數(shù)學(xué)九年級上冊21.1 一元二次方程優(yōu)秀課后復(fù)習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第21章重點(diǎn)突破訓(xùn)練：一元二次方程的綜合應(yīng)用
考點(diǎn)體系

考點(diǎn)1：一元二次方程與面積問題
典例：（2020·珠海市斗門區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)初三期中）如圖，某農(nóng)戶準(zhǔn)備建一個長方形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻，墻對面有一個2m寬的門，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長33m．圍成長方形的養(yǎng)雞場除門之外四周不能有空隙．
（1）若墻長為18m，要圍成養(yǎng)雞場的面積為150m2，則養(yǎng)雞場的長和寬各為多少？
（2）圍成養(yǎng)雞場的面積能否達(dá)到200m2？請說明理由

【答案】（1）養(yǎng)雞場的寬是10m，長為15m；（2）不能，見解析
【解析】
解：（1）設(shè)養(yǎng)雞場的寬為xm，根據(jù)題意得：
x（33﹣2x+2）=150，
解得：x1=10，x2=7.5，
當(dāng)x1=10時，33﹣2x+2=15＜18，
當(dāng)x2=7.5時33﹣2x+2=20＞18，（舍去），
則養(yǎng)雞場的寬是10m，長為15m．
（2）設(shè)養(yǎng)雞場的寬為xm，根據(jù)題意得：
x（33﹣2x+2）=200，
整理得：2x2﹣35x+200=0，
△=（﹣35）2﹣4×2×200=1225﹣1600=﹣375＜0，
因?yàn)榉匠虥]有實(shí)數(shù)根，
所以圍成養(yǎng)雞場的面積不能達(dá)到200m2
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵，注意寬的取值范圍．
鞏固練習(xí)
1．（2019·廣西壯族自治區(qū)初三期末）如圖，在長為32m，寬為20m的矩形地面上修筑同樣寬的道路(圖中陰影部分)，余下的部分種上草坪，要使道路的面積比草坪面積少440．

（1）求草坪面積；
（2）求道路的寬．
【答案】（1）540；（2）2m
【解析】解: （1）設(shè)草坪面積為xcm，
得，
解得，
所以，草坪面積為540．
(2) 設(shè)道路的寬為ym，
原圖經(jīng)過平移轉(zhuǎn)化為圖1．

因此，根據(jù)題意得
整理得
解得或(不合題意，舍去)
因此，道路的寬為2m．
2．（2020·湖北省初三月考）如圖是一張長、寬的矩形紙板，將紙板四個角各剪去一個邊長相同的正方形，然后將四周折起，可制成一個無蓋紙盒，若要制成一個底面積為的無蓋長方體紙盒，求需要剪去的正方形的邊長為多少？

【答案】正方形的邊長為1
【解析】
解：設(shè)正方形的邊長為
則無蓋紙盒的長為，寬為

解得：（不合題意，舍去）
答：正方形的邊長為1
3．（2020·射陽縣第二初級中學(xué)初二期中）如圖，有長為30m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為10m），圍成中間隔有一道籬笆（平行于AB）的長方形花圃．

（1）設(shè)花圃的一邊AB為xm，則BC的長可用含x的代數(shù)式表示為______m；
（2）當(dāng)AB的長是多少米時，圍成的花圃面積為63平方米？
【答案】（1）30－3x；（2）7
【解析】
解：（1）由題意得：BC＝30﹣3x，
故答案為：30﹣3x；
（2）由題意得：﹣3x2+30x＝63．
解此方程得x1＝7，x2＝3．
當(dāng)x＝7時，30﹣3x＝9＜10，符合題意；
當(dāng)x＝3時，30﹣3x＝21＞10，不符合題意，舍去；
故當(dāng)AB的長為7m時，花圃的面積為63m2．
4．（2020·哈爾濱市松雷中學(xué)校初二月考）某社區(qū)進(jìn)行環(huán)境改造，計(jì)劃用地面磚鋪設(shè)樓前矩形廣場的地面，已知矩形廣場地面的長為100米，寬為80米，圖案設(shè)計(jì)如圖所示：廣場的四角為邊長相同的小正方形，陰影分為四個矩形，四個矩形的寬都為小正方形的邊長，陰影部分鋪綠色地面磚，其余部分鋪白色地面磚．

（1）要使鋪白色地面磚的面積為5200平方米，并且四個角的小正方形面積的和不超過500平方米，那么這個矩形廣場的四個角的小正方形的邊長應(yīng)為多少米？
（2）在（1）的條件下，為了增加廣場的綠化同時節(jié)省開支，現(xiàn)將廣場四角的白色正方形地面磚的中的一部分改為種植綠色景觀，另一部分鋪設(shè)綠色地面磚．經(jīng)過市場調(diào)查了解到種植綠色景觀每平方米的費(fèi)用為30元，白色地面磚每平方米的費(fèi)用為20元，綠色地面磚每平方米的費(fèi)用為10元．若廣場四角的總費(fèi)用不超過9400元，則最多可以將多少面積的白色地面磚改為種植綠色景觀？
【答案】（1）10米．（2）最多可以將的白色地面磚改為種植綠色景觀．
【解析】
解：（1）設(shè)矩形廣場四角的小正方形的邊長為x米，根據(jù)題意，得：
，
整理，得：，
解之，得：
∵四個角的小正方形面積的和不超過500平方米，
∴x=10
∴要使鋪白色地面磚的面積為5200平方米，
則矩形廣場四角的小正方形的邊長為10米．
（2）設(shè)最多可以將的白色地面磚改為種植綠色景觀，則鋪設(shè)綠色地面磚的面積為：，則

解之得：
最多可以將的白色地面磚改為種植綠色景觀
5．（2020·黃石市教育局初三一模）某廣場有一塊長50米、寬30米的空地，現(xiàn)要將它改造為花園，請你設(shè)計(jì)一個修建方案，使?jié)M足下列條件：
(1)正中間留出一條寬2米的道路(如圖)；
(2)道路兩旁修建花壇，且花壇總面積占整個面積(不包括道路)的一半；
(3)設(shè)計(jì)好的整個圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．(計(jì)算結(jié)果精確到0.1米)．

【答案】x的值約取3.9米．
【解析】
解：設(shè)計(jì)成如下圖方案．
設(shè)花壇的邊與空地之間的距離為米，
　由題意可列方程：

解得：（舍去），

　 x的值約取3.9米．
花壇四周與空地的距離，中間與道路的距離都約為米．
6．（2019·武昌文華中學(xué)初一月考）小麗手中有塊長方形的硬紙片，其中長比寬多10cm，長方形的周長是100cm．
（1）求長方形的面積．
（2）現(xiàn)小麗想用這塊長方形的硬紙片，沿著邊的方向裁出一塊長與寬的比為5：4，面積為520cm2的新紙片作為他用．試判斷小麗能否成功，并說明理由．

