?課時跟蹤檢測（十四） 導數(shù)的概念及運算
一、綜合練——練思維敏銳度
1．曲線y＝ex－ln x在點(1，e)處的切線方程為(　　)
A．(1－e)x－y＋1＝0　　 B．(1－e)x－y－1＝0
C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0
解析：選C　由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，
故曲線y＝ex－ln x在點(1，e)處的切線方程為y－e＝(e－1)(x－1)，
即(e－1)x－y＋1＝0.
2．已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足關系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，則f′(2)的值等于(　　)
A．－2 B．2
C．－ D．
解析：選C　因為f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋，解得f′(2)＝－.
3．設函數(shù)f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)(x－3k)，且f′(0)＝6，則k＝(　　)
A．0 B．－1
C．3 D．－6
解析：選B　因為f′(0)＝6，所以原函數(shù)中x的一次項的系數(shù)為6，即k·2k·(－3k)＝ －6k3＝6，解得k＝－1.故選B.
4．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，則導函數(shù)f′(x)的大致圖象為(　　)


解析：選B　由導數(shù)的幾何意義可知，f′(x)為常數(shù)，且f′(x)0)，
根據(jù)題意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，
所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故實數(shù)a的取值范圍為[0，＋∞)．故選D.
11．(多選)已知點A(1,2)在函數(shù)f(x)＝ax3的圖象上，則過點A的曲線C：y＝f(x)的切線方程是(　　)
A．6x－y－4＝0 B．x－4y＋7＝0
C．3x－2y＋1＝0 D．4x－y＋3＝0
解析：選AC　由點A(1,2)在函數(shù)f(x)＝ax3的圖象上，得a＝2，則f(x)＝2x3，f′(x)＝6x2.設切點為(m,2m3)，則切線的斜率k＝6m2，由點斜式得切線方程為y－2m3＝6m2(x－m)，代入點A(1,2)的坐標得2－2m3＝6m2(1－m)，即有2m3－3m2＋1＝0，即(m－1)2(2m＋1)＝0，解得m＝1或m＝－，即斜率為6或，則過點A的曲線C：y＝f(x)的切線方程是y－2＝6(x－1)或y－2＝(x－1)，即6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0.故選A、C.
12．(2020·江南十校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝(2x－1)ex的圖象在點(0，f(0))處的切線的傾斜角為________．
解析：由f(x)＝(2x－1)ex，得f′(x)＝(2x＋1)ex，
∴f′(0)＝1，則切線的斜率k＝1，
又切線的傾斜角θ∈[0，π)，
因此切線的傾斜角θ＝.
答案：
13．曲線y＝ln(2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離為________．
解析：設曲線上過點P(x0，y0)的切線平行于直線2x－y＋3＝0，即斜率是2，則 y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1，所以y0＝0，即點P(1,0)．又點P到直線2x－y＋3＝0的距離為＝，所以曲線y＝ln(2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是.
答案：
14．已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝x2.若直線l與曲線f(x)，g(x)都相切，則直線l的斜率為________．
解析：因為f(x)＝，所以f′(x)＝－，設曲線f(x)與l切于點，則切線斜率k＝－，故切線方程為y－＝－(x－x1)，即y＝－x＋.與g(x)＝x2聯(lián)立，得x2＋x－＝0.因為直線l與曲線g(x)相切，所以2－4＝0，解得x1＝－，故斜率k＝－ ＝－4.
答案：－4
15．設函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)證明曲線f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3，當x＝2時，y＝.
又因為f′(x)＝a＋，
所以解得所以f(x)＝x－.
(2)證明：設P(x0，y0)為曲線y＝f(x)上任一點，由y′＝1＋知曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，所以切線與直線x＝0的交點坐標為.令y＝x，得y＝x＝2x0，所以切線與直線y＝x的交點坐標為(2x0,2x0)．
所以曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0和y＝x所圍成的三角形的面積S＝|2x0|＝6.
故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和y＝x所圍成的三角形面積為定值，且此定值為6.
16．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
依題意?
又f′(0)＝－3，所以c＝－3，所以a＝1，
所以f(x)＝x3－3x.
(2)設切點為(x0，x－3x0)，
因為f′(x)＝3x2－3，所以f′(x0)＝3x－3，
所以切線方程為y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)，
又切線過點A(2，m)，
所以m－(x－3x0)＝(3x－3)(2－x0)，
所以m＝－2x＋6x－6.
令g(x)＝－2x3＋6x2－6，
則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)，

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2，g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2，
畫出g(x)的草圖知，當－60)為它們的公切線，聯(lián)立可得x2－kx－b＝0，由Δ＝0，得k2＋4b＝0?、?對y＝ex＋a求導可得y′＝ex＋a，令ex＋a＝k，可得x＝ln k－a，∴切點坐標為(ln k－a，kln k－ak＋b)，代入y＝ex＋a可得k＝kln k－ak＋b　②.聯(lián)立①②可得k2＋4k＋4ak－4kln k＝0，化簡得4＋4a＝4ln k－k.令g(k)＝4ln k－k，則g′(k)＝－1，令g′(k)＝0，得k＝4，令g′(k)>0，得0

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