第3節(jié) 向心加速度





1．理解向心加速度的概念。


2．知道向心加速度和線速度、角速度的關(guān)系式。


3．能夠運(yùn)用向心加速度公式求解有關(guān)問(wèn)題。





重點(diǎn)：理解勻速圓周運(yùn)動(dòng)中加速度的產(chǎn)生原因，掌握向心加速度的確定方法和計(jì)算公式。


難點(diǎn)：向心加速度方向的確定過(guò)程和向心加速度公式的推導(dǎo)與應(yīng)用





一、勻速圓周運(yùn)動(dòng)加速度的方向


1.地球繞太陽(yáng)年復(fù)一年、周而復(fù)始地做(近似的)圓周運(yùn)動(dòng)，而不背離太陽(yáng)飛走，這是因?yàn)榈厍蚴艿?


對(duì)它的 作用，方向指向太陽(yáng)的中心．


2.光滑桌面上小球在細(xì)繩的牽引作用下，繞桌面上的圖釘做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，細(xì)繩被拉緊．小球受到


的指向圓心的 保證了小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．


對(duì)實(shí)例分析得出結(jié)論：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的合力指向圓心，根據(jù) ，所以物體的加速度也指向 。


二、勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度大小


（1）定義：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的指向


的加速度．


（2）大?。?


(a)對(duì)應(yīng)線速度：an＝


(b)對(duì)應(yīng)角速度：an＝


(c)對(duì)應(yīng)周期：an＝


(d)對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)速：an＝


(e)推導(dǎo)公式：an＝


（3）方向：沿半徑方向指向 ，與線速度方向


【例題】如圖所示，在長(zhǎng)為l的細(xì)繩下端拴一個(gè)質(zhì)量為m的小球，捏住繩子的上端，使小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，細(xì)繩就沿圓錐面旋轉(zhuǎn)，這樣就成了一個(gè)圓錐擺。當(dāng)繩子跟豎直方向的夾角為θ時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)的向心加速度an的大小為多少？


通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：要增大夾角θ，應(yīng)該增大小球運(yùn)動(dòng)的角速度ω。





探究一：勻速圓周運(yùn)動(dòng)中對(duì)速度變化量的理解


例 1.一質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其半徑為 2 m，周期為 3.14 s，如圖所示，求質(zhì)點(diǎn)從 A 點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò) 90°


到達(dá) B 點(diǎn)的速度變化量。有加速度嗎？方向向哪？





變式 1.(2019·四川瀘州期中)下列關(guān)于向心加速度的說(shuō)法正確的是( )


A．向心加速度越大，物體速率變化得越快


B．向心加速度的大小與軌道半徑成反比


C．向心加速度的方向始終與速度方向垂直


D．在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中向心加速度是恒量


探究二、對(duì)向心加速度公式的理解


例 2.如圖所示，兩個(gè)嚙合的齒輪，其中 A 點(diǎn)為小齒輪邊緣上的點(diǎn)，B 點(diǎn)為大齒輪邊緣上的點(diǎn)，C 點(diǎn)


為大齒輪中間的點(diǎn)．





(1)哪兩個(gè)點(diǎn)的向心加速度與半徑成正比？


(2)哪兩個(gè)點(diǎn)的向心加速度與半徑成反比？








1.下列說(shuō)法中正確的是( )


A．勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小保持不變，所以做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體沒(méi)有加速度


B．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，雖然速度大小不變，但方向時(shí)刻都在改變，所以必有加速度


C．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，加速度的大小保持不變，所以是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)


D．勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小雖然不變，但方向始終指向圓心，加速度的方向發(fā)生了變化，所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)既不是勻速運(yùn)動(dòng)，也不是勻變速運(yùn)動(dòng)


2.關(guān)于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體的向心加速度的方向，下列說(shuō)法中正確的是( )


A．與線速度方向始終相同


B．與線速度方向始終相反


C．始終指向圓心


D．始終保持不變


3.關(guān)于向心加速度，以下說(shuō)法中正確的是( )


A．它描述了角速度變化的快慢


B．它描述了線速度大小變化的快慢


C．它描述了線速度方向變化的快慢


D．公式 a＝eq \f(v2,r)只適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng)


4.一物體以4m/s的速率沿圓弧運(yùn)動(dòng)，角速度為rad/s，則物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中某時(shí)刻的速度變化率的大小為


A.2m/s2 B. 4 m/s2 C. 0 D. 4 m/s2


5.如圖為A、B兩物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小隨半徑r變化的圖像，由圖可知（ ）


A.A物體運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變


B.A物體運(yùn)動(dòng)的角速度不變


C.B物體運(yùn)動(dòng)的角速度不變


D.B物體運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變








6.對(duì)于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是( )