【答案】（1）長方形的面積為600cm2；（2）不能成功，理由詳見解析．
【解析】
解：（1）設(shè)長方形的長為，寬為，
根據(jù)題意得：，
解得：，
∴長方形面積為：，
答：長方形的面積為600cm2；
（2）不能成功，理由如下：
設(shè)長方形紙片的長為，則寬為，
根據(jù)題意得：，
解得：，（不合題意，舍去），
∴，，
∵，
即紙片的寬大于原來硬紙片的寬，
∴小麗不能成功．
考點(diǎn)2：一元二次方程與營銷問題
典例：（2020·廣東省初三其他）某汽車租貿(mào)公司共有汽車50輛，市場調(diào)查表明，當(dāng)租金為每輛每日200元時可全部租出，當(dāng)租金每提高10元，租出去的車就減少2輛．
（1）當(dāng)租金提高多少元時，公司的每日收益可達(dá)到10120元？
（2）公司領(lǐng)導(dǎo)希望日收益達(dá)到10160元，你認(rèn)為能否實(shí)現(xiàn)？若能，求出此時的租金，若不能，請說明理由，
（3）汽車日常維護(hù)要定費(fèi)用，已知外租車輛每日維護(hù)費(fèi)為100元未租出的車輛維護(hù)費(fèi)為50元，當(dāng)租金為多少元時，公司的利潤恰好為5500元？（利潤＝收益﹣維護(hù)費(fèi)）
【答案】（1）當(dāng)租金提高20元或30元時，公司的每日收益可達(dá)到10120元；（2）日收益不能達(dá)到10160元，理由見解析；（3）當(dāng)租金為250元時，公司的利潤恰好為5500元．
【解析】
（1）設(shè)租金提高x元，則每日可租出（50﹣）輛，
依題意，得：（200+x）（50﹣）＝10120，
整理，得：x2﹣50x+600＝0，
解得：x1＝20，x2＝30．
答：當(dāng)租金提高20元或30元時，公司的每日收益可達(dá)到10120元．
（2）假設(shè)能實(shí)現(xiàn)，租金提高x元，
依題意，得：（200+x）（50﹣）＝10160，
整理，得：x2﹣50x+900＝0，
∵△＝（﹣50）2﹣4×1×900＜0，
∴該一元二次方程無解，
∴日收益不能達(dá)到10160元．
（3）設(shè)租金提高x元，
依題意，得：（200+x）（50﹣）﹣100（50﹣）﹣50×＝5500，
整理，得：x2﹣100x+2500＝0，
解得：x1＝x2＝50，
∴200+x＝250．
答：當(dāng)租金為250元時，公司的利潤恰好為5500元．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題考查一元二次方程的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系列方程是解題關(guān)鍵.
鞏固練習(xí)
1．（2020·浙江省初二期中）某商店銷售一款口罩，每袋的進(jìn)價為12元，計(jì)劃售價大于12元但不超過22元，通過試場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種口罩每袋售價提高1元，日均銷售量降低5袋，當(dāng)售價為18元時，日均銷售量為50袋.
（1）在售價為18元的基礎(chǔ)上，將這種口罩的售價每袋提高x元，則日均銷售量是　　袋；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）要想銷售這種口罩每天贏利275元，該商場每袋口罩的售價要定為多少元？
【答案】（1）；（2）17
【解析】
解：（1）（袋）；
故答案為：；
（2）根據(jù)題意得：，
即：，
解得：，，
當(dāng)時，售價是元；
當(dāng)時，售價是元．
∵計(jì)劃售價大于12元但不超過22元，
∴，售價是17元．
答：該商場每袋口罩的售價要定為17元．
2．（2020·廣州市花都區(qū)南陽學(xué)校初三月考）某商店以每件40元的價格進(jìn)了一批商品，出售價格經(jīng)過兩個月的調(diào)整，從每件50元上漲到每件72元，此時每月可售出188件商品．
（1）求該商品平均每月的價格增長率；
（2）因某些原因，商家需盡快將這批商品售出，決定降價出售．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：售價每下降一元，每個月多賣出一件，設(shè)實(shí)際售價為x元，則x為多少元時銷售此商品每月的利潤可達(dá)到4000元．
【答案】（1）20%;（2）60元
【解析】
解：（1）設(shè)該商品平均每月的價格增長率為m，
依題意，得：50（1+m）2＝72，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：該商品平均每月的價格增長率為20%．
（2）依題意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，
整理，得：x2﹣300x+14400＝0，
解得：x1＝60，x2＝240（不合題意，舍去）．
答：x為60元時商品每天的利潤可達(dá)到4000元．
3．（2020·北京市文匯中學(xué)初二期中）因魔幻等與眾不同的城市特質(zhì)，以及抖音等新媒體的傳播，重慶已成為國內(nèi)外游客最喜歡的旅游目的地城市之一．著名“網(wǎng)紅打卡地”磁器口在2018年五一長假期間，接待游客達(dá)20萬人次，預(yù)計(jì)在2020年五一長假期間，接待游客將達(dá)28.8萬人次．在磁器口老街，美食無數(shù)，一家特色小面店希望在五一長假期間獲得好的收益，經(jīng)測算知，該小面成本價為每碗6元，借鑒以往經(jīng)驗(yàn)：若每碗賣25元，平均每天將銷售300碗，若價格每降低1元，則平均每天多銷售30碗．
(1)求出2018至2020年五一長假期間游客人次的年平均增長率；
(2)為了更好地維護(hù)重慶城市形象，店家規(guī)定每碗售價不得超過20元，則當(dāng)每碗售價定為多少元時，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤6300元？
【答案】(1)年平均增長率為20%；(2)每碗售價定為20元時，每天利潤為6300元.
【解析】
(1)設(shè)平均增長率為，則
解得： (舍)·
答：年平均增長率為20%
(2)設(shè)每碗售價定為元時，每天利潤為6300元
[300+30(25-y)]=6300·
解得： ·
∵每碗售價不超過20元，
所以.
4．（2020·丹東市第七中學(xué)初三一模）某商場經(jīng)銷一種成本為每千克40元的水產(chǎn)品，經(jīng)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲價1元，月銷售量就減少10千克．針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，請解答以下問題．
（1）當(dāng)銷售單價定為每千克55元，計(jì)算月銷售量和月銷售利潤；
（2）商場計(jì)劃在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到8000元，銷售單價應(yīng)定為多少？
【答案】（1）月銷售量450千克，月利潤6750元；（2）銷售單價應(yīng)定為80元/千克
【解析】
（1）月銷售量為：500﹣5×10＝450（千克），
月利潤為：（55﹣40）×450＝6750（元）．
（2）設(shè)單價應(yīng)定為x元，
得：（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，
解得：x1＝60，x2＝80．
當(dāng)x＝60時，月銷售成本為16000元，不合題意舍去．
∴x＝80．
答：銷售單價應(yīng)定為80元/千克．
5．（2020·山東省初二期中）我市某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進(jìn)價為40元，若銷售價為60元，每天可售出20件，為迎接“雙十一”，專賣店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，以擴(kuò)大銷售量，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝降價1元，那么平均可多售出2件設(shè)每件童裝降價x元時，平均每天可盈利y元．
寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
當(dāng)該專賣店每件童裝降價多少元時，平均每天盈利400元？
該專賣店要想平均每天盈利600元，可能嗎？請說明理由．
【答案】（1）；（2）10元：（3）不可能，理由見解析
【解析】解：根據(jù)題意得，
y與x的函數(shù)關(guān)系式為；
當(dāng)時，，
解得，不合題意舍去．
答：當(dāng)該專賣店每件童裝降價10元時，平均每天盈利400元；
該專賣店不可能平均每天盈利600元．
當(dāng)時，，
整理得，
，
方程沒有實(shí)數(shù)根，
答：該專賣店不可能平均每天盈利600元．
6．（2020·山西省初三一模）2020年年初以來，全國多地豬肉價格連續(xù)上漲，引起了民眾與政府的高度關(guān)注，政府向市場投入儲備豬肉進(jìn)行了價格平抑．據(jù)統(tǒng)計(jì)：某超市2020年1月10日豬肉價格比去年同一天上漲了40%，這天該超市每千克豬肉價格為56元．

