?專題14 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算
【題型歸納目錄】
題型一：導(dǎo)數(shù)的定義
題型二：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義
1、在點(diǎn)P處切線
2、過點(diǎn)P的切線
3、公切線
4、已知切線求參數(shù)問題
5、切線的條數(shù)問題
6、切線平行、垂直、重合問題
7、最值問題
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
知識(shí)點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)
1、概念
函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
①增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；
②當(dāng)時(shí)，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與無限接近；
③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率．如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)
刻的瞬間變化率，即．
2、幾何意義
函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．
3、物理意義
函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即；在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，即．
知識(shí)點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
1、求導(dǎo)的基本公式
基本初等函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
（為常數(shù)）















2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則
（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；
（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；
（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．
3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：
【方法技巧與總結(jié)】
1、在點(diǎn)的切線方程
切線方程的計(jì)算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．
2、過點(diǎn)的切線方程
設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，
又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個(gè)值，就有幾條切線）
注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．
【典例例題】
題型一：導(dǎo)數(shù)的定義
【方法技巧與總結(jié)】
對(duì)所給函數(shù)式經(jīng)過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等恒等變形與導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)相同，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接寫出.
例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則（????）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由圖象可知，
即.
故選：D
例2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)滿足，則（????）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br /> ，
，
所以，
故選：A
例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則（????）
A．2 B． C．-1 D．-2
【答案】B
【解析】由題設(shè)，.
故選：B
變式1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其位移s（單位：米）與時(shí)間t（單位：秒）滿足關(guān)系式，，則當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為（????）
A．米/秒 B．3米/秒 C．4米/秒 D．5米/秒
【答案】B
【解析】，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為3米/秒.
故選：B.
變式2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某物體沿水平方向運(yùn)動(dòng)，其前進(jìn)距離（米）與時(shí)間（秒）的關(guān)系為，則該物體在運(yùn)動(dòng)前2秒的平均速度為（????）
A．18米/秒 B．13米/秒 C．9米/秒 D．米/秒
【答案】C
【解析】∵，
∴該物體在運(yùn)動(dòng)前2秒的平均速度為（米/秒）．
故選：C．
變式3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則（????）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【解析】∵，
∴.
故選：B.
題型二：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
【方法技巧與總結(jié)】
對(duì)所給函數(shù)求導(dǎo)，其方法是利用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)求導(dǎo)問題.
例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則實(shí)數(shù)a的值為( ???)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
，
，
．
故選：D．
例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br /> （2）因?yàn)椋裕?br /> （3）因?yàn)?，所以?br /> （4）因?yàn)樗?br /> 例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br /> （2）因?yàn)?，所以?br /> （3）因?yàn)?，所以?br /> （4）因?yàn)?，所?
變式4．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）請(qǐng)用函數(shù)求導(dǎo)法則求出下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【解析】（1）因?yàn)?，則；
（2）因?yàn)椋瑒t；
（3）因?yàn)?，則；
（4）因?yàn)?，則
；
（5）因?yàn)?，?
題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義
【方法技巧與總結(jié)】
函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.這里要注意曲線在某點(diǎn)處的切線與曲線經(jīng)過某點(diǎn)的切線的區(qū)別.（1）已知在點(diǎn)處的切線方程為.（2）若求曲線過點(diǎn)的切線方程，應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由過點(diǎn)，求得的值，從而求得切線方程.另外，要注意切點(diǎn)既在曲線上又在切線上.
1、在點(diǎn)P處切線
例7．（2023秋·遼寧葫蘆島·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以所求切線方程為，即.
故選：B
例8．（2023·陜西安康·統(tǒng)考一模）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，則，而，故函數(shù)在處的切線方程為，則.
故選：C
例9．（2023秋·甘肅武威·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）曲線在處的切線方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋裕?br /> 所以曲線在處的切線的斜率為，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以曲線在處的切線方程為，即.
故選：A.
2、過點(diǎn)P的切線
變式5．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知曲線.則曲線過點(diǎn)P（1，3）的切線方程為.（????）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】設(shè)切點(diǎn)為，
則，
所以，
所以切線方程為，
因?yàn)榍芯€過點(diǎn)（1，3），
所以，即，
即，
解得或，
所以切線方程為或，
故選：AB
變式6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l為函數(shù)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，則直線l的方程為__________.
【答案】
【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以直線l的斜率為，
所以直線l的方程為
又直線l過點(diǎn)，
所以，
整理得，解得，
所以，
直線l的斜率，
所以直線l的方程為，
故答案為：.
變式7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）= x3－3x，則過點(diǎn)（1，－2）的切線方程為__________．
【答案】和
【解析】由函數(shù)，則，
當(dāng)點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，則，即切線的斜率，
所以切線的方程為，
當(dāng)點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，則，
即，
解得或（舍去），所以
所以切線的方程為，即．
故答案為：和．
變式8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)的直線l與曲線相切，則直線l的斜率為___________.
【答案】3或
【解析】因?yàn)?，所以，?br /> 當(dāng)為切點(diǎn)時(shí)，，
當(dāng)不為切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，，
所以，
所以切線方程為：，
過點(diǎn)，所以
即，即，解得或（舍），
所以切點(diǎn)為，所以，
綜上所述：直線l的斜率為3或，
故答案為：3或
變式9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)與曲線相切的直線方程為______________.
【答案】.
【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，
由得，
切線方程為，
切線過點(diǎn)，
，即，
，
即所求切線方程為.
故答案為：.
3、公切線
變式10．（2023秋·廣東韶關(guān)·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線為l，若l與函數(shù)相切，切點(diǎn)為，則__________．
【答案】9
【解析】由題意得，則，切線方程為，即，
則，則，.
故答案為：9.
變式11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若直線函數(shù)，的圖象均相切，則的值為________.
【答案】
【解析】設(shè)直線與函數(shù)的圖像相切的切點(diǎn)為，
由可得，即切點(diǎn)為，
則，所以切線方程為；
聯(lián)立，可得，
由題意可得，解得.
故答案為：
變式12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（為常數(shù)），直線 與函數(shù) 的圖像都相切，且 與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則的值為_______.
【答案】
【解析】因?yàn)樗栽儆膳袆e式為零得
變式13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若經(jīng)過點(diǎn)存在一條直線與圖象和圖象都相切，則（????）
A．0 B． C．3 D．或3
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br /> 所以，
則，
所以
所以函數(shù)在處的切線方程為，
由得，
由，解得或，
故選：D
變式14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線與函數(shù)，的圖象分別相切于點(diǎn)，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，，
得，，
則，，即．
曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
曲線在點(diǎn)處的切線方程為，所以，可得，整理得，
故選：B.
4、已知切線求參數(shù)問題
變式15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則_______.
【答案】
【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
所以，即函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，
由切線方程為，可得，解得，，
由切點(diǎn)，可得，解得，
則，
故答案為：．
變式16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線與曲線相切，則___________.
【答案】
【解析】由，所以
設(shè)切點(diǎn)為，則，，
消去得，
∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，∴，此時(shí).
故答案為：
變式17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線是曲線的一條切線，則b＝___．
【答案】2
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> ，
令，則，
所以切點(diǎn)為，
代入，得，
所以.
故答案為：2.
變式18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（????）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】，，
∴，∴．將代入得，∴．
故選：C．
變式19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則（????）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由，則，所以
解得：，，所以
.故選：D.
變式20．（2023秋·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則（????）
A．1 B．0 C．－1 D．e
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以，?br /> 又，所以．
故選：B
變式21．（2023秋·貴州遵義·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若函數(shù)在處切線方程為，則實(shí)數(shù)（????）
A． B． C．2 D．0
【答案】B
【解析】，則，解得：，
所以，，
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，將其代入中，
故，解得：.
故選：B
變式22．（2023秋·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)（????）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為 ，
函數(shù)在處的切線的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率為，
且切線與直線平行，
則有 ，可得 .
故選：B
5、切線的條數(shù)問題
變式23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．
【答案】
【解析】∵，∴，
設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,
切線方程為：,
∵切線過原點(diǎn)，∴,
整理得：,
∵切線有兩條，∴,解得或,
∴的取值范圍是,
故答案為：
變式24．（2023秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出函數(shù)的圖象，由圖象可知點(diǎn)在函數(shù)圖象上方時(shí)，過此點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，
所以，
故選：B．