A．根據(jù)公式a＝v2/r，可知其向心加速度a與半徑r成反比


B．根據(jù)公式a＝ω2r，可知其向心加速度a與半徑r成正比


C．根據(jù)公式ω＝v/r，可知其角速度ω與半徑r成反比


D．根據(jù)公式ω＝2πn，可知其角速度ω與轉(zhuǎn)數(shù)n成正比


7.如圖所示，細(xì)繩的一端固定，另一端系一小球，讓小球在豎直平面內(nèi)做變速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)于小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的加速度方向，下列圖中可能的是（ ）











1.在地球表面處取這樣幾個(gè)點(diǎn)：北極點(diǎn)A、赤道上一點(diǎn)B、AB弧的中點(diǎn)C、過(guò)C點(diǎn)的緯線上取一點(diǎn)D，如圖所示，則( )





A．B、C、D三點(diǎn)的角速度相同


B．C、D兩點(diǎn)的線速度大小相等


C．B、C兩點(diǎn)的向心加速度大小相等


D．C、D兩點(diǎn)的向心加速度大小相等


2.如圖所示，O、O′為兩個(gè)皮帶輪，O輪的半徑為r，O′輪的半徑為R，且R>r，M點(diǎn)為O輪邊緣上的一點(diǎn)，N點(diǎn)為O′輪上的任意一點(diǎn)，當(dāng)皮帶輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，(設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中不打滑)則( )





A．M點(diǎn)的向心加速度一定大于N點(diǎn)的向心加速度


B．M點(diǎn)的向心加速度一定等于N點(diǎn)的向心加速度


C．M點(diǎn)的向心加速度可能小于N點(diǎn)的向心加速度


D．M點(diǎn)的向心加速度可能等于N點(diǎn)的向心加速度


3.如圖所示的靠輪傳動(dòng)裝置中右輪半徑為2R，a為它邊緣上的一點(diǎn)，b為輪上的一點(diǎn)，b距軸為r,左側(cè)為一輪軸，大輪的半徑為4R，d為它邊緣上的一點(diǎn)，小輪的半徑為R，c為它邊緣上的一點(diǎn)。若靠輪不打滑傳動(dòng)，則( )

















A．b點(diǎn)與d點(diǎn)的線速度大小相等


B．a(chǎn)點(diǎn)與c點(diǎn)的線速度大小相等


C．c點(diǎn)與b點(diǎn)的角速度大小相等


D．a(chǎn)點(diǎn)與d點(diǎn)的向心加速度大小之比為1:8


4.如圖所示，半徑為R的圓環(huán)豎直放置，一輕彈簧一端固定在環(huán)的最高點(diǎn)A，一端系一帶有小孔穿在環(huán)上的小球，彈簧原長(zhǎng)為。將小球從靜止釋放，釋放時(shí)彈簧恰無(wú)形變，小球運(yùn)動(dòng)到環(huán)的最低點(diǎn)時(shí)速率為v，這時(shí)小球的向心加速度的大小為





A. B. C. D.


5.如圖所示，定滑輪的半徑r＝2 cm.繞在滑輪上的細(xì)線懸掛著一個(gè)重物，由靜止開(kāi)始釋放，測(cè)得重物以加速度a＝ 2 m/s2 向下做勻加速運(yùn)動(dòng)．在重物由靜止下落1 m 的瞬間，滑輪邊緣上P點(diǎn)的角速度ω＝________rad/s，向心加速度an＝________m/s2.





6.如圖所示，物體以一定的初速度從O點(diǎn)沿x軸正方向水平拋出，它的軌跡恰好滿足拋物線方程，已知重力加速度為g=10m/s2，空氣阻力不計(jì)，一般的曲線運(yùn)動(dòng)可分解成很多小段，每小段都可以看成圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧代替，圓半徑即為曲率半徑。那么以下說(shuō)法正確的是


A.物體被拋出時(shí)的初速度為5m/s


B.物體被拋出時(shí)的初速度為2m/s


C.O點(diǎn)的曲率半徑為2.5m


D.O點(diǎn)的曲率半徑為0.5m











參考答案：


小試牛刀：


1.【答案】BD


【解析】做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，速度的大小不變，但方向時(shí)刻改變，所以必有加速度，且加速度大小不變，方向時(shí)刻指向圓心，加速度不恒定，因此勻速圓周運(yùn)動(dòng)既不是勻速運(yùn)動(dòng)，也不是勻變速運(yùn)動(dòng)，故A、C錯(cuò)誤，B、D正確.