（1）求2019年1月10日，該超市豬肉的價格為每千克多少元？
（2）現(xiàn)在某超市以每千克46元的價格購進(jìn)豬肉，按2020年1月10日價格出售，平均一天能銷售100千克.經(jīng)調(diào)查表明：豬肉的售價每千克下降1元，平均每日銷售量就增加20千克，超市為了實(shí)現(xiàn)銷售豬肉平均每天有1120元的銷售利潤，在盡可能讓利于顧客的前提下，每千克豬肉應(yīng)該定價為多少元？
【答案】（1）2019年1月10日豬肉的價格為每千克40元；（2）每千克豬肉應(yīng)該定價為53元．
【解析】(1)設(shè)2019年1月10日，該超市豬肉的價格為每千克元，
根據(jù)題意，得，
解得：，
答：2019年1月10日豬肉的價格為每千克40元；
(2)設(shè)每千克豬肉應(yīng)降價元，
依題意，得：，
解得：，，
∵盡可能讓利于顧客，
∴，
∴．
答：每千克豬肉應(yīng)該定價為53元．
7．（2019·遼寧省初三月考）某商店經(jīng)銷甲、乙兩種商品現(xiàn)有如下信息：信息1：甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價之和是3元；信息2：甲商品零售單價比進(jìn)貨單價多1元，乙商品零售單價比進(jìn)貨單價的2倍少1元；信息3：按零售單價購買甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．請根據(jù)以上信息，解答下列問題：
求甲、乙兩種商品的零售單價；
該商店平均每天賣出甲商品500件和乙商品1200件經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，甲種商品零售單價每降元，甲種商品每天可多銷售100件商店決定把甲種商品的零售單價下降元在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)m為多少時，商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的總利潤為1700元？
【答案】（1）甲、乙零售單價分別為2元和3元；（2）當(dāng)m定為元才能使商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的利潤共1700元．
【解析】
假設(shè)甲、種商品的進(jìn)貨單價為x，y元，乙種商品的進(jìn)貨單價為y元，
根據(jù)題意可得：，
解得：，
故甲、乙零售單價分別為2元和3元；
根據(jù)題意得出：
，
即，
解得或舍去，
答：當(dāng)m定為元才能使商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的利潤共1700元．
考點(diǎn)3：以百分?jǐn)?shù)為未知量的一元二次方程
典例：（2020·廣東省初三月考）經(jīng)中共中央決定設(shè)立河北雄安新區(qū)，這一重大措施必將帶動首都及周邊區(qū)域向更高水平發(fā)展，同時也會帶來更多商機(jī)．某水果經(jīng)銷商在第一周購進(jìn)一批水果1160件，預(yù)計(jì)在第二周進(jìn)行試銷，購進(jìn)價格為每件10元，若售價為每件12元，則可全部售出；若售價每漲價0.1元，銷量就減少2件．
（1）若該經(jīng)銷商在第二周的銷量不低于1100件，則售價應(yīng)不高于多少元？
（2）由于銷量較好，第三周水果進(jìn)價比第一周每件增加了20%，該經(jīng)銷商增加了進(jìn)貨量，并加強(qiáng)了宣傳力度，結(jié)果第三周的銷量比第二周在（1）條件下的最低銷量增加了m%，但售價比第二周在（1）條件下的最高售價減少了m%，結(jié)果第三周利潤達(dá)到3388元，求m的值（m＞10）．
【答案】（1）售價應(yīng)不高于15元；（2）m＝40．
【解析】
（1）設(shè)售價應(yīng)為x元，依題意有：
　11601100，
解得：x≤15．
答：售價應(yīng)不高于15元．
（2）第三周的進(jìn)價：10（1+20%）=12（元），
由題意得：
　1100（1+m%）[15（1m%）﹣12]=3388，
設(shè)m%=t，化簡得50t2﹣25t+2=0，
解得：t1，t2，
所以m1=40，m2=10，
因?yàn)閙＞10，
所以m=40．
答：m的值為40．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的不等關(guān)系和等量關(guān)系，列出不等式和方程，再求解．
鞏固練習(xí)
1．（2020·重慶初三其他）新型冠狀病毒肺炎是一種急性感染性肺炎，其病原體是一種先前未在人體中發(fā)現(xiàn)的新型冠狀病毒．市民出于防疫的需求，持續(xù)搶購防護(hù)用品．某藥店口罩每袋售價20元，醫(yī)用酒精每瓶售價15元．
（1）該藥店第一周口罩的銷售袋數(shù)比醫(yī)用酒精的銷售瓶數(shù)多100，且第一周這兩種防護(hù)用品的總銷售額為9000元，求該藥店第一周銷售口罩多少袋？
（2）由于疫情緊張，該藥店為了幫助大家共渡難關(guān)，第二周口罩售價降低了，銷量比第一周增加了，醫(yī)用酒精的售價保持不變，銷量比第一周增加了，結(jié)果口罩和醫(yī)用酒精第二周的總銷售額比第一周增加了，求的值．
【答案】（1）第一周銷售口罩300袋；（2）的值為20．
【解析】（1）設(shè)第一周銷售口罩袋，則銷售醫(yī)用酒精瓶，
依題意，得，
解得．
答：第一周銷售口罩300袋，
故答案為：300；
（2）依題意得，
，
整理得，
解得（舍去）．
答：的值為20，
故答案為：20．
2．（2020·重慶一中初三一模）4月24日《復(fù)仇者聯(lián)盟4》在中國大陸上映．我市江北UME影城為加大宣傳，決定在4月23日預(yù)售普通3D票400張和IMAX票100張，且預(yù)售中的IMAX的票價是普通3D票價的2倍．
（1）若影城的預(yù)售總額不低于21000元，則普通3D票的預(yù)售價格最少為多少元？
（2）影城計(jì)劃在上映當(dāng)天推出普通3D票3200張，IMAX票800張．由于預(yù)售的火爆，影城決定將普通3D票的價格在（1）中最低價格的基礎(chǔ)上增加%，而IMAX票價在（1）中IMAX票價上增加了a元，結(jié)果普通3D票的銷售量比計(jì)劃少2a%．IMAX票的銷售量與計(jì)劃保持一致，最終實(shí)際銷售額與計(jì)劃銷售額相等，求a的值．
【答案】（1）普通3D票的預(yù)售價格最少為35元/張；（2）a的值為20．
【解析】
（1）設(shè)普通3D票的預(yù)售價格為x元/張，則IMAX票的預(yù)售價格為2x元/張，
依題意，得：400x+100×2x≥21000，
解得：x≥35．
答：普通3D票的預(yù)售價格最少為35元/張．
（2）依題意，得：35(1+a%)×3200(1﹣2a%)+(35×2+a)×800＝35×3200+35×2×800，
整理，得：a2﹣20a＝0，
解得：a1＝0（舍去），a2＝20．
答：a的值為20．
3．（2020·重慶巴蜀中學(xué)初二月考）智能手環(huán)是一種穿戴式智能設(shè)備，通過智能手環(huán)，用戶可以記錄日常生活中的鍛煉，睡眠、部分還有飲食等實(shí)時數(shù)據(jù)，并將這些數(shù)據(jù)與手機(jī)、平板同步，起到通過數(shù)據(jù)指導(dǎo)健康生活的作用，某公司2020年3月新推出型和型兩款手環(huán)．型手環(huán)每只售價是型手環(huán)售價的1.5倍．3月份、手環(huán)總計(jì)銷售650只，型手環(huán)銷售額為108000元，型手環(huán)銷售額為84000元．
（1）求、型手環(huán)的售價各是多少？
（2）由于更多的公司研發(fā)手環(huán)投入市場，市場競爭的加劇，公司決定4月份對兩種手環(huán)進(jìn)行降價促銷，對型手環(huán)直降元，銷量比原來提高了，對型手環(huán)在原價基礎(chǔ)上降價銷售，銷量比原來提高了20%，4月份總計(jì)銷售額為208320元，求的值．
【答案】（1）型手環(huán)售價為元，型手環(huán)售價為元．（2）40．
【解析】
解：（1）設(shè)型手環(huán)售價為元，表示出型手環(huán)售價為元，由題意得：

