新高考數(shù)學一輪復習講練教案3.1 導數(shù)的概念及運算（含解析）-教案下載-教習網(wǎng)

?第三章導數(shù)及其應用
第一節(jié)　導數(shù)的概念及運算
核心素養(yǎng)立意下的命題導向
1.與基本初等函數(shù)相結合考查函數(shù)導數(shù)的計算，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．
2．與曲線方程相結合考查導數(shù)的幾何意義，凸顯數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．

[理清主干知識]
1．導數(shù)的概念
函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率li ＝li 為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li ＝li .稱函數(shù)f′(x)＝li 為f(x)的導函數(shù)．
2．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
基本初等函數(shù)
導函數(shù)

基本初等函數(shù)
導函數(shù)
f(x)＝c
(c為常數(shù))
f′(x)＝

f(x)＝xα
(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ex
f′(x)＝
f(x)＝ax
(a>0，a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝logax
(a>0，a≠1)
f′(x)＝

3．導數(shù)運算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．導數(shù)的幾何意義
函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率．相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．特別地，如果曲線y＝f(x)在點(x0，y0)處的切線垂直于x軸，則此時導數(shù)f′(x0)不存在，由切線定義可知，切線方程為x＝x0.
5．復合函數(shù)的導數(shù)
復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積．
[澄清盲點誤點]
一、關鍵點練明
1．(商的導數(shù))若函數(shù)f(x)＝(e是自然對數(shù)的底數(shù))，則其導函數(shù)f′(x)＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．1＋x D．1－x
答案：B
2．(導數(shù)的運算)已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，則x0＝________.
解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3.
答案：3
3．(求切線方程)曲線y＝log2x在點(1,0)處的切線與坐標軸所圍成三角形的面積等于________．
解析：∵y′＝，∴切線的斜率k＝，∴切線方程為y＝(x－1)，∴所求三角形的面積S＝×1×＝＝log2e.
答案：log2e
4．(已知切線求參數(shù))已知函數(shù)f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的圖象在x＝1處的切線方程為2x－y＝0，則a＋b＝________.
解析：由題意，得f′(x)＝aln x＋a，所以f′(1)＝a，因為函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處的切線方程為2x－y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，則2×1－b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.
答案：4
二、易錯點練清
1．(多選·混淆求導公式)下列導數(shù)的運算中正確的是(　　)
A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2xln x＋x
C.′＝ D．(sin xcos x)′＝cos 2x
解析：選ABD　因為′＝，所以C項錯誤，其余都正確．
2．(混淆點P處的切線和過P點的切線)函數(shù)f(x)＝x2＋的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為(　　)
A．x－y＋1＝0 B．3x－y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．3x－y＋1＝0
解析：選A　函數(shù)f(x)＝x2＋的導數(shù)為f′(x)＝2x－，
可得圖象在點(1，f(1))處的切線斜率為k＝2－1＝1，
切點為(1,2)，
可得圖象在點(1，f(1))處的切線方程為y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0.故選A.

考點一　導數(shù)的運算
[典題例析]　
(1)設f(x)＝x(2 020＋ln x)，若f′(x0)＝2 021，則x0等于(　　)
A．e2　　　　　　　　　 B．1
C．ln 2 D．e
(2)(2021·日照質檢)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，則f′(1)＝(　　)
A．－e B．1
C．－1 D．e
(3)函數(shù)f(x)＝xsincos，則其導函數(shù)f′(x)＝________________.
[解析]　(1)f′(x)＝2 020＋ln x＋1＝2 021＋ln x，由f′(x0)＝2 021，得2 021＋ln x0＝ 2 021，則ln x0＝0，解得x0＝1.
(2)由題可得f′(x)＝2f′(1)＋，則f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1，故選C.
(3)∵f(x)＝xsincos
＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x，
∴f′(x)＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
[答案]　(1)B　(2)C　(3)－sin 4x－2xcos 4x
[方法技巧]
1．導數(shù)運算的常見形式及其求解方法
連乘積形式
先展開化為多項式的形式，再求導
分式形式
觀察函數(shù)的結構特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導
對數(shù)形式
先化為和、差的形式，再求導
根式形式
先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導
三角形式
先利用三角函數(shù)公式轉化為和或差的形式，再求導
復合函數(shù)
確定復合關系，由外向內逐層求導，必要時可換元

