《3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）》  教學(xué)設(shè)計(jì)  一．教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》人教A版（2019）第三章《函數(shù)的概念與性質(zhì)》的第四節(jié)《函數(shù)的應(yīng)用（一）》。以下是本章的課時(shí)安排： 第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)課時(shí)內(nèi)容函數(shù)的概念及其表示函數(shù)的基本性質(zhì)冪函數(shù)函數(shù)的應(yīng)用（一）所在位置教材第60頁教材第76頁教材第89頁教材第93頁  新教材內(nèi)容分析以初中已學(xué)的函數(shù)知識(shí)和二次函數(shù)為基礎(chǔ)，通過四個(gè)實(shí)例的歸納、概括，抽象出函數(shù)的“集合--對(duì)應(yīng)說”，并用抽象符號(hào)表示函數(shù)；通過典型例題訓(xùn)練學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，并通過例題引入分段函數(shù)并進(jìn)行簡單應(yīng)用.教材用代數(shù)運(yùn)算和函數(shù)圖象研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最大（小）值，體現(xiàn)了研究數(shù)學(xué)性質(zhì)的一般思路；在研究方法上，加強(qiáng)了通過代數(shù)運(yùn)算和圖象直觀解釋函數(shù)性質(zhì)的引導(dǎo)和明示，為提升學(xué)生的抽象思維水平奠定基礎(chǔ).在初中已學(xué)習(xí)的正比例、反比例、二次函數(shù)等基礎(chǔ)上，通過實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生歸納共性、抽象出概念；借助冪函數(shù)這一類函數(shù)的研究，使學(xué)生理解研究函數(shù)的內(nèi)容、基本思路和方法，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度理解函數(shù)的概念.利用函數(shù)的概念及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法解決簡單的實(shí)際問題，包括研究已知解析式或圖象的函數(shù)的性質(zhì)，以及簡單的建模問題，使學(xué)生螺旋上升地認(rèn)識(shí)已有函數(shù)，同時(shí)鞏固函數(shù)概念. 核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過觀察實(shí)例，理解函數(shù)的概念，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；通過作出函數(shù)的圖象以及圖象的應(yīng)用，提升直觀想象的核心素養(yǎng).通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生歸納概括出用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言精確刻畫單調(diào)性的方法，為提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象奠定了基礎(chǔ). 通過冪函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)抽象；通過冪函數(shù)圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，提升直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).通過實(shí)例，了解函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；根據(jù)實(shí)際問題構(gòu)造函數(shù)模型解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).教學(xué)主線函數(shù)模型  二，學(xué)情分析    通過前面函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生在知識(shí)上已經(jīng)具備了一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)，初步具備運(yùn)用函數(shù)思想解決問題的能力，但是解題意識(shí)和思維的深刻性有待進(jìn)一步加強(qiáng)，在探究問題的能力以及合作交流方面的發(fā)展不均衡，需要教師創(chuàng)設(shè)和諧平等的課堂氣氛，加以調(diào)動(dòng)。三．學(xué)習(xí)目標(biāo)1、能夠找出簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式，初步體會(huì)應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)模型解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 2、運(yùn)用一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)模型解決實(shí)際應(yīng)用中的問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。四．教學(xué)重點(diǎn)重點(diǎn)：運(yùn)用一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)模型的處理實(shí)際問題；難點(diǎn)：運(yùn)用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實(shí)生活和社會(huì)中的簡單問題． 五．教學(xué)過程 （一）新知導(dǎo)入1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)降價(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場平均每天多售出2件．于是商場經(jīng)理決定每件襯衫降價(jià)15元．那么經(jīng)理的決定正確嗎？2.探索交流，解決問題【探究1】解答函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題時(shí),一般要分哪四步進(jìn)行? 【提示】第一步:分析、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、抽象; 第二步:建立函數(shù)模型,把實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題; 第三步:解答數(shù)學(xué)問題,求得結(jié)果; 第四步:把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問題的結(jié)論,做出解答. 