2π－4，
故選A.
4．（2020·廣西西鄉(xiāng)塘·期末）如圖，陰影部分表示以直角三角形各邊為直徑的三個半圓所組成的兩個新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，則AB的長為（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S1+S2＝12，
∴×π×+π×+AC×BC﹣π×＝12，
∴AC×BC＝24，
AB＝．
故選：A．
5．（2020·福建寧化·期中）如圖，點A、B、C是⊙O上的點，且∠ACB=40°，陰影部分的面積為8π，則此扇形的半徑為（）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】由題意可知：∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，
設(shè)扇形半徑為r，故陰影部分的面積為，
故解得：，（不合題意，舍去），
故選D．
6．（2020·湖北江岸·月考）如圖，平行四邊形中，，以點為圓心長為半徑畫弧交于點，以點為圓心長為半徑畫弧交于點，三角形的面積為，陰影部分的面積為_____．（取3進行運算）

【答案】40
【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=8cm，∠B+∠C=180°，
∵三角形的面積為，
∴平行四邊形的面積為=56，
∵以點為圓心長為半徑畫弧交于點，以點為圓心長為半徑畫弧交于點，
∴，
，
∴
=
=+﹣56
=﹣56
=96-56
=40（），
故答案為：40．
7．（2019·樂清市英華學(xué)校期中）如圖，在扇形AOB中，，半徑OC交弦AB于點D，且．若，則陰影部分的面積為_____．

【答案】
【解析】

解：作于點F，
在扇形AOB中，，半徑OC交弦AB于點D，且．，
，，，
，
，，，，
，
陰影部分的面積是：，
故答案為．
8．（2020·河南二模）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=，以點B為圓心，AB為半徑作弧交AC于點E，則圖中陰影部分面積是______________．

【答案】
【解析】連接BE，

∵在中，，，；
∴，；
∵；
∴是等邊三角形；
∴圖中陰影部分面積是：．
故答案為：．
9．（2020·高郵市外國語學(xué)校初中部月考）已知扇形的圓心角為150°，它的面積為240πcm2，那么扇形的半徑為__________．
【答案】24cm．
【解析】解：∵扇形的圓心角為150°，它的面積為240πcm2，
∴設(shè)扇形的半徑為：r，則：240π=
解得：r=24cm．
故答案為：24cm．
10．（2020·丹陽市橫塘初級中學(xué)月考）如圖，三圓同心于O，AB=6cm，CD⊥AB于O，則圖中陰影部分的面積為________cm2．

【答案】
【解析】解：陰影部分的面積
故答案為：．
11．（2020·山東濟南·中考真題）如圖，在正六邊形ABCDEF中，分別以C，F(xiàn)為圓心，以邊長為半徑作弧，圖中陰影部分的面積為24π，則正六邊形的邊長為_____．

【答案】6
【解析】解：∵正六邊形的內(nèi)角是120度，陰影部分的面積為24π，
設(shè)正六邊形的邊長為r，
∴，

解得r＝6．（負根舍去）
則正六邊形的邊長為6．
故答案為：
12．（2020·福建省福州屏東中學(xué)二模）如圖，在中，，，，點為的中點，以點為圓心作圓心角為的扇形，點恰在弧上，則圖中陰影部分的面積為______

【答案】
【解析】解：連接CD，

∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠B=45°，
∵點D為AB的中點，
∴DC=AB=BD=1，CD⊥AB，∠DCA=45°，
∴∠CDH=∠BDG，∠DCH=∠B，
在△DCH和△DBG中，
，
∴△DCH≌△DBG（ASA），
∴S四邊形DGCH=S△BDC=S△ABC=×AB?CD=×2×1=．
∴S陰影=S扇形DEF-S△BDC=-=-．
故答案為-．
13．（2020·廣東二模）如圖，四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形EBF的半徑為2，圓心角為60°，則圖中陰影部分的面積是_____．

【答案】
【解析】解：如圖，連接BD．

∵四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∴△DAB是等邊三角形，
∵AB＝2，
∴△ABD的高為，
∵扇形BEF的半徑為2，圓心角為60°，
∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，
∴∠3＝∠4，
設(shè)AD、BE相交于點G，設(shè)BF、DC相交于點H，
在△ABG和△DBH中，，
∴△ABG≌△DBH(ASA)，
∴四邊形GBHD的面積等于△ABD的面積，
∴圖中陰影部分的面積是：S扇形EBF﹣S△ABD＝．
故答案是：．
14．（2020·全國月考）如圖，在扇形ABO中，∠AOB＝90°，C是弧AB的中點，若OD：OB＝1：3，OA＝3，則圖中陰影部分的面積為_____．

