?3.3.2 第1課時 拋物線的簡單幾何性質(zhì)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)科素養(yǎng)
1.掌握拋物線的幾何性質(zhì)．(重點)
2.掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問題．(重點)
3.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點弦、弦中點等問題．(難點)
1、直觀想象
2、數(shù)學(xué)運算
3、邏輯推理
【自主學(xué)習(xí)】
一．拋物線的幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
圖形




性質(zhì)
焦點




準(zhǔn)線




范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
對稱軸


頂點

離心率
e＝
二．直線與拋物線的位置關(guān)系
直線與拋物線有三種位置關(guān)系： 、 和 ．
設(shè)直線y＝kx＋m與拋物線y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，將y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化簡，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. 交點個數(shù)即二次方程解的個數(shù)．
①k＝0時，直線與拋物線的軸 ，此時直線與拋物線有 個公共點；
②k≠0時，Δ＞0?直線與拋物線 ?有 公共點．
Δ＝0?直線與拋物線 ?只有 公共點．
Δ＜0?直線與拋物線 ? 公共點．
三．弦長問題
1.拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為2p．
2.拋物線的焦點弦
過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的一條直線與它交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
(1)y1y2＝ ，x1x2＝ ；
(2)|AB|＝ ；
(3)＋＝ ．
【小試牛刀】
1.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)拋物線關(guān)于頂點對稱．(　 　)
(2)拋物線只有一個焦點，一條對稱軸，無對稱中心．(　 　)
(3)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同，但是其離心率都相同．(　 　)
(4)拋物線y2＝2px過焦點且垂直于對稱軸的弦長是2p．(　 　)
(5)拋物線y＝－x2的準(zhǔn)線方程為x＝．(　 　)
2.頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離為3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A．x2＝±3y　　　　　B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．y2＝±12x
【經(jīng)典例題】
題型一 直線與拋物線的位置關(guān)系
點撥：直線與拋物線交點問題的解題思路
1.判斷直線與拋物線的交點個數(shù)時，一般是將直線與拋物線的方程聯(lián)立消元，轉(zhuǎn)化為形如一元二次方程的形式，注意討論二次項系數(shù)是否為0.若該方程為一元二次方程，則利用判別式判斷方程解的個數(shù)．
2.直線與拋物線有一個公共點時有兩種情形：①直線與拋物線的對稱軸重合或平行；②直線與拋物線相切．
例1　已知直線l：y＝kx＋1，拋物線C：y2＝4x，當(dāng)k為何值時，l與C：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點．







【跟蹤訓(xùn)練】1 直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點，則k＝________．
題型二 拋物線弦長問題
點撥：拋物線弦長的求解思路
當(dāng)直線的斜率k存在且k≠0時，弦長公式為|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|；當(dāng)直線的斜率k＝0時，只有拋物線的對稱軸是y軸時弦長存在，弦長公式為|AB|＝|x1－x2|；當(dāng)直線的斜率k不存在時，只有拋物線的對稱軸是x軸時弦長存在，弦長公式為|AB|＝|y1－y2|.
注意：解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應(yīng)用，通過定義將焦點弦的長度轉(zhuǎn)化為端點的坐標(biāo)問題，從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．　　
例2 斜率為2的直線經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點，與拋物線相交于兩點A、B，求線段AB的長．




【跟蹤訓(xùn)練】2 已知拋物線的頂點在原點，x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為的直線l被拋物線所截得的弦長為6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．






題型三　拋物線中點弦問題
點撥：解決中點弦問題的基本方法是點差法、利用根與系數(shù)的關(guān)系，直線與拋物線的方程聯(lián)立時消y有時更簡捷，此類問題還要注意斜率不存在的情況，避免漏解．
一般地，已知拋物線y2＝2px(p>0)上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)及AB的中點P(x0，y0)，則kAB＝.
例3 已知A、B為拋物線E上不同的兩點，若拋物線E的焦點為(1,0)，線段AB恰被M(2,1)所平分．
(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求直線AB的方程．





【跟蹤訓(xùn)練】3　過點Q(4，1)作拋物線y2＝8x的弦AB，恰被點Q所平分，則弦AB所在直線的方程為________．

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.(多選)已知拋物線C：x2＝2py，若直線y＝2x被拋物線所截弦長為4，則拋物線C的方程為（ ）
A．x2＝4y B．x2＝－4y C．x2＝2y D．x2＝－2y
2.若拋物線y2＝2x上有兩點A、B且AB垂直于x軸，若|AB|＝2，則拋物線的焦點到直線AB的距離為(　　)
A．　　　　 B． C． D．
3.設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A是拋物線上一點，若·＝－4，則點A的坐標(biāo)是(　　)
A．(2，±2) B．(1，±2) C．(1,2) D．(2,2)
4.過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|AB|＝________.
5.若直線l：y＝(a＋1)x－1與曲線C：y2＝ax恰好有一個公共點，試求實數(shù)a的取值集合．




6.已知拋物線x＝－y2與過點(－1,0)且斜率為k的直線相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)△AOB的面積等于時，求k的值．



7.已知y＝x＋m與拋物線y2＝8x交于A，B兩點．
(1)若|AB|＝10，求實數(shù)m的值；
(2)若OA⊥OB，求實數(shù)m的值．

【參考答案】
【自主學(xué)習(xí)】
一.x＝－ x＝ y＝－ y＝ x軸 y軸 (0,0) 1 x1＋x2＋p
二．相離 相切 相交 平行或重合 一個 相交 兩個 相切 一個 相離 沒有
三．－p2 x1＋x2＋p
【小試牛刀】
1.× √ √ √ ×
2 .C 解析：可設(shè)拋物線方程為x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，依題意知＝3，
∴p＝6.∴拋物線方程為x2＝±12y.
【經(jīng)典例題】
例1 解：聯(lián)立消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
當(dāng)k＝0時，(*)式只有一個解x＝，∴y＝1，∴直線l與C只有一個公共點，此時直線l平行于x軸．
當(dāng)k≠0時，(*)式是一個一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①當(dāng)Δ>0，即k0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)之間的關(guān)系得y1＋y2＝－，y1·y2＝－1.
設(shè)直線與x軸交于點N，顯然N點的坐標(biāo)為(－1,0)．
∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON||y1－y2|，
∴S△AOB＝×1×＝×＝，
解得k＝±.
7.解： 由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m

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3.3 拋物線

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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