[破題之道]　概率與統(tǒng)計(jì)問題需要從數(shù)據(jù)中獲取有用的信息，通過數(shù)據(jù)的篩選、分析構(gòu)建相關(guān)模型特別是從圖表、直方圖、莖葉圖中獲取信息，利用圖表信息進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.解題的關(guān)鍵是“辨”——辨析、辨型，求解要抓住幾點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確弄清問題所涉及的事件有什么特點(diǎn)，事件之間有什么關(guān)系，如互斥、對立、獨(dú)立等；(2)理清事件以什么形式發(fā)生，如同時(shí)發(fā)生、至少有幾個(gè)發(fā)生、至多有幾個(gè)發(fā)生、恰有幾個(gè)發(fā)生等；(3)明確抽取方式，是放回還是不放回、抽取有無順序等；(4)準(zhǔn)確選擇排列組合的方法來計(jì)算基本事件發(fā)生數(shù)和事件總數(shù)，或根據(jù)概率計(jì)算公式和性質(zhì)來計(jì)算事件的概率；
【典例示范】 (12分)(2019·全國Ⅰ卷)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.
(1)求X的分布列.(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1).假設(shè)α＝0.5，β＝0.8.①證明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)為等比數(shù)列；②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.
規(guī)范解答　(1)X的所有可能取值為－1，0，1.1分P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)，3分所以X的分布列為
(2)①證明　由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，則pi＋1－pi＝4(pi－pi－1).6分又因?yàn)閜1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)是公比為4，首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列.8分
[高考狀元滿分心得]?寫全得分步驟：對于解題過程中是得分點(diǎn)的步驟，有則給分，無則沒分，所以對于得分點(diǎn)步驟一定要寫全.如第(1)問中，寫出隨機(jī)變量X的可能取值，第(2)問中說明{pi＋1－pi}的公比，首項(xiàng)，利用p4的值說明最后的結(jié)論合理性等.?寫明得分關(guān)鍵：對于解題過程中的關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則沒分，所以在答題時(shí)一定要寫清得分關(guān)鍵點(diǎn)，如第(1)問分布列必須用表格表示，第(2)問中pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)的關(guān)系式及條件p1－p0＝p1≠0，否則都會導(dǎo)致扣分.?正確計(jì)算是得滿分的關(guān)鍵：如第(2)問中累加求p8與p1的關(guān)系，由p8求p1，p4的值，若出錯(cuò)，會每次扣去1分.
[滿分體驗(yàn)]1.(2020·西安模擬)某生物研究小組準(zhǔn)備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長分布規(guī)律，據(jù)統(tǒng)計(jì)該地區(qū)蜻蜓有A，B兩種，且這兩種的個(gè)體數(shù)量大致相等.記A種蜻蜓和B種蜻蜓的翼長(單位：mm)分別為隨機(jī)變量X，Y，其中X服從正態(tài)分布N(45，25)，Y服從正態(tài)分布N(55，25).
(3)在(2)的條件下，從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉3只，記這3只中翼長在區(qū)間[42.2，57.8]的個(gè)數(shù)為W，求W的分布列及數(shù)學(xué)期望(分布列寫出計(jì)算表達(dá)式即可).注：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－0.64σ≤X≤μ＋0.64σ)≈0.477 3，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 6.解　(1)記這只蜻蜓的翼長為t.因?yàn)锳種蜻蜓和B種蜻蜓的個(gè)體數(shù)量大致相等，所以這只蜻蜓是A種還是B種的可能性是相等的.
(2)由于兩種蜻蜓的個(gè)體數(shù)量相等，X，Y的方差也相等，
(3)設(shè)蜻蜓的翼長為T，則P(42.2≤T≤57.8)＝P(μ－σ≤T≤μ＋σ)＝0.682 7.
E(W)＝3×0.682 7＝2.048 1.
2.(2019·北京卷)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：
(1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1 000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2 000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化？說明理由.
解　(1)由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18＋9＋3＝30(人)，僅使用B的學(xué)生有10＋14＋1＝25(人)，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人，故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100－30－25－5＝40(人).
(2)X的所有可能值為0，1，2.記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1 000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1 000元”.
故X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2 000元”.假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2 000元的人數(shù)沒有變化.

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