【答案】π﹣．
【解析】解：連接，過作于，
，是弧的中點，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
圖中陰影部分的面積，
故答案為：．

15．（2020·廣東其他）如圖，四邊形和都是正方形，點分別在上，點F在扇形的上，已知正方形的邊長為1，則圖中陰影部分的面積為________________．

【答案】
【解析】解：如圖，連接AF，

正方形的邊長為1，點F在扇形的上

四邊形AEFG為正方形
且，即，解得
正方形的面積為1，正方形AEFG的面積為，扇形的面積為
陰影部分的面積=.
故答案為：.
16．（2020·江蘇泰州·初三月考）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠BCD＝30°，CD＝2，則陰影部分面積S陰影＝_____．

【答案】
【解析】解：連接OC．

∵AB⊥CD，
∴，CE＝DE＝，
∴∠COD＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB＝OD，
∴△OBC，△OBD都是等邊三角形，
∴OC＝BC＝BD＝OD，
∴四邊形OCBD是菱形，
∴OC//BD，
∴S△BDC＝S△BOD，
∴S陰＝S扇形OBD，
∵OD＝＝2，
∴S陰＝＝，
故答案為：．
17．（2018·開江縣中小學(xué)教學(xué)研究室一模）如圖，小明自制一塊乒乓球拍，正面是半徑為的，所對的圓心角的度數(shù)為，弓形（陰影部分）粘貼膠皮，則膠皮面積為_____________．（結(jié)果保留）

【答案】
【解析】連接OA、OB，

∵∴∠AOB=90°，
∴=()，
()，
則弓形ACB膠皮面積為()．
故答案為：()．
18．（2020·西藏日喀則·一模）如圖，折扇完全打開后，OA，OB的夾角為120°，OA的長為18cm，AC的長為9cm，求圖中陰影部分的面積S．

【答案】81πcm2
【解析】解：∵OA=18，AC=9，
∴OC=OA-AC=9
∴（cm2）
答：陰影部分的面積S為81πcm2．
考點4：圖形變換過程中形成的圖象面積計算
典例：（2020·江蘇新沂·初三三模）（1）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2．將ABC繞頂點A順時針方向旋轉(zhuǎn)至的位置，點B，A，在同一條直線上，則線段BC掃過的區(qū)域面積為．

（2）①在ABC，∠ACB=45°，∠ABC=30°，AB=4cm，則BC= ；
②將ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到，在旋轉(zhuǎn)過程中求線段BC所掃過的面積．

【答案】（1）；（2）①；②
【解析】
解：（1）中，，，，
，，
，

．
故答案為：．
（2）①過點A作，

在中，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
故答案為：；
②．
方法或規(guī)律點撥
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及弧長的計算，扇形的面積的計算，（1）中推出掃過的面積等于兩個扇形的面積的差是解題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．（2020·廣東寶安·初三三模）如圖，中，，，，分別為邊的中點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，則整個旋轉(zhuǎn)過程中線段所掃過部分的面積（即陰影部分面積）為（）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵O、H分別為邊AB，AC的中點，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°到△A1BC1的位置，
∴△OBH≌△O1BH1，
利用勾股定理可求得BH=，
所以利用扇形面積公式可得．
故選C．
2．（2020·全國課時練習(xí)）如圖，在中，，將△AOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)后得到，則AC邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的圖形的面積為（）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：
∴陰影部分的面積＝扇形OAB的面積﹣扇形OCD的面積
故選B．
3．（2020·北京海淀區(qū)101中學(xué)溫泉校區(qū)初三三模）如圖，將繞點按順時針旋轉(zhuǎn)得到，已知，，則線段掃過的圖形的面積為(　　　)

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：繞點旋轉(zhuǎn)得到△，
△，
，．
掃過的圖形的面積，
掃過的圖形的面積，
掃過的圖形的面積．
故選：．
4．（2020·恩施市白果鄉(xiāng)初級中學(xué)其他）有一張矩形紙片，其中，以為直徑的半圓，正好與對邊相切，如圖（甲），將它沿折疊，使點落在上，如圖（乙），這時，半圓還露在外面的部分（陰影部分）的面積是_______．

