2021學年24.4 解直角三角形第1課時教案及反思

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24.4 解直角三角形第1課時教學目標1．理解解直角三角形的意義和條件，能根據(jù)元素間的關(guān)系，選擇適當?shù)年P(guān)系式，求出所有未知元素；(重點)2．能夠把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，并運用解直角三角形求解，通過生活中的實際問題體會銳角三角函數(shù)在解題過程中的作用．(難點)教學重難點【教學重點】解直角三角形的意義和條件.【教學難點】運用解直角三角形求解實際問題.課前準備無教學過程一、情境導入世界遺產(chǎn)意大利比薩斜塔在1350年落成時就已傾斜．設(shè)塔頂中心點為B, 塔身中心線與垂直中心線夾角為∠A，過點B向垂直中心線引垂線，垂足為點C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度數(shù)．在上述的Rt△ABC中，你還能求其他未知的邊和角嗎？二、合作探究探究點一：解直角三角形【類型一】 利用解直角三角形求邊或角 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c，按下列條件解直角三角形．(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度數(shù)和邊b、c的長；(2)若a＝6，b＝6，求∠A、∠B的度數(shù)和邊c的長．解析：(1)已知直角邊和一個銳角，解直角三角形；(2)已知兩條直角邊，解直角三角形．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∵cosB＝，即c＝＝＝24，∴b＝sinB·c＝×24＝12；(2)在Rt△ABC中，∵a＝6，b＝6，∴tanA＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴c＝2a＝12.方法總結(jié)：解直角三角形時應求出所有未知元素，解題時盡可能地選擇包含所求元素與兩個已知元素的關(guān)系式求解．【類型二】 構(gòu)造直角三角形解決長度問題 一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，試求CD的長．解析：過點B作BM⊥FD于點M，求出BM與CM的長度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：過點B作BM⊥FD于點M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，∴BC＝AC＝12.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝12×＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝＝4，∴CD＝CM－MD＝12－4.方法總結(jié)：解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，然后利用所學的三角函數(shù)的關(guān)系進行解答．【類型三】 運用解直角三角形解決面積問題 如圖，在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，D為邊AC上一點，∠BDC＝45°，DC＝6.求△ABC的面積．解析：首先利用正弦的定義設(shè)BC＝3k，AB＝7k，利用BC＝CD＝3k＝6，求得k值，從而求得AB的長，然后利用勾股定理求得AC的長，再進一步求解．解：∵∠C＝90°，∴在Rt△ABC中，sinA＝＝，設(shè)BC＝3k，則AB＝7k(k＞0)，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝45°，∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝3k＝6，∴k＝2，∴AB＝14.在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∴S△ABC＝AC·BC＝×4×6＝12.所以△ABC的面積是12.方法總結(jié)：若已知條件中有線段的比或可利用的三角函數(shù)，可設(shè)出一個輔助未知數(shù)，列方程解答．探究點二：解直角三角形的簡單應用【類型一】 求河的寬度 根據(jù)網(wǎng)上消息，益陽市為了改善市區(qū)交通狀況，計劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點，小張為了測量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測得如下數(shù)據(jù)：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的長(精確到0.1米)．參考數(shù)據(jù)：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.解析：設(shè)AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝4x，依此得到關(guān)于x的方程，進一步即可求解．解：設(shè)AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解得x＝.∴AB＝4x＝4×≈546.7m.答：AB的長約為546.7m.方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度．【類型二】 求不可到達的兩點的高度 如圖，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為30cm，燈罩BC長為20cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構(gòu)成的∠BAD＝60°.使用發(fā)現(xiàn)，光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少(結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.732)?解析：首先過點B作BF⊥CD于點F，作BG⊥AD于點G，進而求出FC的長，再求出BG的長，即可得出答案． 　　解：過點B作BF⊥CD于點F，作BG⊥AD于點G，∴四邊形BFDG是矩形，∴BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×＝10cm.在Rt△ABG中，∵∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30×＝15cm，∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15＋2＝12＋15≈38.0(cm)．答：此時燈罩頂端C到桌面的高度CE約是38.0cm.方法總結(jié)：將實際問題抽象為數(shù)學問題，畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．三、板書設(shè)計1．解直角三角形的基本類型及其解法；2．解直角三角形的簡單應用.四、教學反思    本節(jié)課為了充分發(fā)揮學生的主觀能動性，可引導學生通過小組討論，大膽地發(fā)表意見，提高學生學習數(shù)學的興趣．能夠使學生自己構(gòu)造實際問題中的直角三角形模型，并通過解直角三角形解決實際問題.