1.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度方向:任務(wù)驅(qū)動(dòng)　“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室在軌飛行時(shí),可認(rèn)為它繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。“天宮二號(hào)”做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度變化嗎?提示:變化,向心加速度的方向不斷變化。
(1)定義:任何做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度都指向_____,這個(gè)加速度叫作向心加速度。(2)向心加速度的作用:向心加速度的方向總是與速度方向_____,故向心加速度的作用只改變速度的_____,對(duì)速度的_____無(wú)影響。
2.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小:任務(wù)驅(qū)動(dòng)　由向心加速度a= 知,a與r成反比,由a=ω2r知,a與r成正比,這種說(shuō)法正確嗎?提示:不正確。由a= 可知,當(dāng)v的大小不變時(shí),a與r成反比,由a=ω2r可知,當(dāng)ω的大小不變時(shí),a與r成正比。(1)向心加速度公式:an=____=____。(2)向心加速度的公式既適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng),也適用于_______________。
【主題一】勻速圓周運(yùn)動(dòng)加速度的方向和物理意義【生活情境】情境1:如圖甲所示,地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。情境2:如圖乙所示,在光滑的水平面上,小球在繩子拉力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
【問(wèn)題探究】(1)圖甲中地球受什么力的作用?這個(gè)力沿什么方向?提示:受太陽(yáng)的引力作用,由地球指向太陽(yáng)。(2)圖乙中的小球受幾個(gè)力的作用?提示:小球受重力、支持力和繩子的拉力三個(gè)力作用。(3)地球和小球的受力有什么共同之處?提示:它們受到的合力都不為零,且方向都指向圓心。
(4)你能否從理論上論證做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體是否存在加速度?其方向如何?提示:做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體線速度大小不變但方向時(shí)刻改變,所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng)。既然是變速運(yùn)動(dòng),就一定會(huì)有加速度。由于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受合力指向圓心,根據(jù)牛頓第二定律,物體的加速度也指向圓心。在理論上可以得出結(jié)論:任何做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體一定存在加速度,且加速度方向都指向圓心。
【結(jié)論生成】1.物理意義:向心加速度只表示線速度的方向變化的快慢,不表示速度大小變化的快慢。2.方向:做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體,其速度的大小(速率)不變,方向不斷改變,所以加速度a沒有與v同方向的分量,它必然沿半徑方向指向圓心,故稱為向心加速度。3.圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì):不論向心加速度an的大小是否變化,an的方向是時(shí)刻改變的,所以圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度時(shí)刻發(fā)生改變,圓周運(yùn)動(dòng)一定是非勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。
4.一般圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度方向:做非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度并不指向圓心,而是與半徑有一個(gè)夾角,我們可以把加速度a分解為沿半徑方向的an和沿切線方向的at,則an描述速度方向改變的快慢,at描述速度大小改變的快慢,其中an就是向心加速度。
【典例示范】下列關(guān)于向心加速度的說(shuō)法中,正確的是(　　)A.向心加速度的方向始終與速度的方向垂直B.向心加速度的方向始終保持不變C.在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中,向心加速度是恒定的D.在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中,向心加速度的大小不斷變化【解析】選A。向心加速度方向始終指向圓心,與速度方向垂直,方向時(shí)刻在變化,故選項(xiàng)A正確,B錯(cuò)誤;在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中向心加速度的大小不變,方向時(shí)刻變化,故選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤。
【素養(yǎng)訓(xùn)練】1.物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,其向心加速度(　　)A.大小、方向均保持不變B.大小、方向均時(shí)刻改變C.大小時(shí)刻改變、方向保持不變D.大小保持不變、方向時(shí)刻改變【解析】選D。做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體其速度大小不變,由向心加速度公式an= 可知其大小不變,向心加速度的方向始終指向圓心,故其方向時(shí)刻改變。選項(xiàng)D正確。
