6.3向心加速度 【教學(xué)重點(diǎn)】1．理解勻速圓周運(yùn)動(dòng)中加速度的產(chǎn)生原因，掌握向心加速度的確定方法和計(jì)算公式。2．向心加速度方向的確定過(guò)程和向心加速度公式的推導(dǎo)與應(yīng)用。【教學(xué)難點(diǎn)】向心加速度方向的確定過(guò)程和向心加速度公式的推導(dǎo)與應(yīng)用【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)導(dǎo)入新課做曲線運(yùn)動(dòng)的物體速度一定是變化的，因此做曲線運(yùn)動(dòng)的物體，一定有加速度，圓周運(yùn)動(dòng)是曲線運(yùn)動(dòng)，那么做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，加速度的大小和方向如何確定呢？——這就是我們今天要研究的課題。講授新課一、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度及其方向1．向心加速度的方向：總是指向圓心，方向時(shí)刻改變，方向總是與速度方向垂直。物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，合力的方向總是指向圓心，根據(jù)牛頓第二定律，物體運(yùn)動(dòng)的加速度方向與它所受合力的方向相同，即：物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度總指向圓心。物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，合力的方向總是指向圓心，根據(jù)牛頓第二定律，物體運(yùn)動(dòng)的加速度方向與它所受合力的方向相同，即：物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度總指向圓心。2．向心加速度：任何做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度都指向圓心，這個(gè)加速度叫做向心加速度。3．向心加速度的作用只改變速度的方向，對(duì)速度的大小無(wú)影響。注意：無(wú)論an的大小是否變化，其方向時(shí)刻改變，所以圓周運(yùn)動(dòng)的加速度時(shí)刻發(fā)生變化，圓周運(yùn)動(dòng)是變加速曲線運(yùn)動(dòng)二、向心加速度的大小1．向心加速度表達(dá)式思考討論：由向心力的表達(dá)式，你能推導(dǎo)出向心加速度表達(dá)式嗎？由向心力：Fn=m或Fn=mrω2根據(jù)牛頓第二定律F＝ma，得an=或an=rω2注意：向心加速度的公式適用于任何圓周運(yùn)動(dòng)。2．向心加速度的各種表達(dá)式由勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的基本公式，結(jié)合各物理量間的關(guān)系，你能推導(dǎo)出勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的幾種表達(dá)形式？由an=rω2   an=    v=ωrω=2π/T=2πf=2πn得an=vω    an=（）2r    an=（2πf）2ran=（2πn）2r思考與討論：從公式an＝v2/r看，線速度一定時(shí)，向心加速度與圓周運(yùn)動(dòng)的半徑成反比；從公式an＝ω2r看，角速度一定時(shí)，向心加速度與半徑成正比。自行車的大齒輪、小齒輪、后輪的半徑不一樣，它們的邊緣有三個(gè)點(diǎn)A、B、C，如圖所示。其中哪兩點(diǎn)向心加速度的關(guān)系適用于“向心加速度與半徑成正比”，哪兩點(diǎn)適用于“向心加速度與半徑成反比”？給出解釋。B、C兩點(diǎn)在同一輪上，同軸傳動(dòng)時(shí)，這兩點(diǎn)的角速度相同，由公式an＝ω2r知ω一定時(shí)，向心加速度與半徑成正比。A、B兩點(diǎn)在同一個(gè)鏈條上，兩點(diǎn)的線速度大小相同，由an＝v2/r知v一定時(shí)，向心加速度與半徑成反比。1．向心加速度的方向（1）一物體沿著圓周運(yùn)動(dòng)，在A、B兩點(diǎn)的速度分別為vA、vB，畫出物體經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)時(shí)的速度方向。（2）平移vA至B點(diǎn)，根據(jù)矢量運(yùn)算法則，做出物體由A點(diǎn)到B點(diǎn)的速度變化量Δv。由于物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，vA、vB的大小相等，所以，Δv與vA、vB構(gòu)成等腰三角形。