解得
經(jīng)檢驗(yàn)，符合實(shí)際意義，
型手環(huán)售價為（元）．
故型手環(huán)售價為元，型手環(huán)售價為元．
（2）由（1）得，型手環(huán)促銷前的銷售量為臺，則型手環(huán)促銷前的銷量為臺，
由題意得：
化簡得：
解得或（舍
故的值為40．
4．（2020·重慶一中初三月考）受非洲豬瘟的影響，2019年的豬肉價格創(chuàng)歷史新高，同時其他肉類的價格也有一定程度的上漲，某超市11月份的豬肉銷量是羊肉銷量的倍，且豬肉價格為每千克元羊肉價格為每千克元.
（1）若該超市11月份豬肉、羊肉的總銷售額不低于萬元，則11月份的豬肉銷量至少多少千克？
（2）12月份香腸臘肉等傳統(tǒng)美食的制作，使得市場的豬肉需求加大，12月份豬肉的銷量比11月份增長了，由于國家對豬肉價格的調(diào)控，12 月份的豬肉價格比11月份降低了，羊肉的銷量是11月份豬肉銷量的，且價格不變.最終，該超市12月份豬肉和.羊肉的銷售額比11月份這兩種肉的銷售額增加了，求的值.
【答案】（1）11月份豬肉銷量至少為千克；（2）的值為
【解析】
解：（1）設(shè)11月份豬肉銷量為千克，
則：，
解得：，
答： 11月份豬肉銷量至少為千克；
（2）設(shè)11月份羊肉銷量為千克，豬肉銷量為千克，則：
，
令，
則，
整理得：，
解得：或，
(舍)或，
答：a的值為．
5．（2019·重慶初三一模）鮮豐水果店計(jì)劃用元/盒的進(jìn)價購進(jìn)一款水果禮盒以備銷售．
據(jù)調(diào)查，當(dāng)該種水果禮盒的售價為元/盒時，月銷量為盒，每盒售價每增長元，月銷量就相應(yīng)減少盒，若使水果禮盒的月銷量不低于盒，每盒售價應(yīng)不高于多少元？
在實(shí)際銷售時，由于天氣和運(yùn)輸?shù)脑?，每盒水果禮盒的進(jìn)價提高了，而每盒水果禮盒的售價比中最高售價減少了，月銷量比中最低月銷量盒增加了，結(jié)果該月水果店銷售該水果禮盒的利潤達(dá)到了元，求的值．
【答案】（1）若使水果禮盒的月銷量不低于盒，每盒售價應(yīng)不高于元；（2）的值為．
【解析】
解：設(shè)每盒售價元．
依題意得：
解得：
答：若使水果禮盒的月銷量不低于盒，每盒售價應(yīng)不高于元
依題意：
令：
化簡：
解得：（舍去），