2.(多選)關(guān)于質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的下列說(shuō)法中正確的是(　　)A.由a= 可知,a與r成反比B.由a=ω2r可知,a與r成正比C.當(dāng)v一定時(shí),a與r成反比D.由ω=2πn可知,角速度ω與轉(zhuǎn)速n成正比
【解析】選C、D。根據(jù)公式a= 和a=ω2r來(lái)討論a與r的關(guān)系時(shí)應(yīng)該先明確v與ω的情況,不能單從數(shù)學(xué)關(guān)系出發(fā)進(jìn)行分析,選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤,C正確;由ω=2πn可知,式中2π為常數(shù),故ω與n成正比,選項(xiàng)D正確。
【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.關(guān)于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的向心加速度,下列說(shuō)法正確的是(　　)A.向心加速度的大小和方向都不變B.向心加速度的大小和方向都不斷變化C.向心加速度的大小不變,方向不斷變化D.向心加速度的大小不斷變化,方向不變
【解析】選C。做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體要受到指向圓心的向心力的作用,向心力大小不變,方向時(shí)刻變化,所以向心加速度的方向始終指向圓心,在不同的時(shí)刻方向是不同的,而大小不變。
2.高速列車已經(jīng)成為世界上重要的交通工具之一,某高速列車時(shí)速可達(dá)360 km/h。當(dāng)該列車以恒定的速率在半徑為2 000 m 的水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),則(　　)A.乘客做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度為5 m/s2B.乘客做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度為0.5 m/s2C.列車進(jìn)入彎道時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)D.乘客隨列車運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度不變
【解析】選A。乘客隨列車以360 km/h=100 m/s的速率做半徑為2 000 m的圓周運(yùn)動(dòng),向心加速度a= = m/s2=5 m/s2,A對(duì),B錯(cuò);乘客隨列車運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小不變,方向時(shí)刻變化,C、D錯(cuò)。
【主題二】勻速圓周運(yùn)動(dòng)加速度的大小【生活情境】如圖為游樂(lè)場(chǎng)中的旋轉(zhuǎn)飛椅,成人和孩子都喜歡的一種游樂(lè)設(shè)施,乘客可以看作是做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
【問(wèn)題探究】(1)試根據(jù)向心力的公式和牛頓第二定律推導(dǎo)向心加速度大小的公式。提示:我們學(xué)習(xí)了向心力大小的表達(dá)式,則根據(jù)牛頓第二定律F合=ma和向心力表達(dá)式F向=m 可得出向心加速度的大小:a= (2)結(jié)合v=ωr推導(dǎo)可得向心加速度與角速度關(guān)系的表達(dá)式a=ω2r,有人說(shuō):根據(jù)a= 可知,向心加速度與半徑成反比;根據(jù)a=ω2r可知,向心加速度與半徑成正比;這是矛盾的,你認(rèn)為呢?提示:不矛盾,說(shuō)向心加速度與半徑成反比是在線速度一定的情況下;說(shuō)向心加速度與半徑成正比是在角速度一定的情況下,所以二者并不矛盾。
(3)做變速圓周運(yùn)動(dòng)的物體,其加速度的方向是否指向圓心?提示:做變速圓周運(yùn)動(dòng)的物體,加速度的方向并不指向圓心。(4)地球不停地自轉(zhuǎn),若認(rèn)為地球是球體,地球表面上不同緯度的地方向心加速度大小相同嗎?提示:地球表面上任何地方的角速度相同,緯度不同的地方半徑r不相同,由a=ω2r可知向心加速度大小不相同。
【結(jié)論生成】1.an與r的關(guān)系圖像:如圖甲、乙所示,由an-r圖像可以看出:an與r成正比還是反比,要看是ω恒定還是v恒定。
2.做非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的向心加速度:(1)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),向心加速度就是物體運(yùn)動(dòng)的加速度。(2)物體做非勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),加速度不是指向圓心,但它可以分解為沿切線方向的分量和指向圓心方向的分量,其中指向圓心方向的分量就是向心加速度,此時(shí)向心加速度仍滿足:an= =ω2r。(3)無(wú)論是勻速圓周運(yùn)動(dòng)還是變速圓周運(yùn)動(dòng),向心加速度都指向圓心。
【典例示范】(多選)如圖所示,一個(gè)球繞中心軸線OO′以角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則(　　)A.a、b兩點(diǎn)線速度相同B.a、b兩點(diǎn)角速度相同C.若θ=30°,則a、b兩點(diǎn)的線速度之比va∶vb= ∶2D.若θ=30°,則a、b兩點(diǎn)的向心加速度之比aa∶ab= ∶2
【解析】選B、C、D。由于a、b兩點(diǎn)在同一球體上,因此a、b兩點(diǎn)的角速度ω相同,選項(xiàng)B正確;而據(jù)v=ωr可知vaaA,選項(xiàng)A正確;由于B、C有共同轉(zhuǎn)軸,二者角速度相等,即ωB=ωC,根據(jù)an=ω2r可知,由于C的半徑大,故aC>aB,由于aB>aA,故aC>aB>aA,選項(xiàng)B錯(cuò)誤,D正確;根據(jù)vA=vB,ωB=ωC,由于C的半徑大于B的半徑,則vB

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