高考定位　1.隨機(jī)事件的概率、古典概型的考查多以選擇或填空的形式命題，中低檔難度；2.概率模型多考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、相互獨(dú)立事件、互斥事件及對立事件等；對離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的考查是重點(diǎn)中的“熱點(diǎn)”.隨著新一輪課程改革，“數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)建模”將會(huì)不斷加大考查力度.
1.(2020·全國Ⅰ卷)設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為(　　)
對于D，法一　當(dāng)n＝2m時(shí)，
3.(2020·浙江卷)一個(gè)盒子里有1個(gè)紅1個(gè)綠2個(gè)黃四個(gè)相同的球，每次拿一個(gè)，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出黃球的個(gè)數(shù)為ξ，則P(ξ＝0)＝________；E(ξ)＝________.
4.(2020·全國Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：
(1)求甲連勝四場的概率；(2)求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；(3)求丙最終獲勝的概率.
(3)丙最終獲勝，有兩種情況：
1.概率模型公式及相關(guān)結(jié)論
2.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
4.離散型隨機(jī)變量的均值、方差
(1)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為
離散型隨機(jī)變量ξ的分布列具有兩個(gè)性質(zhì)：①pi≥0；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1，2，3，…，n).
(2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望或均值.D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做隨機(jī)變量ξ的方差.(3)數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì).①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ).②X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).③X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
熱點(diǎn)一　古典概型【例1】 (1)(2019·全國Ⅰ卷)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是(　　)
探究提高　求古典概型的概率，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù).常常用到排列、組合的有關(guān)知識，計(jì)數(shù)時(shí)要正確分類，做到不重不漏.
【訓(xùn)練1】 (1)(2020·重慶質(zhì)檢)2020年，新型冠狀病毒引發(fā)的疫情牽動(dòng)著億萬人的心，八方馳援戰(zhàn)疫情，眾志成城克時(shí)難，社會(huì)各界支援湖北共抗新型冠狀病毒肺炎，重慶某醫(yī)院派出3名醫(yī)生，2名護(hù)士支援湖北，現(xiàn)從這5人中任選2人定點(diǎn)支援湖北某醫(yī)院，則恰有1名醫(yī)生和1名護(hù)士被選中的概率為(　　)
A.0.7 B.0.4 C.0.6 D.0.3
(2)(2020·濟(jì)南一模)洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，被世界公認(rèn)為組合數(shù)學(xué)的鼻祖，它是中華民族對人類的偉大貢獻(xiàn)之一.在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有圖(1)：“以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點(diǎn)為陰數(shù)”，這就是最早的三階幻方.按照上述說法，將1到9這九個(gè)數(shù)字，填在如圖(2)的九宮格里，九宮格的中間填5，四個(gè)角填偶數(shù)，其余位置填奇數(shù).則每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上三個(gè)數(shù)字的和都等于15的概率是(　　)
答案　(1)C　(2)C
熱點(diǎn)三　隨機(jī)變量的分布列、均值與方差角度1　超幾何分布【例3】 4月23日是“世界讀書日”，某中學(xué)在此期間開展了一系列的讀書教育活動(dòng).為了解高三學(xué)生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個(gè)小組中隨機(jī)抽取10名學(xué)生參加問卷調(diào)查.各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：
(1)從參加問卷調(diào)查的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名，求這兩名學(xué)生來自同一個(gè)小組的概率；(2)在參加問卷調(diào)查的10名學(xué)生中，從來自甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名，用X表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(2)由(1)知，在參加問卷調(diào)查的10名學(xué)生中，來自甲、丙兩小組的學(xué)生人數(shù)分別為3，2.X的可能取值為0，1，2.
則隨機(jī)變量X的分布列為
【訓(xùn)練3】 (2020·長沙調(diào)研)某市“好運(yùn)來”超市為了回饋新老顧客，決定在2021年元旦來臨之際舉行“慶元旦，迎新年”的抽獎(jiǎng)派送禮品活動(dòng).為設(shè)計(jì)一套趣味性抽獎(jiǎng)送禮品的活動(dòng)方案，該超市面向該市某高中學(xué)生征集活動(dòng)方案，該中學(xué)某班數(shù)學(xué)興趣小組提供的方案獲得了征用.方案如下：將一個(gè)4×4×4的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成64個(gè)相同的小正方體.經(jīng)過攪拌后，從中任取兩個(gè)小正方體，記它們的著色面數(shù)之和為ξ，記抽獎(jiǎng)一次中獎(jiǎng)的禮品價(jià)值為η.