而這四步中,最為關(guān)鍵的是把第二步處理好.只要把函數(shù)模型建立妥當(dāng),所有的問題即可在此基礎(chǔ)上迎刃而解.  【設(shè)計(jì)意圖】通過探究，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問題，提高學(xué)生思考并解決問題的能力。（二） 函數(shù)的應(yīng)用1.一次函數(shù)模型的應(yīng)用例1.為了發(fā)展電信事業(yè)，方便用戶，電信公司對(duì)移動(dòng)電話采用不同的收費(fèi)方式，其中所使用的“如意卡”與“便民卡”在某市范圍內(nèi)每月(30天)的通話時(shí)間x(分)與通話費(fèi)用y(元)的關(guān)系如圖所示．(1)分別求出通話費(fèi)用y1，y2與通話時(shí)間x之間的函數(shù)解析式；(2)請(qǐng)幫助用戶計(jì)算在一個(gè)月內(nèi)使用哪種卡便宜．[解析]　(1)由圖象可設(shè)y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把點(diǎn)B(30,35)，C(30,15)分別代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝，k2＝.∴y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0)．(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，則x＝96.當(dāng)x＝96時(shí)，y1＝y2，兩種卡收費(fèi)一致；當(dāng)x＜96時(shí)，y1＞y2，使用便民卡便宜；當(dāng)x＞96時(shí)，y1＜y2，使用如意卡便宜.【類題通法】1.一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題的原則一次函數(shù)模型的應(yīng)用層次要求不高，一般情況下按照“問什么，設(shè)什么，列什么”的原則來處理，求解過程也比較簡單.2.一次函數(shù)模型解決問題的注意點(diǎn)用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題時(shí)，對(duì)于給出圖象的應(yīng)用題可先結(jié)合圖象利用待定系數(shù)法求出解析式．對(duì)于一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)，當(dāng)a＞0時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)a＜0時(shí)為減函數(shù)．另外，要結(jié)合題目理解(0，b)或這些特殊點(diǎn)的意義.【鞏固練習(xí)1】某公司市場營銷人員的個(gè)人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量的收入是(　　)A．310元   B．300元C．290元   D．280元解析　設(shè)y＝kx＋b(k≠0)，代入(1,800)和(2,1 300)，則得所以y＝500x＋300，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝300.答案　B2.二次函數(shù)模型的應(yīng)用例2.某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝－48x＋8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸．若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？[解析]　設(shè)可獲得總利潤為R(x)萬元，則R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000＝－＋88x－8 000＝－(x－220)2＋1 680,0≤x≤210.∵R(x)在[0,210]上是增函數(shù)，∴當(dāng)x＝210時(shí)，R(x)max＝－(210－220)2＋1 680＝1 660(萬元)．∴年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤1 660萬元． 【類題通法】二次函數(shù)模型的應(yīng)用 構(gòu)建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問題時(shí),可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值,也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與函數(shù)定義域的對(duì)應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解,但一定要注意自變量的取值范圍. 【鞏固練習(xí)2】某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價(jià)是5元，銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如表所示.銷售單價(jià)/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240 請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個(gè)經(jīng)營部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤？[解析]　由表中數(shù)據(jù)可知，銷售單價(jià)每增加1元，日均銷售量就減少40桶，設(shè)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上增加x元后，日均銷售利潤為y元，在此情況下的日均銷售量為480－40(x－1)＝(520－40x)(桶)．令520－40x>0，則0<x<13.y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200＝－40(x－6.5)2＋1 490,0<x<13.易知，當(dāng)x＝6.5時(shí)，y有最大值．所以只需將銷售單價(jià)定為11.5元，就可獲得最大利潤．3.分段函數(shù)模型的應(yīng)用例3.某公司生產(chǎn)某種電子儀器的固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：R(x)＝(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益＝總成本＋利潤)[解析]　(1)設(shè)月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為(20 000＋100x)元，從而f(x)＝(2)當(dāng)0≤x≤400時(shí)，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，∴當(dāng)x＝300時(shí)，有最大值25 000；當(dāng)x>400時(shí)，f(x)＝60 000－100x是減函數(shù)，f(x)<60 000－100×400<25 000.