【答案】
【解析】如圖，點O為半圓的圓心，過點O作作OH⊥DK于H，
∵以AD為直徑的半圓，正好與對邊BC相切，
∴AD=2CD，
∵∠C=90o，
∴∠DAC=30o，
∴∠ODK=30o，
∵OD=OK，
∴∠DOK=120o，∠ODK=∠OKD=30o
∴扇形ODK的面積為，
∵∠ODK=∠OKD=30o，OD=2，
∴OH=1，DH=KH=，
∴DK=
∴△ODK的面積為
∴半圓還露在外面的部分(陰影部分)的面積是，
故答案為：．

5．（2020·福建省福州延安中學(xué)初三期中）如圖，在中，，將以點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)，得到，點經(jīng)過的路徑為點經(jīng)過的路徑為，則圖中陰影部分的面積為__________．

【答案】
【解析】由題意可得．
則陰影部分的面積為
6．（2019·廣東潮州·其他）如圖，為半圓內(nèi)一點，為圓心，直徑長為，將繞圓心逆時針旋轉(zhuǎn)至，點在上，則邊掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為_______．（結(jié)果保留）．

【答案】
【解析】解：，△是繞圓心逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，
，△，
，，
，
，
，，
，
，
，
陰影部分面積；
故答案為：．
7．（2020·沭陽縣懷文中學(xué)初三月考）如圖，將四邊形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到四邊形點經(jīng)過的路徑為弧．若則圖中陰影部分的面積為________________________．

【答案】
【解析】∵將四邊形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到四邊形AEFG，
∴S四邊形ABCD=S四邊形AGFE，AG=AD=6，
∴圖中陰影部分的面積=S扇形DAG=．
故答案為：．
8．（2020·廣西興業(yè)·初三其他）如圖，C為半圓內(nèi)一點，O為圓心，直徑AB長為2 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，將△BOC繞圓心O逆時針旋轉(zhuǎn)至△B′OC′，點C′在OA上，則邊BC掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為_________cm2．

【答案】
【解析】解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，
∴∠OBC=30°，
∴OC=OB=1
則邊BC掃過區(qū)域的面積為：
故答案為．
9．（2020·山東中區(qū)·初三二模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝2，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE，則圖中線段AB掃過的陰影部分的面積為_____．

【答案】
【解析】作AF⊥BC于F，
∵∠ABC＝45°，
∴AF＝BF＝AB＝，
在Rt△AFC中，∠ACB＝30°，
∴AC＝2AF＝2，F(xiàn)C＝＝，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，S△ABC＝S△EDC，
∴圖中線段AB掃過的陰影部分的面積＝扇形DCB的面積+△EDC的面積﹣△ABC的面積﹣扇形ACE的面積
＝扇形DCB的面積﹣扇形ACE的面積
＝﹣
＝，
故答案為：．

10．（2020·洛陽市第二外國語學(xué)校初三二模）如圖1，一個扇形紙片的圓心角為90°，半徑為6．如圖2，將這張扇形紙片折疊，使點A與點O恰好重合，折痕為CD，圖中陰影為重合部分，則陰影部分的面積為_____．(答案用根號表示)

【答案】6π﹣
【解析】連接OD，
∵扇形紙片折疊，使點A與點O恰好重合，折痕為CD，
∴AC＝OC，OD＝2OC＝6，
∴
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、線段AC和CD所圍成的圖形的面積＝S扇形AOD﹣S△COD＝

∴陰影部分的面積為6π﹣，
故答案為6π﹣．

11．（2020·江蘇宿豫·初三期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長為4的正方形ABCD的中心在原點O處，且AB∥x軸，點P在正方形ABCD的邊上，點P從點A處沿A→B→C→D→A→B→…勻速運動，以點P為圓心，以1為半徑長畫圓，在運動過程中：
（1）當(dāng)⊙P第1次與x軸相切時，則圓心P的坐標(biāo)為　　；（直接寫出結(jié)果）
（2）當(dāng)圓心P的運動路程為2019時，判斷⊙P與y軸的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）當(dāng)⊙P第一次回到出發(fā)的位置時，即⊙P運動一周，求⊙P運動一周覆蓋平面的區(qū)域的面積．

