課時規(guī)范練14　導(dǎo)數(shù)的概念及運算基礎(chǔ)鞏固組1.(2021山西臨汾一模)曲線f(x)=x2+2ex在點(0,f(0))處的切線方程為(　　)A.x+2y+2=0 B.2x+y+2=0C.x-2y+2=0 D.2x-y+2=0答案:D解析:f(x)=x2+2ex的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2x+2ex,則在點(0,f(0))處的切線的斜率為f'(0)=2,且切點為(0,2),則切線的方程為y=2x+2,即2x-y+2=0.2.(2021江西宜春模擬)已知函數(shù)f(x)=x3-f'(1)x2+2的導(dǎo)數(shù)為f'(x),則f(x)的圖像在點(2,f(2))處的切線的斜率為(　　)A.-8 B.8 C.12 D.16答案:B解析:因為f'(x)=3x2-2f'(1)x,令x=1,得f'(1)=3-2f'(1),所以f'(1)=1,所以f'(x)=3x2-2x,f(x)的圖像在點(2,f(2))處的切線的斜率為f'(2)=8.3.已知f(x)=x2+sin,f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f'(x)的圖像是(　　)答案:A解析:∵f(x)=x2+sin+x=x2+cosx,∴f'(x)=x-sinx,∴函數(shù)f'(x)為奇函數(shù),排除B,D.又f'-1<0,排除C.故選A.4.(2021河南新鄉(xiāng)三模)已知函數(shù)f(x)=x4+ax,若=12,則a=(　　)A.36 B.12 C.4 D.2答案:C解析:根據(jù)題意,f(x)=x4+ax,則f'(x)=4x3+a,則f'(0)=a,若=12,則=3=3f'(0)=12,則有3a=12,即a=4.5.(2021湖南岳陽模擬)函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,則下列數(shù)值排序正確的是(　　)A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)答案:B解析:如圖所示,f'(2)是函數(shù)f(x)的圖像在x=2(即點A)處切線的斜率k1,f'(3)是函數(shù)f(x)的圖像在x=3(即點B)處切線的斜率k2,=f(3)-f(2)=kAB是割線AB的斜率.由圖像知,0<k2<kAB<k1,即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).6.(2021河南洛陽二模)若曲線f(x)=ln x在點(1,0)的切線與曲線g(x)=x2+mx+也相切,則m=　　　　　. 答案:-2或4解析:由f(x)=lnx的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=,可得曲線f(x)=lnx在點(1,0)的切線斜率為1,切線的方程為y=x-1,聯(lián)立可得x2+(2m-2)x+9=0,由切線與曲線g(x)=x2+mx+也相切,可得Δ=(2m-2)2-4×9=0,解得m=4或-2.7.(2021河北邯鄲二模)寫出一個奇函數(shù)f(x),當(dāng)x>0時,f(x)>0且其導(dǎo)數(shù)f'(x)<0,則f(x)=　　　　　. 答案:(答案不唯一)解析:f(x)=為奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)>0,且f'(x)=-<0,符合題意.8.已知函數(shù)f(x)=若f'(a)=12,則實數(shù)a的值為　　　　　. 答案:或-4解析:由題意得f'(x)=因為f'(a)=12,所以解得a=或-4.9.(2021貴州貴陽高三期末)曲線f(x)=2x-ex與直線x-y+t=0相切,則t=　　　　　. 答案:-1解析:∵f(x)=2x-ex,∴f'(x)=2-ex,切線x-y+t=0的斜率為k=1,設(shè)切點P(x0,y0),令f'(x0)=2-=1,解得x0=0,代入f(x)=2x-ex得y0=2×0-e0=-1,∴切點坐標(biāo)為(0,-1),代入切線方程x-y+t=0中得到0+1+t=0,解得t=-1.10.(2021廣東廣州二模)已知函數(shù)f(x)=,且f'(1)=1,則a=　　　　　,曲線y=f(x)在x=e處的切線方程為　　　　　. 答案:0　y-=0解析:由f(x)=,則f'(x)=,因為f'(1)=1,即=1,解得a=0,所以f(x)=,f'(x)=,所以f(e)=,f'(e)=0,所以曲線y=f(x)在x=e處的切線方程為y-=0.∴x0=e3,∴f(x0)=x0-e=e3-e.綜合提升組11.(2021黑龍江齊齊哈爾三模)已知函數(shù)f(x)=sin x和g(x)=cos x圖像的一個公共點為P(x0,y0),現(xiàn)給出以下結(jié)論:①f(x0)=g(x0);②f'(x0)=g'(x0);③f(x)和g(x)的圖像在點P處的切線的傾斜角互補;④f(x)和g(x)的圖像在點P處的切線互相垂直.其中正確結(jié)論的序號是(　　)A.①③ B.②④ C.②③ D.①④答案:A解析:對于①,因為f(x0)=y0,g(x0)=y0,則f(x0)=g(x0),故①正確;對于②,因為f(x)和g(x)在點P處的切線不平行且不重合,所以f'(x0)≠g'(x0),故②錯誤;對于③,顯然f'(x0)+g'(x0)=0成立,故③正確;對于④,假設(shè)f(x)和g(x)的圖像在點P處的切線互相垂直,則有-cosx0sinx0=-1,即sin2x0=2,這與|sin2x0|≤1矛盾,故④錯誤.12.