答：的值為．
6．（2020·浙江省初二月考）每年九月是開學(xué)季，大多數(shù)學(xué)生會購買若干筆記本滿足日常學(xué)習(xí)需要，校外某文具店老板開學(xué)前某日去批發(fā)市場進(jìn)貨，購進(jìn)甲乙丙三種不同款式的筆記本，已知甲款筆記本的進(jìn)價為2元/本，乙款筆記本的進(jìn)價為4元/本，丙款筆記本的進(jìn)價為6元/本，經(jīng)過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，甲款筆記本、乙款筆記本和丙款筆記本的零售價分別定為4元/本、6元/本和10元/本時，每天可分別售出甲款筆記本30本、乙款筆記本50本和丙款筆記本20本，如果將乙款筆記本的零售價提高元（），甲款筆記本和丙款筆記本的零售價均保持不變，那么乙款筆記本每天的銷售量將下降，丙款筆記本每天的銷售量將上升，甲款筆記本每天的銷量仍保持不變．
（1）若，調(diào)價后每天銷售三款筆記本共可獲利多少元？
（2）若調(diào)價后每天銷售三款筆記本共可獲利260元，求的值．
【答案】（1）264元；（2）的值為50．
（1）（元），
（2）根據(jù)題意，得，
整理得，
解得，，（不合題意，舍去），
答：的值為50．
7．（2020·重慶南開中學(xué)初二月考）某體育用品制造公司通過互聯(lián)網(wǎng)銷售某品牌排球，第一周的總銷售額為3000元，第二周的總銷售額為3520元，第二周比第一周多售出13個排球．
（1）求每個排球的售價；
（2）該公司在第三周將每個排球的售價降低了（其中），并預(yù)計(jì)第三周能售出120個排球．恰逢中國女排奪冠，極大地激發(fā)了廣大青少年積極參與排球運(yùn)動的熱情，該款排球在第三周的銷量比預(yù)計(jì)的120個還多了．已知每個排球的成本為16元，該公司第三周銷售排球的總利潤為4320元，求的值．
【答案】（1）40；（2）=20
【解析】
解：（1）設(shè)每個排球的售價為，根據(jù)題意：
，
解得：．
答：每個排球的售價為40元．
（2）根據(jù)題意：，
整理得：，
解得：，（不符合題意舍去）．
故的值為20．
考點(diǎn)4：一元二次方程與動態(tài)幾何問題
典例：（2020·綿竹市孝德中學(xué)初二期中）如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2個單位長的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q同時從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)D運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為t（秒）．
（1）設(shè)△DPQ的面積為S，求S與t之間的關(guān)系式；
（2）當(dāng)t為何值時，四邊形PCDQ是平行四邊形？
（3）分別求出當(dāng)t為何值時，①PD=PQ；②DQ=PQ．

【答案】（1）S=-6t+96；（2）當(dāng)t=5時，四邊形PCDQ是平行四邊形；（3）①當(dāng)t=時，PD=PQ；②當(dāng)t=時，DQ=PQ
【解析】
（1）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16，
設(shè)AQ=t，BP=2t，則DQ=16?t，PC=21?2t，
過點(diǎn)P作PE⊥AD于E，

則四邊形ABPE是矩形，PE=AB=12，
∴S=DQ?AB=(16?t)×12=?6t+96
故答案為：S=6t+96
（2）當(dāng)四邊形PCDQ是平行四邊形時，PC=DQ，
∴21?2t=16?t解得：t=5，
∴當(dāng)t=5時，四邊形PCDQ是平行四邊形．
故答案為：當(dāng)t=5時，四邊形PCDQ是平行四邊形
（3）∵AE=BP=2t，PE=AB=12，
①當(dāng)PD=PQ時，QE=ED=QD，
∵DE=16?2t，
∴AE=BP=AQ+QE，即2t=t+16?2t，
解得：t=，
∴當(dāng)t=時，PD=PQ
故答案為：當(dāng)t=時，PD=PQ
②當(dāng)DQ=PQ時，DQ2=PQ2
∴t2+122=(16?t)2解得：t=
∴當(dāng)t=時，DQ=PQ
故答案為：當(dāng)t=時，DQ=PQ
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題考查了圖形上的動點(diǎn)問題，一般運(yùn)動時間為t，速度乘以時間得到路程，根據(jù)線段相關(guān)關(guān)系求解，在解題過程中應(yīng)用到了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形等知識點(diǎn)．
鞏固練習(xí)
1．（2020·廣東省初三其他）（1）課本情境:如圖，已知矩形AOBC，AB＝6cm，BC＝16cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)O運(yùn)動，直到點(diǎn)O為止；動點(diǎn)Q同時從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，與點(diǎn)P同時結(jié)束運(yùn)動，出發(fā)　　時，點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離是10cm；
（2）逆向發(fā)散:當(dāng)運(yùn)動時間為2s時，P，Q兩點(diǎn)的距離為多少？當(dāng)運(yùn)動時間為4s時，P，Q兩點(diǎn)的距離為多少？
（3）拓展應(yīng)用：若點(diǎn)P沿著AO→OC→CB移動，點(diǎn)P，Q分別從A，C同時出發(fā)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C移動到點(diǎn)B停止時，點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止移動，求經(jīng)過多長時間△POQ的面積為12cm2？

【答案】（1）或（2）；（3）或
【解析】
解：（1）設(shè)運(yùn)動時間為t秒時，如圖，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，
由運(yùn)動知，AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，
∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離是10 cm，
∴62+（16﹣5t）2＝100，
解得t1=，t2=，
∴t＝或.
故答案為或

（2）t=2時，由運(yùn)動知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，
∴四邊形APEB是矩形，
∴PE＝AB＝6，BE＝6，
∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝16﹣6﹣4＝6，
根據(jù)勾股定理得PQ=,
∴當(dāng)t＝2 s時，P，Q兩點(diǎn)的距離為6 cm；
當(dāng)t＝4 s時，由運(yùn)動知AP＝3×4＝12 cm，CQ＝2×4＝8cm，
∴四邊形APEB是矩形，
∴PE＝AB＝6，BQ＝8，CE=OP=4
∴EQ＝BC﹣CE﹣BQ＝16﹣4﹣8＝4，
根據(jù)勾股定理得PQ=,
P，Q兩點(diǎn)的距離為2cm.

（3）點(diǎn)Q從C點(diǎn)移動到B點(diǎn)所花的時間為16÷2=8s，
當(dāng)點(diǎn)P在AO上時，S△POQ＝＝＝12，
解得t＝4．
當(dāng)點(diǎn)P在OC上時，S△POQ＝＝＝12，
解得t＝6或﹣（舍棄）．
當(dāng)點(diǎn)P在CB上時，S△POQ＝＝＝12，
解得t＝18＞8（不符合題意舍棄），
綜上所述，經(jīng)過4 s或6 s時，△POQ的面積為12 cm2．
2．（2020·杭州市拱宸中學(xué)初二月考）在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向終點(diǎn)B以1 cm/s的速度移動，與此同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向終點(diǎn)C以2 cm/s的速度移動．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)C時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
(1)填空：BQ＝________，PB＝________(用含t的代數(shù)式表示)；
(2)當(dāng)t為何值時，PQ的長度等于5 cm?
(3)是否存在t的值，使得五邊形APQCD的面積等于26 cm2？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）2tcm；（5-t）cm（2）當(dāng)t=2秒時，PQ的長度等于5cm（3）存在t=1秒，能夠使得五邊形APQCD的面積等于26cm2
【解析】
（1）∵P從點(diǎn)A開始沿邊AB向終點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，∴AP＝tcm．
∵AB＝5cm，∴PB＝（5﹣t）cm．
∵點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，∴BQ＝2tcm；
（2）由題意得：（5﹣t）2+（2t）2＝52，解得：t1＝0，t2＝2；
答：當(dāng)t＝0秒或2秒時，PQ的長度等于5cm．
（3）存在t＝1秒，能夠使得五邊形APQCD的面積等于26cm2．理由如下：
長方形ABCD的面積是：5×6＝30（cm2），使得五邊形APQCD的面積等于26cm2，則△PBQ的面積為30﹣26＝4（cm2），（5﹣t）×2t4，解得：t1＝4（不合題意舍去），t2＝1．
即當(dāng)t＝1秒時，使得五邊形APQCD的面積等于26cm2．