變式25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若過點(diǎn)作曲線的切線，則這樣的切線共有（????）
A．0條 B．1條 C．2條 D．3條
【答案】C
【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以，
所以切線方程為，即，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，
所以，
解得或，
所以過點(diǎn)作曲線的切線可以作2條，
故選：C
6、切線平行、垂直、重合問題
變式26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于三次函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處點(diǎn)的切線重合，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，

，
設(shè)，則，即……①
又，即
……②
由①②可得，
.
故選：B.
變式27．（2023秋·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)（????）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為 ，
函數(shù)在處的切線的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率為，
且切線與直線平行，
則有 ，可得 .
故選：B
變式28．（2023秋·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考階段練習(xí)）若曲線的一條切線與直線垂直，則切線的方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)切點(diǎn)為，，
切線與直線垂直，
切線的斜率為，
又，所以，，解得，
，即切點(diǎn)，
由點(diǎn)斜式可得，切線方程為：，即．
故選：．
變式29．（2023秋·青?！じ呷嗪煷蟾街行？茧A段練習(xí)）已知曲線y＝存在兩條互相平行的切線，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)：_______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】?jī)蓷l切線互相平行應(yīng)先滿足在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等，
例如，，，，
此時(shí)，，
函數(shù)在處的切線方程為：；
函數(shù)在處的切線方程為：；合乎題意，
故答案為：（答案不唯一）
變式30．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若曲線在處的切線與直線平行，則______.
【答案】
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，
所以，
又因?yàn)榍€在處的切線與直線平行，
所以，
解得，
故答案為：
7、最值問題
變式31．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是曲線上任意的一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，則，即，
所以，
故選：D．
變式32．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)距離的最小值為_______
【答案】
【解析】設(shè)與直線平行且與曲線相切于點(diǎn)時(shí)，
此時(shí)兩點(diǎn)距離的最小值為點(diǎn)到直線的距離，