(1)求P(ξ＝3)；(2)凡是元旦當(dāng)天在該超市購買物品的顧客，均可參加抽獎(jiǎng).記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為6，設(shè)為一等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值50元的禮品；記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為5，設(shè)為二等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值30元的禮品；記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為4，設(shè)為三等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值10元的禮品，其他情況不獲獎(jiǎng).求某顧客抽獎(jiǎng)一次獲得的禮品價(jià)值的分布列與數(shù)學(xué)期望.
(2)ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6；η的所有可能取值為50，30，10，0.
(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.
由題意知事件{X＝3，Y＝1}與{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}與{Y＝1}，事件{X＝2}與{Y＝0}均相互獨(dú)立，從而由(1)知
【訓(xùn)練4】 (2020·百校大聯(lián)考)某省新課改后，某校為預(yù)測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三(1)班到高三(5)班隨機(jī)抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計(jì)圖.
(1)根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖，估計(jì)本屆高三學(xué)生本科上線率.(2)已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬，假設(shè)以(1)中的本科上線率作為甲市每個(gè)考生本科上線的概率.①若從甲市隨機(jī)抽取10名高三學(xué)生，求恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率(結(jié)果精確到0.01)；②已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬，假設(shè)該市每個(gè)考生本科上線率均為p(0＜p＜1)，若2020屆乙市高考本科上線人數(shù)的均值不低于甲市，求p的取值范圍.可能用到的參考數(shù)據(jù)：取0.364＝0.0168，0.164＝0.000 7.
②甲、乙兩市2020屆高考本科上線人數(shù)分別記為X，Y，依題意，可得X～B(40 000，0.6)，Y～B(36 000，p).因?yàn)?020屆乙市高考本科上線人數(shù)的均值不低于甲市，
熱點(diǎn)四　概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題【例5】 (2020·九師聯(lián)盟聯(lián)考)為調(diào)研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為1∶4，且成績分布在[0，60]的范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上(含50)的作文被評為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中，a，b，c構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.
(1)求a，b，c的值；(2)填寫上面2×2列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)？
解　(1)由題意，得(a＋b＋c＋0.018＋0.022＋0.025)×10＝1，而a，b，c構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，所以(a＋2a＋4a＋0.018＋0.022＋0.025)×10＝1，解得a＝0.005.則b＝0.010，c＝0.020.(2)獲得“優(yōu)秀作文”的人數(shù)為400×0.005×10＝20.因?yàn)槲目粕c理科生人數(shù)之比為1∶4，所以文科生與理科生人數(shù)分別為80，320.
故完成2×2列聯(lián)表如下：
所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān).
(3)由表中數(shù)據(jù)可知，抽到獲得“優(yōu)秀作文”學(xué)生的概率為0.005×10＝0.05，將頻率視為概率，所以X可取0，1，2，且X～B(2，0.05).
探究提高　1.本題考查統(tǒng)計(jì)與概率的綜合應(yīng)用，意在考查考生的識圖能力和數(shù)據(jù)處理能力.此類問題多涉及相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率，在求解時(shí)，要明確基本事件的構(gòu)成.2.以統(tǒng)計(jì)圖表為背景的隨機(jī)變量分布列求解的關(guān)鍵：(1)根據(jù)頻率(數(shù))分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等圖表準(zhǔn)確求出隨機(jī)事件的頻率，并用之估計(jì)相應(yīng)概率；(2)出現(xiàn)多個(gè)隨機(jī)變量時(shí)，應(yīng)注意分析隨機(jī)變量之間的關(guān)系，進(jìn)而由一個(gè)隨機(jī)變量的分布列推出另一個(gè)隨機(jī)變量的分布列.
【訓(xùn)練5】 (2020·石家莊模擬)新高考，取消文理科，實(shí)行“3＋3”，成績由語文、數(shù)學(xué)、外語統(tǒng)一高考成績和自主選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級性考試科目成績構(gòu)成.為了解各年齡層對新高考的了解情況，隨機(jī)調(diào)查50人(把年齡在[15，45)稱為中青年，年齡在[45，75)稱為中老年)，并把調(diào)查結(jié)果制成下表：
(1)分別估計(jì)中青年和中老年對新高考了解的概率；(2)請根據(jù)上表完成下面2×2列聯(lián)表，是否有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián)？
(3)若從年齡在[55，65)的被調(diào)查者中隨機(jī)選取3人進(jìn)行調(diào)查，記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為X，求X的分布列以及E(X).
(2)2×2列聯(lián)表如下所示

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