3．（2020·山東省初三一模）閱讀理解：給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，則這個矩形是給定矩形的“減半”矩形．如圖，矩形是矩形的“減半”矩形．
請你解決下列問題：

（1）當(dāng)矩形的長和寬分別為，時，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并說明理由．
（2）邊長為的正方形存在“減半”正方形嗎？如果存在，求出“減半”正方形的邊長；如果不存在，請說明理由．
【答案】（1）存在；理由見解析；（2）不存在，理由見解析．
【解析】
解：（1）存在
假設(shè)存在，不妨設(shè)“減半”矩形的長和寬分別為，，則，
由①，得：，③
把③代入②，得，
解得，．
所以“減半”矩形長和寬分別為與．
（2）不存在
因?yàn)閮蓚€正方形是相似圖形，當(dāng)它們的周長比為時，面積比必定是，
所以正方形不存在“減半”正方形．
4．（2018·紹興市元培中學(xué)初二期中）如圖四邊形，，，，，．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線的方向以每秒的速度運(yùn)動到點(diǎn)返回，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，點(diǎn)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為（秒）．

（1）當(dāng)時，是否存在點(diǎn)，使四邊形是平行四邊形，若存在，求出值；若不存在，請說明理由；
（2）當(dāng)為何值時，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形面積等于；
（3）當(dāng)時，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）t＝3；（2）t＝；（3）t＝3或t＝．
【解析】解：（1）∵AD∥BC
∴當(dāng)DQ＝CP時，四邊形PQDC是平行四邊形，
當(dāng)0＜t＜5時，點(diǎn)P從B運(yùn)動到C，
∵DQ＝AD?AQ＝12?2t，CP＝15?3t，
∴12?2t＝15?3t，
解得：t＝3，
∴t＝3時，四邊形PQDC是平行四邊形；
（2）分兩種情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)P是從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動時，
∵CP＝15?3t，DQ＝12?2t，以C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形面積等于30cm2，
∴S四邊形CDQP＝ (DQ＋CP)?AB＝30，即× (12?2t＋15?3t)×10＝30，
解得：t＝；
②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C返回點(diǎn)B時，
由運(yùn)動知，DQ＝12?2t，CP＝3t?15，
∴S四邊形CDQP＝ (DQ＋CP)?AB＝30，即 (12?2t＋3t?15)×10＝30，
解得：t＝9，
∵點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D的時間為12÷2＝6，
∴t＝9舍去，
∴當(dāng)t為秒時，以C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形面積等于30cm2；
（3）分三種情況討論：
作PH⊥AD于H，
①當(dāng)PQ＝PD時，則HQ＝HD，
∵QH＝HD＝DQ＝（12?2t）＝6?t，
由AH＝BP，得：6?t＋2t＝3t，
解得：t＝3；
②當(dāng)PQ＝DQ時，
∵QH＝AH?AQ＝BP?AQ＝3t?2t＝t，DQ＝12?2t，
∴PQ2＝QH2＋PH2＝t2＋102，
∵DQ2＝PQ2，
∴（12?2t）2＝t2＋102，
解得：t＝，
∵0＜t＜5，
∴t＝；
③當(dāng)DQ＝PD時，
∵DH＝AD?AH＝AD?BP＝12?3t，DQ＝12?2t，
∴PD2＝PH2＋HD2＝102＋（12?3t）2，
∵DQ2＝PD2，
∴（12?2t）2＝102＋（12?3t）2，
整理得：5t2?24t＋100＝0，
∵△＜0，
∴方程無實(shí)根，即此情況不存在，
綜上可知，當(dāng)t＝3秒或t＝秒時，△PQD是等腰三角形．

5．（2019·浙江省初二期中）如圖，在邊長為12cm的等邊三角形ABC中，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以每秒鐘1cm的速度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以每秒鐘2cm的速度移動．若P、Q分別從A、B同時出發(fā)，其中任意一點(diǎn)到達(dá)目的地后，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，求：
(1)經(jīng)過6秒后，BP=_________cm，BQ=_______cm；
(2)經(jīng)過幾秒后，△BPQ是直角三角形？
(3)經(jīng)過幾秒△BPQ的面積等于10cm2？

【答案】（1）BP=6cm．BQ=12cm，（2）6秒或秒（3）2秒
【解析】
解：（1）由題意，得
AP=6cm，BQ=12cm，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=12cm，
∴BP=12﹣6=6cm．
（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，
當(dāng)∠PQB=90°時，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=12﹣x，BQ=2x，
∴12﹣x=2×2x，
解得x=，
當(dāng)∠QPB=90°時，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
∴2x=2（12﹣x），
解得x=6．
答：6秒或秒時，△BPQ是直角三角形；
（3）作QD⊥AB于D，

∴∠QDB=90°，
∴∠DQB=30°，
∴DB=BQ=x，
在Rt△DBQ中，由勾股定理，得
DQ=x，
∴=10，
解得x1=10，x2=2，
∵x=10時，2x＞12，故舍去，
∴x=2．
答：經(jīng)過2秒△BPQ的面積等于10cm2．
6．（2020·中山市海洲初級中學(xué)初三期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AC運(yùn)動；同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2cm的速度沿CB運(yùn)動，當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)P同時停止運(yùn)動．

（1）求運(yùn)動幾秒時△PCQ的面積為5cm2？
（2）△PCQ的面積能否等于10cm2？若能，求出運(yùn)動時間，若不能，說明理由；
（3）是否存在某個時刻t，使四邊形ABQP的面積最??？若存在，求出運(yùn)動時間，若不能，說明理由．
【答案】（1）經(jīng)過1秒后，△PCQ的面積等于5cm2；（2）不能，見解析；（3）時，使四邊形ABQP的面積最小
【解析】（1）設(shè)運(yùn)動t秒后△PCQ的面積等于5cm，
根據(jù)題意得：
CP=6﹣t，QC=2t，
則△PCQ的面積是：CQ?CP=×(6﹣t)×2t=5，
解得：t1=1，t2=5（舍去），
故經(jīng)過1秒后，△PCQ的面積等于5cm2；

（2）若△PCQ的面積能否等于10cm2，則×(6﹣t)×2t=10，
化簡得：，
，
所以方程無實(shí)數(shù)解，△PCQ的面積不能等于10cm2；
（3）=
，
因?yàn)?0，
所以四邊形ABQP的面積有最小值，
∴，
當(dāng)時，四邊形ABQP的面積有最小值為．
7．（2020·湖南省初三期末）如圖，已知是邊長為的等邊三角形，動點(diǎn)、同時從、兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿、方向勻速移動，它們的移動速度都是，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時，、兩點(diǎn)停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間的秒，解答下列問題．
（1）時，求的面積；
（2）若是直角三角形，求的值；
（3）用表示的面積并判斷能否成立，若能成立，求的值，若不能成立，說明理由．