∴當(dāng)x＝300時(shí)，f(x)的最大值為25 000.即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)，利潤最大，最大利潤為25 000元．【類題通法】1.分段函數(shù)的“段”一定要分得合理,不重不漏. 2.分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集. 3.分段函數(shù)的值域求法:逐段求函數(shù)值的范圍,最后比較再下結(jié)論. 【鞏固練習(xí)3】某廠生產(chǎn)某種零件，每個(gè)零件的成本為40元，出廠單價(jià)定為60元，該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100個(gè)時(shí)，每多訂購一個(gè)，訂購的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元，但實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元．(1)當(dāng)一次訂購量為多少個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為51元？(2)設(shè)一次訂購量為x個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為P元，寫出函數(shù)P＝f(x)的表達(dá)式；(3)當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1 000個(gè)時(shí)，利潤又是多少元？(工廠售出一個(gè)零件的利潤＝實(shí)際出廠單價(jià)－成本)[解析]　(1)設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰好降為51元時(shí)，一次訂購量為x0個(gè)，則x0＝100＋＝550.因此，當(dāng)一次訂購量為550個(gè)時(shí)，每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)格恰好降為51元．(2)當(dāng)0＜x≤100時(shí)，P＝60.當(dāng)100＜x<550時(shí)，P＝60－0.02(x－100)＝62－.當(dāng)x≥550時(shí)，P＝51，∴P＝f(x)＝(3)設(shè)銷售商的一次訂購量為x個(gè)時(shí)，工廠獲得的利潤為L元，則L＝(P－40)x＝當(dāng)x＝500時(shí)，L＝6 000；當(dāng)x＝1 000時(shí)，L＝11 000.因此，當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤是6 000元；如果訂購1 000個(gè)時(shí)，利潤是11 000元．【設(shè)計(jì)意圖】通過例題學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步體會(huì)一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用，能運(yùn)用函數(shù)思想處理現(xiàn)實(shí)生活中的簡單應(yīng)用問題．（三）操作演練  素養(yǎng)提升1.某廠日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x(副)的關(guān)系式為y＝5x＋4 000，而手套出廠價(jià)格為每副10元，則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少為(　　)A．200副　　　　　 B．400副C．600副  D．800副2.擬定從甲地到乙地通話m分鐘的電話費(fèi)f(m)＝1.06(0.50×[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整數(shù)(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.1]＝6)．則從甲到乙地通話時(shí)間為5.5分鐘的通話費(fèi)為(　　)A．3.71  B．3.97C．4.24  D．4.773．用長度為24 m的材料圍成一個(gè)矩形家禽養(yǎng)殖場，中間加兩道隔墻，要使矩形面積最大，隔墻長度應(yīng)為(　　)A．3 m  B．4 mC．5 m  D．6 m4.隨著海拔高度的升高，大氣壓強(qiáng)下降，空氣中的含氧量也隨之下降，且含氧量y(g/m3)與大氣壓強(qiáng)x(kPa)成正比例函數(shù)關(guān)系．當(dāng)x＝36 kPa時(shí)，y＝108 g/m3，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為(　　)A．y＝3x(x≥0)   B．y＝3xC．y＝x(x≥0)   D．y＝x答案：1.D   2.C   3.A    4.A 【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。（四）課堂小結(jié)，反思感悟 1.知識(shí)總結(jié)： 2.學(xué)生反思：（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？                                                                                                                                                          （2）在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？                                                                                                                                                                                 【設(shè)計(jì)意圖】通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固函數(shù)的應(yīng)用，樹立用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的意識(shí)。 六．布置作業(yè) 完成教材：第95頁  練習(xí)     第1，2,3題          第95 頁   習(xí)題3.4  第1,2,3,4,5題 
  

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3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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