課時規(guī)范練13　函數(shù)模型及其應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固組1.某輛汽車每次加油都把油箱加滿,下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.加油時間加油量/升加油時的累計里程/千米2021年5月1日1235 0002021年5月15日4835 600注:“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程.在這段時間內(nèi),該車每100千米平均耗油量為(　　)A.6升 B.8升 C.10升 D.12升答案:B解析:5月1日到5月15日,汽車行駛了35600-35000=600(千米),實(shí)際耗油48升,所以該車每100千米平均耗油量為=8(升).2.(2021四川成都診斷測試)單位時間內(nèi)通過道路上指定斷面的車輛數(shù)被稱為“道路容量”,與道路設(shè)施、交通服務(wù)、環(huán)境、氣候等諸多條件相關(guān).假設(shè)某條道路一小時通過的車輛數(shù)N滿足關(guān)系N=,其中d0為安全距離(單位:m),v為車速(單位:m/s).當(dāng)安全距離d0取30 m時,該道路一小時“道路容量”的最大值約為(　　)A.135 B.149 C.165 D.195答案:B解析:由題意得,N=≈149,當(dāng)且僅當(dāng)0.3v=,即v=10時,等號成立,所以該道路一小時“道路容量”的最大值約為149.3.(2021西藏拉薩二模)某大型建筑工地因施工噪音過大,被周圍居民投訴.現(xiàn)環(huán)保局要求其整改,降低聲強(qiáng).已知聲強(qiáng)I(單位:W/m2)表示聲音在傳播途徑中每平方米面積上的聲能流密度,聲強(qiáng)級L(單位:dB)與聲強(qiáng)I的函數(shù)關(guān)系式為L=10lg(aI),其中a為正實(shí)數(shù).已知I=1013 W/m2時,L=10 dB.若整改后的施工噪音的聲強(qiáng)為原聲強(qiáng)的10-2,則整改后的施工噪音的聲強(qiáng)級降低了(　　)A.50 dB B.40 dB C.30 dB D.20 dB答案:D解析:由已知得10=10·lg(a×1013),解得a=10-12,故L=10·lg(10-12×I)=10(-12+lgI).設(shè)施工噪音原來的聲強(qiáng)為I1,聲強(qiáng)級為L1,整改后的聲強(qiáng)為I2,聲強(qiáng)級為L2,則L1-L2=10(-12+lgI1)-10(-12+lgI2)=10(lgI1-lgI2)=10·lg=20.4.(2021江西吉安模擬)根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定:駕駛員在血液中的酒精含量大于或等于20 mg/100 mL,小于80 mg/100 mL時的駕駛行為視為飲酒駕駛.某人喝了酒后,血液中的酒精含量升到60 mg/100 mL.在停止喝酒后,若血液中的酒精含量以每小時20%的速度減少,為了保障交通安全,這人至少經(jīng)過幾小時才能開車(　　)(精確到1小時,參考數(shù)據(jù):lg 3≈0.48,lg 2≈0.3)A.7 B.6 C.5 D.4答案:C解析:設(shè)這人至少經(jīng)過x小時才能開車,由題意得60(1-20%)x<20,即0.8x<,所以x>log0.8=4.8,所以這人至少經(jīng)過5小時才能開車.5.(2021廣東深圳一模)岡珀茨模型(y=k)是由岡珀茨(Gompertz)提出,可作為動物種群數(shù)量變化的模型,并用于描述種群的消亡規(guī)律.已知某珍稀物種t年后的種群數(shù)量y近似滿足岡珀茨模型:y=k0(當(dāng)t=0時,表示2020年初的種群數(shù)量),若m(m∈N+)年后,該物種的種群數(shù)量將不足2020年初種群數(shù)量的一半,則m的最小值為　　　　　.(ln 2≈0.7) 答案:6解析:令t=m,由題意知,k0k0k0·e1.4,所以2<得1.4(1-e-0.125m)>ln2≈0.7,則1-e-0.125m>,所以e-0.125m<,解得m>=5.6,所以m的最小值為6.綜合提升組6.(2021福建廈門一模)某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)開發(fā)了一種新藥,據(jù)監(jiān)測,如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物,注射后每毫升血液中的含藥量y(單位:微克)與時間t(單位:小時)之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線.