考點規(guī)范練14　導(dǎo)數(shù)的概念及運算基礎(chǔ)鞏固1.(2020山東濰坊期中)設(shè)函數(shù)f(x)=x,則=(　　)A.0 B.1 C.2 D.-1答案:B解析:根據(jù)題意,=f'(1),又f(x)=x,則f'(x)=1,于是f'(1)=1,所以=1.2.已知曲線y=ln x的切線過原點,則此切線的斜率為(　　)A.e B.-e C D.-答案:C解析:由題意可得y=lnx的定義域為(0,+∞),且y'=設(shè)切點為(x0,lnx0),則切線方程為y-lnx0=(x-x0).因為切線過點(0,0),所以-lnx0=-1,解得x0=e,故此切線的斜率為3.已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(2-x)=2x2-7x+6,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程是(　　)A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3答案:C解析:令x=1,得f(1)=1;令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化簡整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,∴f'(x)=4x-1,∴f'(1)=3,∴所求切線方程為y-1=3(x-1),即y=3x-2.4.函數(shù)f(x)=xcos x的導(dǎo)函數(shù)f'(x)在區(qū)間[-π,π]上的圖象大致是(　　)答案:A解析:由題意,得f'(x)=cosx+x(-sinx)=cosx-xsinx.因為f'(-x)=f'(x),所以f'(x)為偶函數(shù).又f'(0)=1,所以排除選項C,D.又f'=-<0,所以排除選項B.故選A.5.曲線f(x)=x3-x+3在點P處的切線平行于直線y=2x-1,則點P的坐標(biāo)為(　　)A.(1,3) B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)答案:C解析:∵f(x)=x3-x+3,∴f'(x)=3x2-1.設(shè)點P(x,y),則f'(x)=2,即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,故P(1,3)或(-1,3).經(jīng)檢驗,點(1,3),(-1,3)均不在直線y=2x-1上,符合題意.故選C.6.已知直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b相切于點A(1,2),則ab等于(　　)A.-8 B.-6 C.-1 D.5答案:A解析:由題意得直線y=kx+1過點A(1,2),故2=k+1,即k=1.∵函數(shù)y=x3+ax+b的導(dǎo)數(shù)y'=3x2+a,且直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b相切于點A(1,2),∴k=3+a,即1=3+a,∴a=-2.將點A(1,2)的坐標(biāo)代入曲線方程y=x3+ax+b,可解得b=3,故ab=(-2)3=-8.故選A.7.若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點,使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有性質(zhì)T.下列函數(shù)中具有性質(zhì)T的是(　　)A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3答案:A解析:設(shè)曲線上兩點P(x1,y1),Q(x2,y2),則由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知,兩條切線的斜率分別為k1=f'(x1),k2=f'(x2).若函數(shù)具有T性質(zhì),則k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.A項,y'=cosx,顯然k1·k2=cosx1·cosx2=-1有無數(shù)組解,所以該函數(shù)具有性質(zhì)T;B項,y'=(x>0),顯然k1·k2==-1無解,故該函數(shù)不具有性質(zhì)T;C項,y'=ex>0,顯然k1·k2==-1無解,故該函數(shù)不具有性質(zhì)T;D項,y'=3x2≥0,顯然k1·k2=33=-1無解,故該函數(shù)不具有性質(zhì)T.綜上,選A.8.若存在經(jīng)過點(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+x-9都相切,則a等于(　　)A.-1或- B.-1或 C.-或- D.-或7答案:A解析:因為y=x3,所以y'=3x2.設(shè)過點(1,0)的直線與曲線y=x3相切于點(x0,),則在該點處的切線斜率為k=3,所以切線方程為y-=3(x-x0),即y=3x-2又點(1,0)在切線上,則x0=0或x0=當(dāng)x0=0時,由直線y=0與曲線y=ax2+x-9相切,可得a=-;當(dāng)x0=時,由直線y=x-與曲線y=ax2+x-9相切,可得a=-1.9.(2020四川青羊區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=+x3,其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),則f(2 020)+f(-2 020)+f'(2 019)-f'(-2 019)的值為(　　)A.1 B.2 C.3 D.4答案:C解析:f'(x)=+3x2,f'(-x)=+3x2,所以f'(x)為偶函數(shù),所以f'(2019)-f'(-2019)=0,又因為f(x)+f(-x)=+x3+-x3==3,所以f(2020)+f(-2020)+f'(2019)-f'(-2019)=3.10.曲線y=(ax+1)ex在點(0,1)處的切線的斜率為-2,則a=　　　　　. 答案:-3解析:設(shè)y=f(x)=(ax+1)ex,則f'(x)=a·ex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex,∴f(x)=(ax+1)ex在點(0,1)處的切線斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.11.