【答案】（1）（﹣2，1）；（2）相切；理由見解析；（3）28+π．
【解析】（1）∵邊長為4的正方形ABCD的中心在原點O處，且AB∥x軸，
∴A（2，2），B（-2，2），C（-2，-2），D（2，-2），
∵當(dāng)⊙P第1次與x軸相切時，圓心P在正方形的BC邊上，且點P到x軸的距離為1，
∴圓心P的坐標(biāo)為（﹣2，1），
故答案為：（﹣2，1）
（2）⊙P與y軸相切，
理由：∵正方形ABCD的邊長為4，
∴⊙P運動一周時，圓心P的運動路程為4×4＝16，
∵2019÷16=126……3，
∴⊙P運動了126周多，且AP＝3，
∴圓心P在AB上，
∴圓心P的坐標(biāo)為（﹣1，2），
∴圓心P到y(tǒng)軸的距離d＝3-2=1，
∵⊙P的半徑r＝1，
∴d＝r，
∴⊙P與y軸相切；
（3）如圖，陰影部分面積S＝4×6+1×4×2﹣2×2+＝28+π，
∴⊙P運動一周覆蓋平面的區(qū)域的面積為28+π．

12．（2020·武漢市黃陂區(qū)第六中學(xué)初三其他）在如圖的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，△ABC的三個頂點都在格點上．
（1）畫出△ABC向上平移4個單位后的△A1B1C1；
（2）將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，則點A所經(jīng)過的路徑長　 ?。痪€段AC掃過的面積　 ??；
（3）直接寫出△ABC的外接圓的半徑　 ?。?br />
【答案】（1）見解析；（2）；；（3）．
【解析】解：如圖：
（1）△A1B1C1即為所求；

（2）將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，
則點A所經(jīng)過的路徑長為：＝；
線段AC掃過的面積為：＝；
故答案為：，；
（3）△ABC的外接圓的半徑為：OC＝＝．
故答案為：．
13．（2020·黑龍江初三月考）如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點均在格點上，其中點，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到．

（1）畫出；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中點所經(jīng)過的路徑長為________；
（3）求在旋轉(zhuǎn)過程中線段、掃過的圖形面積之和．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）
【解析】解：（1）如圖所示：

（2）由勾股定理得，，
所以，點所經(jīng)過的路程長；
由勾股定理得：，
∵所掃過的面積，掃過的面積，
∴線段、掃過的圖形面積之和．
考點5：圓錐側(cè)面積計算
典例：（2020·西藏日喀則·一模）如圖，已知用一塊圓心角為270°的扇形鐵皮做一個圓錐形的煙囪帽(接縫忽略不計)，做成的煙囪帽底面圓直徑是60cm，則這個煙囪帽的側(cè)面積是 _________ cm2．