2．解決解析式中含有導數(shù)值問題的策略
解決解析式中含有導數(shù)值的函數(shù)，即解析式類似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0為常數(shù))的函數(shù)問題的關鍵是恰當賦值，然后活用方程思想求解，即先求導數(shù)f′(x)，然后令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，進而得到函數(shù)解析式，最后求得所求導數(shù)值．
[針對訓練]
1．已知函數(shù)f(x)＝ln(ax－1)的導函數(shù)為f′(x)，若f′(2)＝2，則實數(shù)a的值為(　　)
A. B．
C. D．1
解析：選B　因為f′(x)＝，所以f′(2)＝＝2，解得a＝.故選B.
2．(2021·長沙一模)等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，則f′(0)＝(　　)
A．26 B．29
C．212 D．215
解析：選C　f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2a3…a8＝(a1a8)4＝(2×4)4＝212.故選C.
3．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝________.
解析：∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.
∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4.
答案：－4
考點二　導數(shù)的幾何意義
考法(一)　求切線方程
[例1]　已知函數(shù)f(x)＝x2.
(1)求曲線f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
(2)求經(jīng)過點P(－1,0)的曲線f(x)的切線方程．
[解]　(1)∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，
∴f′(1)＝2，又f(1)＝1，
∴曲線在點(1，f(1))處的切線方程為
y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
(2)設切點坐標為(x0，x)．
∵f′(x0)＝2x0，∴切線方程為y－0＝2x0(x＋1)，
又∵切點(x0，x)在切線上，
∴代入切線方程得x＝2x0(x0＋1)，
即x＋2x0＝0，解得x0＝0或x0＝－2.
∴所求切線方程為y＝0或y＝－4(x＋1)，
即y＝0或4x＋y＋4＝0.
[方法技巧]
求切線方程問題的2種類型及方法
(1)求“在”曲線y＝f(x)上一點P(x0，y0)處的切線方程：
點P(x0，y0)為切點，切線斜率為k＝f′(x0)，有唯一的一條切線，對應的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)求“過”曲線y＝f(x)上一點P(x0，y0)的切線方程：
切線經(jīng)過點P，點P可能是切點，也可能不是切點，這樣的直線可能有多條．解決問題的關鍵是設切點，利用“待定切點法”求解，即：
①設切點A(x1，y1)，則以A為切點的切線方程為y－y1＝f′(x1)(x－x1)；
②根據(jù)題意知點P(x0，y0)在切線上，點A(x1，y1)在曲線y＝f(x)上，得到方程組求出切點A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，化簡即得所求的切線方程．　
考法(二)　求參數(shù)值或范圍
[例2]　已知曲線f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在兩條斜率為3的切線，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.　　　　　　 B．(3，＋∞)
C. D．(0,3)
[解析]　由題得f′(x)＝2e2x－2ex＋a，
則方程2e2x－2ex＋a＝3有兩個不同的正解，
令t＝ex(t>0)，且g(t)＝2t2－2t＋a－3，
則由圖象可知，有g(0)>0且Δ>0，
即a－3>0且4－8(a－3)>0，解得30)恒成立，所以a≥0，故實數(shù)a的取值范圍為[0，＋∞)．故選D.
11．(多選)已知點A(1,2)在函數(shù)f(x)＝ax3的圖象上，則過點A的曲線C：y＝f(x)的切線方程是(　　)
A．6x－y－4＝0 B．x－4y＋7＝0
C．3x－2y＋1＝0 D．4x－y＋3＝0
解析：選AC　由點A(1,2)在函數(shù)f(x)＝ax3的圖象上，得a＝2，則f(x)＝2x3，f′(x)＝6x2.設切點為(m,2m3)，則切線的斜率k＝6m2，由點斜式得切線方程為y－2m3＝6m2(x－m)，代入點A(1,2)的坐標得2－2m3＝6m2(1－m)，即有2m3－3m2＋1＝0，即(m－1)2(2m＋1)＝0，解得m＝1或m＝－，即斜率為6或，則過點A的曲線C：y＝f(x)的切線方程是y－2＝6(x－1)或y－2＝(x－1)，即6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0.故選A、C.
12．(2020·江南十校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝(2x－1)ex的圖象在點(0，f(0))處的切線的傾斜角為________．
解析：由f(x)＝(2x－1)ex，得f′(x)＝(2x＋1)ex，
∴f′(0)＝1，則切線的斜率k＝1，
又切線的傾斜角θ∈[0，π)，
因此切線的傾斜角θ＝.
答案：
13．曲線y＝ln(2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離為________．
解析：設曲線上過點P(x0，y0)的切線平行于直線2x－y＋3＝0，即斜率是2，則 y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1，所以y0＝0，即點P(1,0)．又點P到直線2x－y＋3＝0的距離為＝，所以曲線y＝ln(2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是.
答案：
14．已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝x2.若直線l與曲線f(x)，g(x)都相切，則直線l的斜率為________．
解析：因為f(x)＝，所以f′(x)＝－，設曲線f(x)與l切于點，則切線斜率k＝－，故切線方程為y－＝－(x－x1)，即y＝－x＋.與g(x)＝x2聯(lián)立，得x2＋x－＝0.因為直線l與曲線g(x)相切，所以2－4＝0，解得x1＝－，故斜率k＝－＝－4.
答案：－4
15．設函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)證明曲線f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3，當x＝2時，y＝.
又因為f′(x)＝a＋，
所以解得所以f(x)＝x－.
(2)證明：設P(x0，y0)為曲線y＝f(x)上任一點，由y′＝1＋知曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，所以切線與直線x＝0的交點坐標為.令y＝x，得y＝x＝2x0，所以切線與直線y＝x的交點坐標為(2x0,2x0)．
所以曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0和y＝x所圍成的三角形的面積S＝|2x0|＝6.
故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和y＝x所圍成的三角形面積為定值，且此定值為6.
16．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
依題意?
又f′(0)＝－3，所以c＝－3，所以a＝1，
所以f(x)＝x3－3x.
(2)設切點為(x0，x－3x0)，
因為f′(x)＝3x2－3，所以f′(x0)＝3x－3，
所以切線方程為y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)，
又切線過點A(2，m)，
所以m－(x－3x0)＝(3x－3)(2－x0)，
所以m＝－2x＋6x－6.
令g(x)＝－2x3＋6x2－6，
則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)，

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2，g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2，
畫出g(x)的草圖知，當－60)為它們的公切線，聯(lián)立可得x2－kx－b＝0，由Δ＝0，得k2＋4b＝0　①.對y＝ex＋a求導可得y′＝ex＋a，令ex＋a＝k，可得x＝ln k－a，∴切點坐標為(ln k－a，kln k－ak＋b)，代入y＝ex＋a可得k＝kln k－ak＋b　②.聯(lián)立①②可得k2＋4k＋4ak－4kln k＝0，化簡得4＋4a＝4ln k－k.令g(k)＝4ln k－k，則g′(k)＝－1，令g′(k)＝0，得k＝4，令g′(k)>0，得0

相關教案

相關教案更多

相關教案

相關教案 更多

相關教案更多