【答案】（1）；（2）或；（3）不能成立，理由見解析
【解析】解：（1）當(dāng)時，由題意可知，
∵是邊長為的等邊三角形，
∴，
∴是等邊三角形，
所以.
（2）①當(dāng)時，
，
，
，，
由得.
②當(dāng)，
，
，
，，
∴，得，
解得：
當(dāng)或時，是直角三角形.
（3），，
∴，
∴，
由即得，
，即t值無解，
不能成立.
8．（2020·德州市第九中學(xué)初三月考）如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點(diǎn)，AB=16cm，AD=6cm，動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動，一直到達(dá)B為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向D移動．
(1)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形APQD為長方形？
(2)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時？四邊形PBCQ的面積為33cm2；
(3)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時？點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm．

【答案】(1) P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到3.2秒時，四邊形APQD為長方形； (2) P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到5秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm2；(3) P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到1.6秒或4.8秒時，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm．
【解析】(1)設(shè)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到x秒時，四邊形APQD為長方形，
根據(jù)題意得：16﹣3x=2x，
解得：x=．
答：P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到秒時，四邊形APQD為長方形．
(2)設(shè)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到y(tǒng)秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm2，
根據(jù)題意得：×6（16﹣3x+2x）=33，
解得：x=5．
答：P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到5秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm2．
(3)過點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，如圖所示．
設(shè)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到x秒時，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm，
根據(jù)題意得：（16﹣3x﹣2x）2+62=102，
整理得：（16﹣5x）2=82，
解得：x1=，x2=．
答：P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到秒或秒時，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm．

9．（2020·江蘇省初三期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿射線AC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，與此同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動．如果P、Q分別從A、C同時出發(fā)，運(yùn)動的時間為ts，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動時，P、C兩點(diǎn)之間的距離　　cm．（用含t的代數(shù)式表示）
（2）在運(yùn)動的過程中，是否存在某一時刻，使得△PQC的面積是△ABC面積的．若存在，求t的值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）（6﹣2t）；（2）存在，理由見解析，t＝4
【解析】
解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴由勾股定理得AC＝6cm，
又∵點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿射線AC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，
∴AP＝2t，
∴當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動時，P、C兩點(diǎn)之間的距離（6﹣2t）cm；
故答案為：（6﹣2t）；
（2）△ABC的面積為S△ABC＝×6×8＝24，
①當(dāng)0＜t＜3時，PC＝6﹣2t，QC＝t，
∴S△PCQ＝PC×QC＝t（6﹣2t），
∴t（6﹣2t）＝4，
即t2﹣3t+4＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，
∴該一元二次方程無實(shí)數(shù)根，
∴該范圍下不存在；
②當(dāng)3＜t≤8時，PC＝2t﹣6，QC＝t，
∴S△PCQ＝PC×QC＝t（2t﹣6），
∴t（2t﹣6）＝4，
即t2﹣3t﹣4＝0，
解得t＝4或﹣1（舍去），
綜上所述，存在，當(dāng)t＝4時，△PQC的面積是△ABC面積的．
考點(diǎn)5：與一元二次方程有關(guān)的其它應(yīng)用問題
典例：（2019·河南省鄭州四中實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期中）某日王老師佩戴運(yùn)動手環(huán)進(jìn)行快走鍛煉，兩次鍛煉后數(shù)據(jù)如下表．與第一次鍛煉相比，王老師第二次鍛煉步數(shù)增長的百分率是其平均步長減少的百分率的3倍．設(shè)王老師第二次鍛煉時平均步長減少的百分率為x（0＜x＜0.5）．

注：步數(shù)×平均步長＝距離．
（1）根據(jù)題意完成表格填空；
（2）求x的值；
（3）王老師發(fā)現(xiàn)好友中步數(shù)排名第一為24000步，因此在兩次鍛煉結(jié)束后又走了500米，使得總步數(shù)恰好為24000步，求王老師這500米的平均步長．
【答案】（1）①，② ；（2）的值為0.1；（3）王老師這的平均步長為0.5米/步．
【解析】
（1）①根據(jù)題意可得第二次鍛煉的步數(shù)為10000（1＋3x）；
②第二次鍛煉的平均步長（米/步）為：0.6（1?x）；
故答案為：10000（1＋3x）；0.6（1?x）；
（2）根據(jù)題意得，
解得（舍去），.
則的值為0.1.
（3）根據(jù)題意可得：10000＋10000（1＋0.1×3）＝23000，
500÷（24000?23000）＝0.5（m）．
答：王老師這500米的平均步長為0.5米．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確表示出第二次鍛煉的步數(shù)與步長是解題關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．（2018·福建省初三期中）某學(xué)校為培養(yǎng)青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動漫制作活動，小明設(shè)計(jì)了點(diǎn)做圓周運(yùn)動的一個雛型．如圖所示，甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)、以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運(yùn)動.甲運(yùn)動的路程與時間滿足關(guān)系：（），乙以4的速度勻速運(yùn)動，半圓的長度為21．