【答案】
【解析】解：∵圓錐的底面直徑為60cm，
∴圓錐的底面周長為60πcm，
∴扇形的弧長為60πcm，
設(shè)扇形的半徑為r，
則=60π，
解得：r=40cm，
∴這個煙囪帽的側(cè)面積是×60π×40=cm2
故答案為：．
方法或規(guī)律點撥
本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是首先求得圓錐的底面周長，利用圓錐的底面周長等于扇形的弧長求解．
鞏固練習(xí)
1．（2020·黃山市徽州區(qū)第二中學(xué)一模）已知圓錐的底面積為9πcm2，母線長為6cm，則圓錐的側(cè)面積是（）
A．18πcm2 B．27πcm2 C．18cm2 D．27cm2
【答案】A
【解析】∵圓錐的底面積為9πcm2，
∴圓錐的底面半徑為3，
∵母線長為6cm，
∴側(cè)面積為3×6π=18πcm2，
故選A；
2．（2020·江蘇宿遷·二模）一個圓錐的主視圖是邊長為4cm的正三角形，則這個圓錐的側(cè)面積等于　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵圓錐的主視圖是邊長為4cm的正三角形，∴圓錐的母線長為4cm，底面圓的半徑為2cm，故圓錐底面圓的周長為4πcm，故圓錐側(cè)面展開圖的面積為S＝×4×4π＝8π(cm2).故選C.
3．（2020·長沙麓山國際實驗學(xué)校初三期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，將△ABC繞邊AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐，則該圓錐的側(cè)面積是
A．25π B．65π C．90π D．130π
【答案】B
【解析】解：由已知得，母線長l=13，半徑r為5，
∴圓錐的側(cè)面積是s=πl(wèi)r=13×5×π=65π．
故選B．
4．（2019·江蘇金壇·初三期中）若將半徑為12cm的半圓形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓半徑是（　?。?br /> A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【答案】D
【解析】解：圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為2π×12÷2=12π（cm），∴圓錐的底面半徑為12π÷2π=6（cm），故選D．
5．（2020·福建福州十八中三模）一個圓錐的底面半徑，高，則這個圓錐的側(cè)面積是__________________（結(jié)果取整數(shù)）．
【答案】63
【解析】解：圓錐的母線長=，
所以這個圓錐的側(cè)面積=×2π×4×5=20π≈63．
故答案為63．
6．（2020·廣西玉林·一模）已知某圓錐的底面半徑為3cm，母線長6cm，則它的側(cè)面展開圖的面積為________．
【答案】18πcm2
【解析】底面半徑為3cm，則底面周長=6πcm，側(cè)面面積=×6π×6=18πcm2.
7．（2020·江蘇南京·月考）一個圓錐的底面半徑為3，高為4，則此圓錐的側(cè)面積為_____．
【答案】15π
【解析】解：∵圓錐的底面半徑為3，高為4，
∴母線長為5，
∴圓錐的側(cè)面積為：πrl＝π×3×5＝15π，
故答案為：15π
8．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·其他）已知圓錐的母線長為3，底面圓半徑為2，則該圓錐的側(cè)面積為_____．（結(jié)果保留π）
【答案】6π
【解析】解：圓錐的側(cè)面積＝×3×2π×2＝6π．
故答案為：6π．
9．（2020·江蘇省泰興市黃橋初級中學(xué)初三月考）圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐側(cè)面積為_________ （結(jié)果保留π）．
【答案】3π
【解析】解：圓錐的底面周長=2π×1=2π，即圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長為2π，
則圓錐側(cè)面積=×2π×3=3π，
故答案為：3π．
10．（2020·江蘇泰州·初三月考）圓錐底面圓半徑為5，母線長為6，則圓錐側(cè)面積等于_____．
【答案】30π
【解析】解：圓錐側(cè)面積＝×2π×5×6＝30π．
故答案為30π．
11．（2020·浙江長興·初三一模）如圖是一個圓錐形雪糕冰激凌外殼（不計厚度），已知其母線長為，底面圓半徑為．則這個冰激凌外殼的側(cè)面積等于_______．（結(jié)果保留）

【答案】
【解析】這個冰激凌外殼的側(cè)面積為，
故答案為．
考點6：有圓錐的側(cè)面積求圓錐的母線等元素
典例：（2019·廣東郁南·初三月考）若一個圓錐的底面半徑為2，母線長為6，則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是（　?。?br /> A．90° B．100° C．120° D．60°
【答案】C
【解析】設(shè)圓心角的度數(shù)是n度．則=4π，
解得：n=120．
故選C.
方法或規(guī)律點撥
本題考查扇形弧長公式.利用轉(zhuǎn)化思想將圓錐的底面圓周長轉(zhuǎn)化為圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長是解題的關(guān)鍵.
鞏固練習(xí)
1．（2020·江蘇泰州·初三月考）如圖，正方形的邊長為4，以點為圓心，為半徑畫圓弧得到扇形（陰影部分，點在對角線上）．若扇形正好是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是（）

A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】∵正方形的邊長為4
∴
∵是正方形的對角線
∴
∴
∴圓錐底面周長為，解得
∴該圓錐的底面圓的半徑是，
故選：D．
2．（2020·全國課時練習(xí)）若一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐側(cè)面展開圖的扇形的圓心角為（）
A．120° B．180° C．240° D．300°
【答案】B
【解析】設(shè)母線長為R，底面半徑為r，
∴底面周長=2πr，底面面積=πr2，側(cè)面面積=πrR，
∵側(cè)面積是底面積的2倍，
∴2πr2=πrR，
∴R=2r，
設(shè)圓心角為n，有=2πr=πR，
∴n=180°．
故選B．
3．（2020·山東嵐山·初三期末）圓錐形紙帽的底面直徑是18cm，母線長為27cm，則它的側(cè)面展開圖的圓心角為（　?。?br /> A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】C
【解析】解：根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的面公式為：πrl=π×9×27=243π，
∵展開圖是扇形，扇形半徑等于圓錐母線長度，
∴扇形面積為：
解得：n=120．
故選：C．
考點7：圓錐的母線、底面半徑等計算
典例：（2020·紹興市越城區(qū)成章中學(xué)期中）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過格點、、，若該圓弧所在圓的圓心為點，請你利用網(wǎng)格圖回答下列問題：
（1）圓心的坐標(biāo)為_____；
（2）若扇形是一個圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐底面圓的半徑長（結(jié)果保留根號）．

