課時(shí)規(guī)范練17　任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)基礎(chǔ)鞏固組1.(2021云南大理高三檢測)如果角α的終邊過點(diǎn)(1,-),則sin α的值等于(　　)A B.- C.- D.-答案:C解析:點(diǎn)(1,-)到原點(diǎn)的距離r==2,由定義知sinα==-2.(2021江蘇無錫模擬)若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3,a)(a≠0),則(　　)A.sin α>0 B.sin α<0 C.cos α>0 D.cos α<0答案:C解析:由點(diǎn)的坐標(biāo)可知,角α的終邊可能在第一或第四象限,故正弦符號(hào)不確定,角α的余弦必為正值.3.(2021湖北武漢質(zhì)檢)已知角α為第二象限角,且cos=-cos,則角是(　　)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案:C解析:因?yàn)榻?/span>α為第二象限角,所以為第一或第三象限角.又cos<0,所以為第三象限角.4.(2021江西贛州高三期末)我們學(xué)過用角度制與弧度制度量角,最近,有學(xué)者提出用“面度制”度量角,因?yàn)樵诎霃讲煌耐膱A中,同樣的圓心角所對(duì)扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù),從而稱這個(gè)常數(shù)為該角的面度數(shù),這種用面度作為單位來度量角的單位制,叫作面度制.在面度制下,角θ的面度數(shù)為,則角θ的余弦值為(　　)A.- B.- C D答案:B解析:由面度數(shù)的定義可知,即θ=所以cosθ=cos=-5.(2021安徽黃山二模)若一扇形的圓心角為144°,半徑為10 cm,則扇形的面積為　　　　　cm2. 答案:40π解析:扇形的面積為S=π·102=40π(cm2).6.(2021上海華東師大二附中三模)與2 021°終邊相同的最小正角是　　　　　　. 答案:221°解析:因?yàn)?021°=1800°+221°=5×360°+221°,所以與2021°終邊相同的最小正角是221°.7.(2021廣西南寧三中模擬)已知角α的終邊過點(diǎn)P(8m,3),且cos α=-,則實(shí)數(shù)m的值為　　　　　. 答案:-解析:由題意,cosα==-,解得m=-綜合提升組8.(2021廣東梅州一模)《九章算術(shù)》中《方田》章有弧田面積計(jì)算問題,計(jì)算術(shù)曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面積計(jì)算公式為:弧田面積=(弦×矢+矢×矢).弧田是由圓弧(弧田的弧)和以圓弧的端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段(弧田的弦)圍成的平面圖形,公式中的“弦”指的是弧田的弦長,“矢”指的是弧田的弧所在圓的半徑與圓心到弧田的弦的距離之差.現(xiàn)有一弧田,其弧田的弦AB等于6米,其弧田的弧所在圓為圓O,若用上述弧田面積計(jì)算公式算得該弧田面積為平方米,則sin∠AOB=　　　　　. 答案:解析:如圖所示,AB=6,OA=R,CO=d,由題意可得弧田面積S=[6×(R-d)+(R-d)2]=,解得R-d=1,R-d=-7(舍).又因?yàn)?/span>R2-d2=32=9,所以R=5,d=4.所以sin∠COA=,cos∠COA=,所以sin∠AOB=29.(2021廣東揭陽質(zhì)檢)長為1 m的圓柱形木材有一部分鑲嵌在墻體中,截面如圖所示(陰影為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分).已知弦AB=2 dm,弓形高CD=(20-10)cm,估算該木材鑲嵌在墻中的側(cè)面積約為　　　　　cm2. 答案:解析:設(shè)截面圓的半徑為R,點(diǎn)D在線段CO上,AD=AB=10cm,OD=R-CD=R-(20-10),根據(jù)垂徑定理可得R2=OD2+AD2,解得R=20cm,所以∠AOD=,則有∠AOB=,故可得弧AB=cm,結(jié)合木材長1m,可得該木材鑲嵌在墻中的側(cè)面積約為cm2.10.(2021湖南永州三模)下圖為某月牙潭的示意圖,該月牙潭是由兩段在同一平面內(nèi)的圓弧形堤岸連接圍成,其中外堤岸為半圓形,內(nèi)堤岸圓弧所在圓的半徑為30米,兩堤岸的連接點(diǎn)A,B間的距離為30米,則該月牙潭的面積為　　　　平方米. 答案:450解析:如圖是內(nèi)堤岸圓弧所在圓,由題意OA=OB=30,AB=30,所以OA⊥OB,弦AB上方弓形面積為S2=302-30×30=225π-450,所以所求面積為S=(15)2-S2=225π-(225π-450)=450.創(chuàng)新應(yīng)用組11.(2021江西贛州一模)斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”,它的畫法是:以斐波那契數(shù):1,1,2,3,5,8,…為邊的正方形拼成長方形,然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為90°的圓弧,這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案,例如向日葵、鸚鵡螺等.下圖為該螺旋線的前一部分,如果用接下來的一段圓弧所對(duì)應(yīng)的扇形做圓錐的側(cè)面,則該圓錐的高為(　　)A B C D答案:B解析:由斐波那契數(shù)的規(guī)律可知,從第三項(xiàng)起,每一個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)之和,即接下來的圓弧對(duì)應(yīng)的圓的半徑是5+8=13,對(duì)應(yīng)的弧長是l=2π×13設(shè)圓錐底面半徑為r,則2πr=,解得r=,所以圓錐的高為h=12.(2021廣西柳州模擬)如圖所示,陰影部分的月牙形的邊緣都是圓弧,兩段圓弧分別是△ABC的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分,若∠ACB=,AC=BC=1,則該月牙形的面積為(　　)A BC D答案:A解析:如圖,取AB的中點(diǎn)D,連接CD.因?yàn)?/span>AC=BC=1,所以CD⊥AB.因?yàn)?/span>∠ACB=,所以∠ACD=,所以AD=AC·sin=1,所以AB=由正弦定理,得=2R=2,所以△ABC的外接圓半徑R=1.設(shè)△ABC外接圓的圓心為O,連接OD,OA,OB,則OD⊥AB.由題意,內(nèi)側(cè)圓弧為△ABC外接圓的一部分,且其對(duì)應(yīng)的圓心角為∠AOB=,則弓形ACB的面積為S扇形AOB-S三角形AOB=R2-AB·OD=12-外側(cè)圓弧是以AB為直徑的圓的一部分,所以半圓AB的面積為π×2=,則月牙形的面積為-=

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