(2021云南昆明一中模擬)函數(shù)f(x)=ln x圖像上一點P到直線y=2x的最短距離為(　　)A BC D答案:C解析:設(shè)與直線y=2x平行且與曲線f(x)=lnx相切的直線的切點坐標(biāo)為(x0,lnx0),因為f'(x)=,所以=2,解得x0=,則切點坐標(biāo)為,最短距離為點到直線y=2x的距離,即,即點P到直線y=2x的最短距離為13.(2021廣西桂林模擬)設(shè)曲線y=ln x與y=(x+a)2有一條斜率為1的公切線,則a=(　　)A.-1 B.- C D答案:B解析:因為y=lnx,所以y'=又因為切線的斜率為1,設(shè)切點為(x0,y0),所以=1,解得x0=1,y0=0,所以切線方程為y=x-1.因為y=(x+a)2,設(shè)切點(x,y),所以y'=2x+2a=1,解得x=-a,代入切線方程得y=--a,再將-a,--a代入y=(x+a)2,解得a=-14.(2021四川涼山三模)已知函數(shù)f(x)=ex-+a,若直線y=0在點(b,f(b))處與曲線y=f(x)相切,則a=(　　)A.1 B.0 C.-1 D.-1或1答案:C解析:由f(x)=ex-+a可得f'(x)=ex-=ex+,因為直線y=0在點(b,f(b))處與曲線y=f(x)相切,則f'(b)=0,即eb+=0,所以eb·b=-ln,兩邊同時取以e為底的對數(shù),可得ln(eb·b)=ln,即lneb+lnb=ln+ln,所以b+lnb=ln+ln,設(shè)g(x)=x+lnx,g'(x)=1+>0,函數(shù)在(0,+∞)上是遞增的,所以b=ln,即b=-lnb,又因為f(b)=0,所以f(b)=eb-+a=0,解得a=-1.15.(2021云南紅河三模)丹麥數(shù)學(xué)家琴生在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.定義:函數(shù)f(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),f'(x)在(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f″(x),若在(a,b)上f″(x)<0恒成立,則稱函數(shù)f(x)在(a,b)上的“嚴(yán)格凸函數(shù)”,稱區(qū)間(a,b)為函數(shù)f(x)的“嚴(yán)格凸區(qū)間”.則下列正確說法的序號為　　　　　. ①函數(shù)f(x)=-x3+3x2+2在(1,+∞)上為“嚴(yán)格凸函數(shù)”;②函數(shù)f(x)=的“嚴(yán)格凸區(qū)間”為(0,);③函數(shù)f(x)=ex-x2在(1,4)為“嚴(yán)格凸函數(shù)”,則m的取值范圍為[e,+∞).答案:①②解析:f(x)=-x3+3x2+2的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=-3x2+6x,f″(x)=-6x+6,故f″(x)<0在(1,+∞)上恒成立,所以函數(shù)f(x)=-x3+3x2+2在(1,+∞)上為“嚴(yán)格凸函數(shù)”,所以①正確;f(x)=的定義域為(0,+∞)且導(dǎo)函數(shù)f'(x)=,f″(x)=,由f″(x)<0可得2lnx-3<0,解得x∈(0,),所以函數(shù)f(x)=的“嚴(yán)格凸區(qū)間”為(0,),所以②正確;f(x)=ex-x2的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=ex-mx,f″(x)=ex-m,因為f(x)在(1,4)為“嚴(yán)格凸函數(shù)”,故f″(x)<0在(1,4)上恒成立,所以ex-m<0在(1,4)上恒成立,即m>ex在(1,4)上恒成立,故m≥e4,所以③不正確.創(chuàng)新應(yīng)用組16.(2021浙江杭州二中模擬)函數(shù)f(x)=ax+sin x的圖像上存在兩條相互垂直的切線,則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A.{0,1} B.{0}C.[0,1) D.[1,+∞)答案:B解析:因為f(x)=ax+sinx,所以f'(x)=a+cosx,因為函數(shù)f(x)=ax+sinx的圖像上存在兩條相互垂直的切線,所以不妨設(shè)在x=x1和x=x2處的切線互相垂直,則(a+cosx1)·(a+cosx2)=-1,即a2+(cosx1+cosx2)a+cosx1cosx2+1=0,①因為a的值一定存在,即方程①一定有解,所以Δ=(cosx1+cosx2)2-4(cosx1cosx2+1)≥0,即(cosx1-cosx2)2≥4,解得cosx1-cosx2≥2或cosx1-cosx2≤-2,又因為|cosx|≤1,所以有cosx1=1,cosx2=-1或cosx1=-1,cosx2=1,Δ=0,所以方程①變?yōu)?/span>a2=0,所以a=0.故選B.17.已知a-ln b=0,c-d=1,則(a-c)2+(b-d)2的最小值是(　　)A.1 B. C.2 D.2答案:C解析:設(shè)(b,a)是曲線C:y=lnx上的點,(d,c)是直線l:y=x+1上的點,則(a-c)2+(b-d)2可看成曲線C上的點到直線l上的點的距離的平方.對函數(shù)y=lnx求導(dǎo)得y'=,令y'=1,得x=1,則y=0,所以曲線C上到直線y=x+1的距離最小的點為(1,0),該點到直線y=x+1的距離為.因此(a-c)2+(b-d)2的最小值為()2=2.

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