【答案】（1）；（2）該圓錐底面圓的半徑長為．
【解析】（1）連接、，分別作、的垂直平分線，兩直線交于點，則點即為該圓弧所在圓的圓心，可知點的坐標(biāo)為．
故答案是：；
（2）∵圓的半徑長．
∴，，
，
．
設(shè)圓錐的底面圓的半徑長為，
∴，
解得：，
答：該圓錐底面圓的半徑長為．

或規(guī)律點撥
本題主要考查垂徑定理以及弧長公式，掌握圓錐的底面周長與側(cè)面扇形弧長的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．方法鞏固練習(xí)
1．（2020·江蘇宿豫·初三期中）用半徑為24，圓心角為60°的扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓的半徑為_____．
【答案】4
【解析】解：設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，依題意，得：
2πr＝，
解得r＝4．
故答案為：4．
2．（2020·銀川唐徠回民中學(xué)初三二模）將半徑為10cm，弧長為10π的扇形圍成圓錐（接縫忽略不計）那么圓錐的母線與圓錐高的夾角是______．
【答案】30°
【解析】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為rcm，根據(jù)題意得：，解得：r=5，
∵5=，即圓錐的底面圓的半徑是母線長的一半，
∴這個圓錐的母線與圓錐高的夾角是30°．
故答案為：30°．
3．（2020·無錫市大橋?qū)嶒瀸W(xué)校初三月考）如圖，從一塊半徑為的圓形鐵皮上剪出一個圓周角為120°的扇形，如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的底面圓的半徑為_________．

【答案】
【解析】連接OA，OB，
則∠BAO=∠BAC==60°，
又∵OA=OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=1，
∵∠BAC=120°，
∴的長為：，
設(shè)圓錐底面圓的半徑為r

故答案為．

4．（2020·高郵市外國語學(xué)校初中部月考）已知圓錐的母線長AB=6cm，底面半徑OB=2cm，則它的側(cè)面展開扇形的圓心角為_____°．
【答案】120
【解析】∵圓錐的底面半徑為2cm，
∴圓錐的底面周長為4π，
設(shè)扇形的圓心角為n°，
∴，
解得n=120．
答：圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的圓心角為120°．
故答案為：120．
5．（2020·臺州市椒江區(qū)前所中學(xué)初三月考）如圖是一個幾何體的三視圖（圖中尺寸單位：cm），根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計算這個幾何體展開圖的圓心角是_____．

【答案】120°．
【解析】解：∵圓錐的底面直徑為2cm，半徑為1cm，
∴圓錐的底面周長為2πcm，
∵圓錐的高是cm，
∴圓錐的母線長為3cm，
設(shè)扇形的圓心角為n°，
∴＝2π，
解得n＝120．
故這個幾何體展開圖的圓心角是120°．
故答案為：120°．
6．（2020·寧夏金鳳·其他）如圖是一個圓錐的主視圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)（單位：），計算這個圓錐側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)為_______．

【答案】
【解析】∵圓錐的底面半徑為1，
∴圓錐的底面周長為2π，
∵圓錐的高是2，
∴圓錐的母線長為3，
設(shè)扇形的圓心角為n°，
∴=2π，
解得n=120．
即圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的圓心角為120°．
故答案為120°．
7．（2020·江蘇新北·初三一模）若一個圓錐的底面圓的周長是4cm，母線長是6cm，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是_______度．
【答案】120．
【解析】
解：由題意知：弧長=圓錐底面周長=2×2π=4πcm，
扇形的圓心角=弧長×180÷母線長÷π=4π×180÷6π=120°．
故答案為：120．
8．（2020·盤錦市雙臺子區(qū)第一中學(xué)月考）一個圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則這個圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為__________．
【答案】120
【解析】設(shè)底面圓的半徑為r，側(cè)面展開扇形的半徑為R，扇形的圓心角為n度．
由題意得S底面面積=πr2，
l底面周長=2πr，
S扇形=3S底面面積=3πr2，
l扇形弧長=l底面周長=2πr．
由S扇形=l扇形弧長×R=3πr2=×2πr×R，
故R=3r．
由l扇形弧長=得：
2πr=
解得n=120°．
故答案為：120°．
考點8：圓錐的表面的最短距離問題
典例：（2019·河北初三二模）如圖在正六邊形中，有兩點同時、同速從中點出發(fā)，P沿方向運動，Q點沿方向指向運動，10秒后，兩點與多邊形中心連線及多邊形（延長線）所圍成圖形的面積如圖（陰影部分的面積）有兩部分為，則之間的數(shù)量關(guān)系是（）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，連接OB，OC，作OW⊥BC于W，OT⊥CD于T．
在正六邊形ABCDEF中，
∵AM＝BM，
∴OM⊥AB，
∵OW⊥BC，OT⊥CD，
∴OM＝OW＝OT，
∵點P，Q同時，同速從AB中點M出發(fā)，
∴MQ＝MB＋BC＋PC，
∴?MQ?OM＝?（BM＋BC＋PC）?OM，
又BC=BG+CG
∴S△OMQ＝S△OBM＋S△OBG＋S△OGC＋S△OCP=S△OBM＋S△OBG＋S2，
∵S1＝S△OGC＋S△OCP，
∴S1＝S2．
故選：C．