函數(shù)f(x)=的圖象在點(-1,2)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于　　　　　. 答案:解析:∵f'(x)==,∴f'(-1)=-4.∴切線方程為y=-4x-2.∴切線在x軸、y軸上的截距分別為-,-2.∴所求三角形的面積為12.(2020遼寧和平區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=cos 2x的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),則函數(shù)g(x)=2f(x)+f'(x)在區(qū)間[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是　　　　　. 答案:解析:f'(x)=-2sin2x,∴g(x)=2cos2x-2sin2x=-4sin2x-,由+2kπ≤2x-+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x+kπ(k∈Z),又x∈[0,π],x∴g(x)在區(qū)間[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是能力提升13.函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,則y=f(x),y=g(x)的圖象可能是(　　)答案:D解析:由題中y=f'(x)的圖象知y=f'(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,說明函數(shù)y=f(x)的切線的斜率在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)也單調(diào)遞減,故可排除A,C.又由題中圖象知函數(shù)y=f'(x)與y=g'(x)的圖象在x=x0處相交,說明函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象在x=x0處的切線的斜率相同,故可排除B.故選D.14.若點P是曲線y=x2-ln x上任意一點,則點P到直線y=x-2的距離的最小值為(　　)A.1 B C D答案:B解析:因為函數(shù)y=x2-lnx的定義域為(0,+∞),所以y'=2x-,令2x-=1,解得x=1,則曲線y=x2-lnx在點P(1,1)處的切線方程為x-y=0,所以兩平行線間的距離為d=故所求距離的最小值為15.(2020四川內(nèi)江模擬)函數(shù)f(x)=x(x-S1)(x-S2)·…·(x-S8),其中Sn為數(shù)列{an}的前n項和,若an=,則f'(0)=(　　)A B C D答案:B解析:∵f(x)=x(x-S1)(x-S2)·…·(x-S8),∴f'(x)=[(x-S1)(x-S2)…(x-S8)]+x[(x-S1)(x-S2)…(x-S8)]',則f'(0)=S1S2…S8,∵an=,∴Sn=1-+…+=1-,∴S1S2…S8=…,即f'(0)=16.設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線的斜率為　　　　　. 答案:4解析:由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及條件,得g'(1)=2.∵函數(shù)f(x)=g(x)+x2.∴f'(x)=g'(x)+2x,∴f'(1)=g'(1)+2=4,∴曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線的斜率為4.17.(2020廣東中山期末)在許多實際問題中,一個因變量往往與幾個自變量有關(guān),即因變量的值依賴于幾個自變量,這樣的函數(shù)稱為多元函數(shù).例如,某種商品的市場需求量不僅僅與其市場價格有關(guān),而且與消費者的收入以及這種商品的其他代用品的價格等因素有關(guān),即決定該商品需求量的因素不止一個而是多個.我們常常用偏導(dǎo)數(shù)來研究多元函數(shù).以下是計算二元函數(shù)z=f(x,y)=2x2+y+3xy2在(1,2)處偏導(dǎo)數(shù)的全過程:fx'(x,y)=4x+3y2,fy'(x,y)=1+6xy,所以fx'(1,2)=4×1+3×22=16,fy'(1,2)=1+6×1×2=13,由上述過程,若二元函數(shù)z=g(x,y)=ln(x2+y2),則gx'(1,2)+gy'(1,2)=　　　　. 答案:解析:根據(jù)題意,gx'(x,y)=,gy'(x,y)=,則gx'(1,2)=,gy'(1,2)=,所以gx'(1,2)+gy'(1,2)=高考預(yù)測18.(2020廣東廣州模擬)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),記f1(x)=f'(x),f2(x)=f1'(x)……fn+1(x)=fn'(x)(n∈N*).若f(x)=xsin x,則f2 019(x)+f2 021(x)=(　　)A.-2cos x B.-2sin x C.2cos x D.2sin x答案:D解析:f(x)=xsinx,則f1(x)=f'(x)=sinx+xcosx,f2(x)=f1'(x)=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx,f3(x)=f2'(x)=-2sinx-sinx-xcosx=-3sinx-xcosx,f4(x)=f3'(x)=-3cosx-cosx+xsinx=-4cosx+xsinx,f5(x)=f4'(x)=4sinx+sinx+xcosx=5sinx+xcosx,f6(x)=f5'(x)=5cosx+cosx-xsinx=6cosx-xsinx,f7(x)=f6'(x)=-6sinx-sinx-xcosx=-7sinx-xcosx,……則f1(x)+f3(x)=sinx+xcosx-3sinx-xcosx=-2sinx,f3(x)+f5(x)=-3sinx-xcosx+5sinx+xcosx=2sinx,f5(x)+f7(x)=5sinx+xcosx-7sinx-xcosx=-2sinx,……所以f4k+1(x)+f4k+3(x)=-2sinx(k∈N),f4k+3(x)+f4k+5(x)=2sinx(k∈N),則f2019(x)+f2021(x)=2sinx.

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