（3）假設(shè)由A點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間逐漸減小直到極短，在勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小一定的情況下，A點(diǎn)到B點(diǎn)的距離將非常小，作出此時(shí)的Δv。Δv逐漸趨向于平行OAA點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間極短時(shí)，Δv與vA、vB都幾乎垂直，因此Δv的方向幾乎沿著圓周的半徑，指向圓心。由于加速度a與Δv的方向是一致的，所以從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度分析也可以發(fā)現(xiàn)：物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度指向圓心。2．向心加速度的大小推導(dǎo)向心加速度公式由圖可知，當(dāng)Δt足夠小時(shí)，vA、vB的夾角θ就足夠小，θ角所對(duì)的弦和弧的長(zhǎng)度就近似相等。因此，θ＝v\Δv，在Δt時(shí)間內(nèi)，速度方向變化的角度θ＝ωΔt。由此可以求得：Δv＝vωΔt將此式代入加速度定義式a＝Δv\Δt，并把v＝ωr代入，可以導(dǎo)出向心加速度大小的表達(dá)式為an＝ω2r上式也可以寫成an＝v2/r它與根據(jù)牛頓第二定律得到的結(jié)果是一致的。補(bǔ)充練習(xí)1．汽車駛過(guò)一座半徑為r的圓形拱橋，當(dāng)它到達(dá)橋頂時(shí)速度為v，此時(shí)汽車的向心加速度a為（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】B汽車的向心加速度故選B。2．勻速圓周運(yùn)動(dòng)中可以描述質(zhì)點(diǎn)位置變化快慢和方向的物理量是（　　）A．轉(zhuǎn)速 B．角速度 C．線速度 D．向心加速度【答案】C描述質(zhì)點(diǎn)位置變化快慢和方向的物理量是速度，在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中指的是線速度，故ABD錯(cuò)誤，C正確。故選C。3．鬧鐘是帶有鬧時(shí)裝置的鐘，既能指示時(shí)間，又能按人們預(yù)定的時(shí)刻發(fā)出音響信號(hào)或其他信號(hào)，鬧鐘的機(jī)芯結(jié)構(gòu)主要有機(jī)械式和石英電子式兩大類。如圖所示，機(jī)械式鬧鐘中的三個(gè)齒輪的半徑之比為。 當(dāng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候。小齒輪邊緣的M點(diǎn)和大齒輪邊緣的N點(diǎn)的角速度大小之比和向心加速度大小之比分別為（　　）A．5：1        1：5 B．5：1       5：1 C．1：5       1：5 D．1：1       5：1【答案】B由三齒輪間的位置關(guān)系可知根據(jù)可得根據(jù)可得故選B。4．描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物理量有線速度v、角速度、向心加速度a、轉(zhuǎn)速n和周期T等，下列說(shuō)法正確的是（　?。?/span>A．由公式可知，a與r成反比 B．由公式可知，a與r成正比C．由公式可知，v與成正比 D．由可知，與h成正比【答案】DA．由公式可知，當(dāng)線速度一定時(shí)，a與r成反比，故A錯(cuò)誤；B．由公式可知，當(dāng)角速度一定時(shí)，a與r成正比，故B錯(cuò)誤；C．由公式可知，當(dāng)半徑一定時(shí)，v與成正比，故C錯(cuò)誤；D．由可知，是恒量，與h成正比，故D正確。故選D。5．某變速箱中有甲、乙、丙三個(gè)齒輪，如圖，其半徑分別為、、，若甲輪的角速度為，則丙輪邊緣上某點(diǎn)的向心加速度為（??）A． B． C． D．【答案】A若甲輪的角速度為，甲輪邊緣上某點(diǎn)的線速度為，則丙輪邊緣上某點(diǎn)的線速度為向心加速度為故A正確。6．2022年2月19日，北京冬奧會(huì)花樣滑冰雙人滑自由滑比賽在首都體育館舉行，中國(guó)選手隋文靜/韓聰奪得雙人滑冠軍。如圖所示，甲運(yùn)動(dòng)員以自己為轉(zhuǎn)動(dòng)軸拉著乙運(yùn)動(dòng)員做圓周運(yùn)動(dòng)。關(guān)于運(yùn)動(dòng)員做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力、向心加速度，下列說(shuō)法正確的是（　　）A．運(yùn)動(dòng)員做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其向心加速度時(shí)刻在改變B．運(yùn)動(dòng)員向心加速度越大，其速率變化越快C．向心力不改變速度的大小，只改變速度的方向D．向心力可以同時(shí)改變速度的大小和方向【答案】ACA．勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度大小不變，方向指向圓心，時(shí)刻在改變，A正確；B．