方法或規(guī)律點撥
本題考查正多邊形與圓，多邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
鞏固練習(xí)
1．（2020·山東東營·初三一模）如圖，已知圓錐的底面半徑是2，母線長是6．如果A是底面圓周上一點，從點A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點，則這根繩子的長度可能是（）

A．8 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【解析】解：設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為n．
底面圓的周長等于：
解得：n=120°；
連結(jié)AC，過B作BD⊥AC于D，則∠ABD=60°．

AB=6， BD=3，
∴
AC=2AD=，
即這根繩子的最短長度是，
故這根繩子的長度可能是11，
故選：B．

2．（2020·山東初三月考）如圖所示是一個幾何體的三視圖，如果一只螞蟻從這個幾何體的點B出發(fā)，沿表面爬到AC的中點D處，則最短路線長為（）

A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】解：如圖將圓錐側(cè)面展開，得到扇形，則線段為所求的最短路程．
設(shè)．
，
即．
為弧中點，
，，
，
最短路線長為．
故選：A．

3．（2018·江蘇泰興市實驗初級中學(xué)初三期中）如圖，已知圓錐的底面半徑是2，母線長是6．如果A是底面圓周上一點，從點A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點，則這根繩子的長度可能是（　?。?br />
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【解析】解：設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為n．
底面圓的周長等于：2π×2= ，
解得：n=120°；
連結(jié)AC，過B作BD⊥AC于D，

則∠ABD=60°．
由AB=6，可求得BD=3，
∴AD═3 ，
AC=2AD=6 ，即這根繩子的最短長度是6 ，
故這根繩子的長度可能是11.
故選：D．
4．（2020·無錫市大橋?qū)嶒瀸W(xué)校初三月考）已知圓錐的高為，母線為，且，圓錐的側(cè)面展開圖為如圖所示的扇形．將扇形沿折疊，使點恰好落在上的點，則弧長與圓錐的底面周長的比值為（）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】連接AF，如圖，

設(shè)OB=5a，AB=18a，∠BAC=n°
∴，
解得n=100
即∠BAC=100°
∵將扇形沿BE折疊，使A點恰好落在上F點，
∴BA=BF
而AB=AF
∴△ABF為等邊三角形
∴∠BAF=60°
∴∠FAC=40°
∴的長度=
∴弧長CF與圓錐的底面周長的比值=
故選：B
4．（2020·寧夏銀川九中初三二模）如圖，圓錐的軸截面是邊長為6cm的正三角形ABC，P是母線AC的中點．則在圓錐的側(cè)面上從B點到P點的最短路線的長為_____．

【答案】3．
【解析】解：圓錐底面是以BC為直徑的圓，圓的周長是BCπ＝6π，
以AB為一邊，將圓錐展開，就得到一個以A為圓心，以AB為半徑的扇形，弧長是l＝6π，
設(shè)展開后的圓心角是n°，則，
解得：n＝180，
即展開后∠BAC＝×180°＝90°，
AP＝AC＝3，AB＝6，
則在圓錐的側(cè)面上從B點到P點的最短路線的長就是展開后線段BP的長，
由勾股定理得：BP＝，
故答案為：．
5．（2020·山東省青島第二十六中學(xué)初三其他）如圖所示是一個幾何體的三視圖，如果一只螞蟻從這個幾何體的點出發(fā)，沿表面爬到的中點處，則最短路線長為__________．