（1）甲運(yùn)動4后的路程是多少？
（2）甲、乙從開始運(yùn)動到第一次相遇時，它們運(yùn)動了多少時間？
【答案】（1）甲運(yùn)動4后的路程是14；（2）甲、乙從開始運(yùn)動到第一次相遇時，它們運(yùn)動了3．
【解析】
當(dāng)時，
（），
答：甲運(yùn)動4后的路程是14；
（2）由圖可知，甲乙第一次相遇時走過的路程為半圓21，甲走過的路程為，乙走過的路程為4，
則，
解得：或（不合題意，舍去），
答：甲、乙從開始運(yùn)動到第一次相遇時，它們運(yùn)動了3．
2．（2019·湖南省初三期末）“鐵路建設(shè)助推經(jīng)濟(jì)發(fā)展”，近年來我國政府十分重視鐵路建設(shè).渝利鐵路通車后，從重慶到上海比原鐵路全程縮短了320千米，列車設(shè)計(jì)運(yùn)行時速比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時速提高了120千米/小時，全程設(shè)計(jì)運(yùn)行時間只需8小時，比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時間少用16小時.
（1）渝利鐵路通車后，重慶到上海的列車設(shè)計(jì)運(yùn)行里程是多少千米?
（2）專家建議：從安全的角度考慮,實(shí)際運(yùn)行時速要比設(shè)計(jì)時速減少m%，以便于有充分時間應(yīng)對突發(fā)事件，這樣，從重慶到上海的實(shí)際運(yùn)行時間將增加110m小時，求m的值.
【答案】（1）1600；（2）20．
【解析】
試題解析：（1）設(shè)原時速為xkm/h，通車后里程為ykm，則有：8(120+x)=y(8+16)x=320+y，
解得：x=80y=1600，
答：渝利鐵路通車后，重慶到上海的列車設(shè)計(jì)運(yùn)行里程是1600千米；
（2）由題意可得出：(80+120)(1-m%)(8+110m)=1600，
解得：m1=20，m2=0（不合題意舍去），
答：m的值為20．
2．（2019·江蘇省初三期中）小明鍛煉健身，從A地勻速步行到B地用時25分鐘．若返回時，發(fā)現(xiàn)走一小路可使A、B兩地間路程縮短200米，便抄小路以原速返回，結(jié)果比去時少用2.5分鐘．
（1）求返回時A、B兩地間的路程；
（2）若小明從A地步行到B地后，以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地（整個鍛煉過程不休息）．據(jù)測試，在他整個鍛煉過程的前30分鐘（含第30分鐘），步行平均每分鐘消耗熱量6卡路里，跑步平均每分鐘消耗熱量10卡路里；鍛煉超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，多跑的總時間內(nèi)平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里．測試結(jié)果，在整個鍛煉過程中小明共消耗904卡路里熱量．問：小明從A地到C地共鍛煉多少分鐘．
【答案】（1）1800米；（2）52分鐘．
【解析】
解：（1）設(shè)返回時A，B兩地間的路程為x米，由題意得：
，
解得x=1800．
答：A、B兩地間的路程為1800米；
（2）設(shè)小明從A地到B地共鍛煉了y分鐘，由題意得：
25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904，
整理得y2﹣50y﹣104=0，
解得y1=52，y2=﹣2（舍去）．
答：小明從A地到C地共鍛煉52分鐘．
3．一個小球以10m/s的速度在平坦地面上開始滾動，并且均勻減速，滾動20m后小球停下來．
（1）小球滾動了多少時間?
（2）平均每秒小球的運(yùn)動速度減少多少?
（3）小球滾動到5m時約用了多少時間（精確到0.1s）?
【答案】(1)4s；(2) 2.5m/s；（3）4-2.
【解析】
（1）小球滾動的平均速度==5（m/s）
小球滾動的時間：=4（s）
（2）=2.5（m/s）
（3）小球滾動到5m時約用了xs
平均速度==
依題意，得：x·=5，
整理得：
x2-8x+4=0
解得：x=4±2，所以x=4-2.
4．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)初三課時練習(xí)）小王某月手機(jī)話費(fèi)中的各項(xiàng)費(fèi)用統(tǒng)計(jì)情況見下列圖所示，其中月功能費(fèi)為5元，請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的信息完成下列各題：

（1）該月小王手機(jī)話費(fèi)共有________元．
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示短信費(fèi)的扇形的圓心角______度．
（3）請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整．
（4）電信公司為讓利給用戶，從下月起每月將對長途話費(fèi)進(jìn)行打折優(yōu)惠，如果小王每月長途電話的通話時間不變，那么兩個月后，月長途花費(fèi)將降至28.8元，那么長途話費(fèi)的月平均折扣為多少？
【答案】（1）125元；（2）72°；（3）見解析；（4）長途話費(fèi)的月平均折扣為八折
【解析】
（1）元
（2）.
（3）如圖，

（4）解：設(shè)平均減少率為，據(jù)題意得

解得
答：長途話費(fèi)的月平均折扣為八折.
5．（2020·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第二師二十七團(tuán)中學(xué)初三期末）為了節(jié)約用水，某水廠規(guī)定：某單元居民如果一個月的用水量不超過噸，那么這個月該單元居民只交10元水費(fèi)．如果超過噸，則這個月除了仍要交10元水費(fèi)外，超過那部分按每噸元交費(fèi)．
（1）該單元居民8月份用水80噸，超過了“規(guī)定的噸”，則超過部分應(yīng)交水費(fèi) （80-x）
元（用含x的式子表示）．
（2）下表是該單元居民9月、10月的用水情況和交費(fèi)情況：
月份
用水量（噸）
交費(fèi)總數(shù)（元）
9月份
85
25
10月份
50
10
根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求該x噸是多少？
【答案】（1）；（2）60噸．
【解析】
解：（1）超過的用水量為（80-x）噸，所以，超過部分應(yīng)交水費(fèi)元；
（2）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，可以知道，根據(jù)9月份用水情況可以列出方程：
解得，
因?yàn)?，所?br /> 該水廠規(guī)定的x噸是60噸．
6．（2020·山西省初三期末）閱讀下面內(nèi)容，并解答問題：楊輝和他的一個數(shù)學(xué)問題：提起代數(shù)，人們自然就和方程聯(lián)系起米.事實(shí)上，我國古代對代數(shù)的研究，特別是對方程的解法研究有著優(yōu)良的傳統(tǒng)并取得了重要成果.楊輝，字謙光，錢塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，楊輝一生留下了大量的著述，他著名的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷.下面是楊輝在1275年提出的一個問題（選自楊輝所著《田畝比類乘除算法》）：直田積（矩形面積）八百六十四步（平方步），只云闊（寬）不及長一十二步（寬比長少一十二步），問闊及長各幾步.請你用學(xué)過的知識解決這個問題.

【答案】矩形的闊為24步，長為36步
【解析】
設(shè)闊為步，則長為步．
根據(jù)題意，列方程得：
解方程，得，(不合題意，舍去)．
答：矩形的闊為24步，長為36步．
7．某電廠規(guī)定，該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個月的用電量不超過akw·h，那么這個月此戶只交10元錢的電費(fèi)，如果超過akw·h，則這個月除了交10元用電費(fèi)，超出部分還要按每度元交費(fèi)．
(1)該廠某戶居民8月份用電90kw·h，超過了規(guī)定akw·h，則超過部分應(yīng)交電費(fèi)多少元?
(2)下表是9、10月份的用電和交費(fèi)情況：
月份
用電量(kw·h)
交電量總額(元)
9
80
25
10
45
10
根據(jù)上表信息，求電廠規(guī)定akw·h為多少？
(3)求8月份該戶居民應(yīng)交電費(fèi)多少元?
【答案】(1)超過部分應(yīng)交(元)；(2) ；(3) 8月份該戶居民交電費(fèi)元．
【解析】
解：(1)超過部分應(yīng)交(元)；
(2)由9月份交電費(fèi)元，該戶9月份用電量已超過規(guī)定的，
所以9月份超過部分應(yīng)交電費(fèi)，即，
解得，，
由10月份的交電費(fèi)元看，該戶10月份的用電量沒有超過，
所以．
所以．
(3)當(dāng)時，超過部分應(yīng)交元，
所以8月份該戶居民交電費(fèi)元．

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