因?yàn)?，所以，即得?br /> ，所以點(diǎn)到直線的距離為，
所以兩點(diǎn)距離的最小值為．
故答案為：
變式33．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)P是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為________.
【答案】
【解析】設(shè)，，
設(shè)直線與曲線相切，切點(diǎn)為，且直線與直線平行，
則有，得，，即
如圖所示：

此時(shí)到直線的距離最小，.
故答案為：
【過關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2023秋·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，所以，又，
所以切線方程為，即．
故選：A．
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，
所以，即函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線斜率為2，
所以函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為，即.
故選：A
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在曲線的所有切線中，與直線平行的共有（????）．
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】C
【解析】由，
令，得或，
當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線重合，
故在曲線的所有切線中，與直線平行的共有3條．
故選:C.
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)存在與直線平行的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函數(shù)存在與直線平行的切線，即在上有解，
而，所以，因?yàn)?，所以，所以?br /> 所以的取值范圍是．
當(dāng)直線就是的切線時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，
可得，解得．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：．
故選：B．
5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（????）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
所以，
所以，
所以，
所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1．
故選：C．
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）曲線在處的切線方程是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，則，
當(dāng)時(shí)，，，
所以切線方程為，即．
故選：D．
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是曲線上任意的一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，則，即，
所以，
故選：D．
8．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知P是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，曲線C在P點(diǎn)處的切線的傾斜角為，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)榍€在M處的切線的傾斜角，
所以對(duì)于任意的恒成立，
即對(duì)任意恒成立，
即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)，等號(hào)成立，故，
所以a的取值范圍是．
故選：D．
二、多選題
9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，是可導(dǎo)函數(shù)，直線 l：是曲線在處的切線，令，其中是的導(dǎo)函數(shù)，則(????)

A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由圖可知，f(3)＝1，故A正確；
(3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故，故B錯(cuò)誤；
，則，故C正確；
，，故D正確.
故選：ACD.
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（???）
A．曲線的切線斜率可以是1
B．曲線的切線斜率可以是
C．過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有1條
D．過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有2條
【答案】AC
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以
A.令，得 ，所以曲線的切線斜率可以是1，故正確；
B.令無解，所以曲線的切線斜率不可以是，故錯(cuò)誤；
C. 因?yàn)樵谇€上，所以點(diǎn)是切點(diǎn)，則，
所以切線方程為，即，所以過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有1條，故正確；
D.設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，解得，所以過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有1條，故錯(cuò)誤；
故選：AC
11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）設(shè)點(diǎn)P是曲線上的任意一點(diǎn)，P點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則角的取值范圍包含（???）
A．???????????? B．???????????? C．???????????? D．
【答案】CD
【解析】，，
依題意：，，
∵傾斜角的取值范圍是，∴，
故選：CD.
12．（2023秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)，則的值可以是（????）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】因?yàn)?，所以?br /> 由題意得直線的斜率，
即，解得或
故選:AD.
三、填空題
13．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是______．
【答案】
【解析】 ，
，則，
又，切點(diǎn)為，
函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是 即.
故答案為：.
14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)__________.
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以，令，得?br /> 所以切點(diǎn)為，代入，得.
故答案為：.
15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象在處切線的傾斜角為______．
【答案】
【解析】由求導(dǎo)得：，則，
所以函數(shù)的圖象在處切線斜率為-1，傾斜角為.
故答案為：
16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)（且）的圖象過定點(diǎn)，若曲線在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為______．
【答案】
【解析】函數(shù)（且）的圖象恒過點(diǎn)，
因?yàn)椋?br /> 則在處的切線的斜率為，又，
所以切線方程為，因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)，
所以，解得．
故答案為：
17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)存在平行于軸的切線，則實(shí)數(shù)取值范圍是______.
【答案】
【解析】函數(shù)定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，
使得存在垂直于軸的切線，即有正解，可得有解，
因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)“，即”時(shí)等號(hào)成立，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是
故答案為：
四、解答題
18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的導(dǎo)數(shù)；
(2)求曲線在處切線的方程.
【解析】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，?br /> （2）由（1）知，，而，于是得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，即．
19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
（1）；
（2）
（3）；
（4）
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩曲線和都經(jīng)過點(diǎn)，且在點(diǎn)P處有公切線．
(1)求a，b，c的值；
(2)求公切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
【解析】（1）兩函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)分別為：
和，
由題意，
解得；
（2）由（1）知公切線方程為，
即，
令得，令得，
所以所求面積為；
21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若在點(diǎn)處切線的傾斜角為，求的值；
【解析】由，
得，
因?yàn)樵邳c(diǎn)處切線的傾斜角為，
所以，
即，
解得.
22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若直線與函數(shù)的圖象都相切，且與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)，求的值；
【解析】，
則切線：.
因?yàn)榕c圖象相切，所以，
即有唯一解.
當(dāng)時(shí)，方程無解；
當(dāng)時(shí)，由，解得
綜上：



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