【答案】
【解析】如圖將圓錐側(cè)面展開，得到扇形ABB′，則線段BF為所求的最短路程．
設(shè)∠BAB′＝n°．
∵＝4，
∴n＝120即∠BAB′＝120°．
∵E為弧BB′中點，
∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，
∴BF＝AB?sin∠BAF＝6×＝，
∴最短路線長為．
故答案為：．

6．（2019·山東寧陽·初三二模）圓錐的底面周長為，母線長為2，點P是母線OA的中點，一根細繩（無彈性）從點P繞圓錐側(cè)面一周回到點P，則細繩的最短長度為______．
【答案】1．
【解析】解：如圖，連接AA′，∵底面周長為，∴弧長==，∴n=60°即∠AOA′=60°，∴∠A=60°，∵OA=OA′，∴△AOA′是等邊三角形，∴AA′=2，∵PP′是△OAA′的中位線，∴PP′=AA′=1，故答案為1．

7．（2020·棗陽市太平三中初三零模）如圖，圓錐的軸截面（過圓錐頂點和底面圓心的截面）是邊長為4cm的等邊三角形ABC，點D是母線AC的中點，一只螞蟻從點B出發(fā)沿圓錐的表面爬行到點D處，則這只螞蟻爬行的最短距離是_______cm．

【答案】25
【解析】解：∵圓錐的底面周長是4π，則4π=nπ×4180，
∴n=180°即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180°，
∴在圓錐側(cè)面展開圖中AD=2，AB=4，∠BAD=90°，
∴在圓錐側(cè)面展開圖中BD=20=25，
∴這只螞蟻爬行的最短距離是25cm．
故答案為：25．
8．（2019·?？谑虚L流中學(xué)中考模擬）如圖是一個用來盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑EF長為6 cm，母線OE（OF）長為9cm．在母線OF上的點A處有一塊爆米花殘渣，且FA = 3cm．在母線OE上的點B處有一只螞蟻，且EB = 1cm．這只螞蟻從點B處沿圓錐表面爬行到A點，則爬行的最短距離為 cm．

【答案】213．
【解析】如圖，過點A作AH⊥OB于H．

∵OE=OF=9cm，F(xiàn)A=3cm，EB=1cm，
∴OA=6cm，OB=8cm．
圓錐的底面周長是π×6=6π，則6π=nπ×9180，
∴n=120°，
即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是120°．
∴∠EOF=60°，
∴AH=OA?sin60°=6×32=33（cm），OH=OA?cos60°=6×12=3（cm），
∴BH=OB-OH=5cm，
∴在直角△ABH中，由勾股定理得到：AB=AH2+BH2=213（cm）．
9．（2020·全國課時練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為r＝20cm，高h=cm,現(xiàn)在有一只螞蟻從底邊上一點A出發(fā)．在側(cè)面上爬行一周又回到A點，求螞蟻爬行的最短距離．

【答案】
【解析】解：設(shè)扇形的圓心角為n，圓錐的
在Rt△AOS中，∵r=20cm，h=cm，
∴由勾股定理可得母線l==80cm，
而圓錐側(cè)面展開后的扇形的弧長為2×20π=.
∴n=90°
即△SAA′是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：AA'==80cm．
∴螞蟻爬行的最短距離為80cm．
10．（2018·江西廣豐·初三期末）如圖，圓錐母線的長l等于底面半徑r的4倍，

（1）求它的側(cè)面展開圖的圓心角．
（2）當(dāng)圓錐的底面半徑r＝4cm時，求從B點出發(fā)沿圓錐側(cè)面繞一圈回到B點的最短路徑的長
【答案】（1）它的側(cè)面展開圖的圓心角為90°；（2）BB′＝8．
【解析】解：（1）設(shè)它的側(cè)面展開圖的圓心角為n°，
根據(jù)題意得2πr＝，
而l＝2r，
所以2πr＝，解得n＝90，
所以它的側(cè)面展開圖的圓心角為90°；
（2）連接BB′，如圖，
此時BB′為從B點出發(fā)沿圓錐側(cè)面繞一圈回到B點的最短路徑，
∵r＝4，
∴l(xiāng)＝2r＝8，
∵∠BAB′＝90°，
∴△ABB′為等腰直角三角形，
∴BB′＝AB＝8．

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