2.【答案】C


【解析】勻速圓周運(yùn)動(dòng)中速度大小不變，向心加速度的方向始終與線速度方向垂直即始終指向圓心，A、B錯(cuò)誤，C正確；做勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體的向心加速度的大小不變，而方向時(shí)刻變化，D錯(cuò)誤．


3.【答案】C


【解析】由于向心力只改變速度的方向，不改變速度的大小，所以向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量，故C正確，A、B錯(cuò)誤；向心加速度公式a＝eq \f(v2,r)不僅適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也適用于變速圓周運(yùn)動(dòng)，只不過(guò)在變速圓周運(yùn)動(dòng)中a與v是對(duì)應(yīng)于同一時(shí)刻即同一位置的，故D錯(cuò)誤．


4.【答案】D


【解析】由題意知物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中作一時(shí)刻的速度變化率即加速度的大小均是相同的，由、得，D正確。


5.【答案】AC


【解析】 由a＝v2/r可知在線速度大小不變時(shí)向心加速度a與半徑r成反比，故A正確B錯(cuò)誤；由a＝ω2r可知在角速度不變時(shí)其向心加速度a與半徑r成正比，C正確D錯(cuò)誤。


6.【答案】D


【解析】物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與物體的線速度、角速度、半徑有關(guān)，但向心加速度與半徑的關(guān)系要在一定前提條件下才能成立．當(dāng)線速度一定時(shí)，向心加速度與半徑成反比；當(dāng)角速度一定時(shí)，向心加速度與半徑成正比．對(duì)線速度和角速度與半徑的關(guān)系也可以同樣進(jìn)行討論．正確選項(xiàng)為D.


7.【答案】D


【解析】由于圓周運(yùn)動(dòng)不是直線運(yùn)動(dòng)，故加速度的方向與速度方向不在同直線上，A錯(cuò)誤。由于是變速圓周運(yùn)動(dòng)，不僅小球的速度方向發(fā)生變化，且在圖示位置速度的大小也發(fā)生變化，故加速度的方向一定不沿半徑指圓心，B錯(cuò)誤。在曲線運(yùn)動(dòng)中，加速度的方向應(yīng)指向運(yùn)動(dòng)軌跡的內(nèi)側(cè)，故C錯(cuò)誤D正確。


當(dāng)堂檢測(cè)：


1.【答案】ABD


【解析】地球上各點(diǎn)(地軸上各點(diǎn)除外)都繞地軸轉(zhuǎn)動(dòng)，相同時(shí)間轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角度相等，故所有各點(diǎn)的角速度都相同，A正確；地球是不同緯度面上的點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的圓心位置不同，同一緯度內(nèi)各點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)圓心相同、但轉(zhuǎn)動(dòng)半徑不同。地球表面上各點(diǎn)所在緯度越高轉(zhuǎn)動(dòng)半徑越小，則由v＝ωr可知vC＝vD，B正確；再由a＝ω2r可知，aB＞aC，aC＝aD，C錯(cuò)誤D正確．


2.【答案】A


【解析】在O′輪的邊緣上取一點(diǎn)Q，則Q點(diǎn)和N點(diǎn)在同一個(gè)輪子上，其角速度相等，即ωQ＝ωN，又rQ>rN，由向心加速度公式an＝ω2r可知aQ>aN；由于皮帶轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)不打滑，Q點(diǎn)和M點(diǎn)都在由皮帶傳動(dòng)的兩個(gè)輪子邊緣，這兩點(diǎn)的線速度大小相等，即vQ＝vM，又rQ>rM，由向心加速度公式an＝eq \f(v2,r)可知，aQaN，A正確．


3.【答案】BD


【解析】因靠輪與小輪之間摩擦傳動(dòng)，不打滑時(shí)輪緣上各點(diǎn)線速度大小相等，B正確。a與b、c與d分別同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度各自相等。設(shè)小輪的角速度為ω，則由v=rω可得va=vc=rω、vd=4rω,、，可見(jiàn)vd=8vb，A、C錯(cuò)誤；由得，D正確。


4.【答案】A


【解析】由于圓環(huán)的限制，小球只能沿圓環(huán)做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡即為圓環(huán)，軌跡圓心就是環(huán)心，故其軌跡半徑等于圓環(huán)半徑R。小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度大小為v，則對(duì)應(yīng)于此時(shí)的向心加速度為，故A正確。


5.【答案】 100；200


【解析】由題意知，滑輪邊緣上的點(diǎn)的線速度與物體的速度相等．由位移速度公式2as＝v2得v＝2 m/s，又因?yàn)関＝ωr，所以ω＝100 rad/s，an＝vω＝200 m/s2.


6.【答案】AC


【解析】 由平拋運(yùn)動(dòng)有、可得，可見(jiàn)，故，A正確B錯(cuò)誤。在O點(diǎn)處速度水平，只受豎直向下的重力作用，故，即，C正確D錯(cuò)誤。

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3 向心加速度

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