據(jù)進(jìn)一步測定,當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時,治療該病有效,有下列說法:①a=3;②注射一次治療該病的有效時間長度為6小時;③注射該藥物小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克;④注射一次治療該病的有效時間長度為5小時.其中說法正確的序號有　　　　　. 答案:①④解析:由函數(shù)圖像可知y=當(dāng)t=1時,y=4,即=4,解得a=3,∴y=故①正確;藥物剛好起效的時間,4t=0.125,解得t=,藥物剛好失效的時間,=0.125,解得t=6,故藥物有效時長為6-=5小時,藥物的有效時間不到6個小時,故②錯誤,④正確;注射該藥物小時后每毫升血液含藥量為4=0.5微克,故③錯誤.7.(2021云南昆明一中高三月考)科學(xué)家在研究物體的熱輻射能力時定義了一個理想模型叫“黑體”,即一種能完全吸收照在其表面的電磁波(光)的物體.然后,黑體根據(jù)其本身特性再向周邊輻射電磁波,科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)單位面積的黑體向空間輻射的電磁波的功率B與該黑體的絕對溫度T的4次方成正比,即B=σT4,σ為玻爾茲曼常數(shù).而我們在做實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的過程中,往往不用基礎(chǔ)變量作為橫縱坐標(biāo),以本實(shí)驗(yàn)結(jié)果為例,B為縱坐標(biāo),以T4為橫坐標(biāo),則能夠近似得到　　　　　(曲線形狀). 答案:射線解析:因?yàn)?/span>B=σT4,σ為玻爾茲曼常數(shù).以B為縱坐標(biāo),以T4為橫坐標(biāo),因?yàn)?/span>x=T4≥0,所以B=σx(x≥0),所以曲線是一條射線.創(chuàng)新應(yīng)用組8.(2021山東菏澤高三期中)某公司為調(diào)動員工工作積極性擬制定以下獎勵方案,要求獎金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加,獎金不超過90萬元,同時獎金不超過投資收益的20%.即假定獎勵方案模擬函數(shù)為y=f(x)時,在估計能獲得[25,1 600]萬元的投資收益時,該公司對函數(shù)模型的基本要求是:當(dāng)x∈[25,1 600]時,①f(x)是遞增的;②f(x)≤90恒成立;③f(x)恒成立.(1)現(xiàn)有兩個獎勵函數(shù)模型:①f(x)=x+10;②f(x)=2-6.試分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司要求?(2)已知函數(shù)f(x)=a-10(a≥2)符合公司獎勵方案函數(shù)模型要求,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)對于函數(shù)模型:f(x)=x+10,驗(yàn)證條件③:當(dāng)x=30時f(x)=12,而=6,即f(x)不成立,故該函數(shù)模型不符合公司要求;對于函數(shù)模型:f(x)=2-6,當(dāng)x∈[25,1600]時,條件①f(x)是增函數(shù)滿足;∴f(x)max=2-6=2×40-6=74<90,滿足條件②;對于條件③:記g(x)=2-6-(25≤x≤1600),則g(x)=--5)2-1,[5,40],∴當(dāng)=5時,g(x)max=-(5-5)2-1=-1<0,∴f(x)恒成立,即條件③也成立.故函數(shù)模型f(x)=2-6符合公司要求.(2)∵a≥2,∴函數(shù)f(x)=a-10符合條件①;由函數(shù)f(x)=a-10符合條件②,得a-10=a×40-10≤90,解得a;由函數(shù)f(x)=a-10符合條件③,得a-10對x∈[25,1600]恒成立,即a對x∈[25,1600]恒成立.2,當(dāng)且僅當(dāng),即x=50時等號成立,∴a≤2綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是

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