向心加速度和向心力始終指向圓心，與速度方向垂直，不改變速度的大小，只改變速度的方向，B錯(cuò)誤；CD．做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，向心加速度和向心力始終指向圓心，與速度方向垂直，不改變速度的大小，只改變速度的方向，C正確，D錯(cuò)誤。故選AC。7．如圖所示，一個(gè)小球繞圓心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知圓周半徑為r，小球運(yùn)動(dòng)的角速度為，則它運(yùn)動(dòng)的線速度大小為________，向心加速度大小為___________。【答案】          小球運(yùn)動(dòng)的線速度大小為向心加速度大小為8．在長(zhǎng)0.5m的細(xì)繩的一端系一小球，繩的另一端固定在水平桌面上，使小球以0.6m/s的速度在桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則小球運(yùn)動(dòng)的角速度為________，向心加速度為________。【答案】     1.2rad/s     0.72m/s2小球運(yùn)動(dòng)的角速度為向心加速度為9．在長(zhǎng)0.2m的細(xì)繩的一端系一小球，繩的另一端固定在水平桌面上，使小球以0.6m/s的速度在桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則小球運(yùn)動(dòng)的角速度為___________,向心加速度為______.【答案】     3rad/s     1.8m/s2角速度為：，向心加速度為：．10．A、B兩質(zhì)點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若相同時(shí)間內(nèi)它們通過(guò)的弧長(zhǎng)之比SA/SB=3/2，而通過(guò)的角度之比фA/фB=2/3，則它們的線速度之比A: B=________，角速度之比ωA:ωB=_________，向心加速度之比aA:aB=__________．【答案】     3:2     2:3     1:1在相同時(shí)間內(nèi)，它們通過(guò)的弧長(zhǎng)之比sA：sB=3：2，由公式可知，線速度之比vA：vB=sA：sB=3：2；在相同時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度之比，由公式，可知角速度之比ωA：ωB=2:3；根據(jù)可知：．11．某物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為，半徑為，計(jì)算結(jié)果保留3位有效數(shù)字，求：(1)角速度的大??；(2)線速度的大?。?/span>(3)向心加速度的大小【答案】(1)；(2)；(3)(1)根據(jù)得(2)線速度的大小(3)向心加速度的大小12．一般飛行員能承受的最大向心加速度的大小約為6g。在飛行表演中，飛機(jī)某次水平轉(zhuǎn)彎時(shí)，可視為在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。若飛機(jī)以150m/s的速度飛行，在該次水平轉(zhuǎn)彎過(guò)程中向心加速度為6g，取重力加速度g=9.8m/s2，飛機(jī)水平轉(zhuǎn)彎半徑至少為多少?【答案】382.7m由題意可知，由得  課堂小結(jié)1．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，其向心加速度的方向沿半徑指向圓心，方向時(shí)刻變化，勻速圓周運(yùn)動(dòng)為變加速曲線運(yùn)動(dòng)。2．向心加速度只改變做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的速度方向，而切向加速度改變做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的速度大小。an=  an=rω2an=（）2r  an=（2πf）2r3．向心加速度意義：描述速度方向變化的快慢的物理量。板書一、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度及其方向1．方向：總指向圓心，方向時(shí)刻改變，方向總是與速度方向垂直。2．向心加速度：任何做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度都指向圓心，這個(gè)加速度叫做向心加速度。3．物理意義：向心加速度是描述速度方向改變快慢的物理量。二、向心加速度的大小an=   an=rω2an=（）2r  an=（2πf）2r 

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