本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》人教A版（2019）第五章《三角函數(shù)》的第一節(jié)《任意角和弧度制》。以下是本節(jié)的課時(shí)安排：
二、學(xué)情分析
學(xué)生過(guò)去接觸的角都在0°~360°，關(guān)于角的認(rèn)識(shí)形成一定的思維定勢(shì)，這就需要通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，如時(shí)針與分針、體操等都能形成角的流念,給學(xué)生以直觀的印象,形成正角、負(fù)角、零角的概念,明確規(guī)定角的概念，通過(guò)具體問(wèn)題讓學(xué)生從不同角度理解終邊相同的角,從特殊到一般歸納出終邊相同的角的表示方法。
三、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解任意角的概念，區(qū)分正角、負(fù)角與零角，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；
2.理解并掌握終邊相同的角的概念，能寫(xiě)出終邊相同的角所組成的集合，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
3.了解象限角的概念，強(qiáng)化數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。
四、教學(xué)重點(diǎn)
1.重點(diǎn)：任意角的概念，象限角的表示；
2.難點(diǎn)：終邊相同角的表示，區(qū)間角的集合書(shū)寫(xiě)。
五、教學(xué)過(guò)程
（一）新知導(dǎo)入
1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問(wèn)題
在花樣滑冰比賽中，運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)作是那么優(yōu)美！尤其是原地轉(zhuǎn)身和空中翻轉(zhuǎn)動(dòng)作都讓我們嘆為觀止．運(yùn)動(dòng)員在原地轉(zhuǎn)身的動(dòng)作中，僅僅幾秒內(nèi)就能旋轉(zhuǎn)十幾圈，甚至二十幾圈，因此，花樣滑冰美麗而危險(xiǎn)．你能算出他們?cè)谝淮卧剞D(zhuǎn)身三圈的動(dòng)作中轉(zhuǎn)過(guò)的角度嗎？
探索交流，解決問(wèn)題
【思考1】 初中學(xué)過(guò)角的概念是什么？范圍是多大?
【提示】有公共端點(diǎn)的兩射線(xiàn)組成的幾何圖形叫角.角的范圍：0°～360°。
【思考2】（1）體操中有轉(zhuǎn)體兩周或轉(zhuǎn)體兩周半，如何度量這些角度呢？
（2）經(jīng)過(guò)1小時(shí)，秒針、分針各轉(zhuǎn)了多少度？
（3）在齒輪傳動(dòng)中，被動(dòng)輪與主動(dòng)輪是按相反方向旋轉(zhuǎn)的.一般地，一條射線(xiàn)繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，既可以按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，也可以按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).你認(rèn)為將一條射線(xiàn)繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°所形成的角，與按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°所形成的角是否相等？
【提示】上述問(wèn)題中，角的度數(shù)已經(jīng)不再局限在360度內(nèi)，所以角的概念需進(jìn)行推廣。
【設(shè)計(jì)意圖】
通過(guò)復(fù)習(xí)初中角的概念，引入本節(jié)新課,建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類(lèi)比推理的能力。
（二）任意角的概念
1.角的概念：
規(guī)定：一條射線(xiàn)繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角；
按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；
如果一條射線(xiàn)沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱(chēng)它形成了一個(gè)零角.
這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角.
【做一做】畫(huà)出下列各角：α=210°，β=?150°，γ=?660°.
【提示】
2.相等角與相反角
①把角的概念推廣到了任意角(any angle)，包括正角、負(fù)角和零角．設(shè)角α由射線(xiàn)OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成，角β由射線(xiàn)O′A′繞端點(diǎn)O′旋轉(zhuǎn)而成．如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱(chēng)α＝β.
②設(shè)α，β是任意兩個(gè)角．我們規(guī)定，把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是α＋β.
③把射錢(qián)OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)概念學(xué)習(xí) ，讓學(xué)生進(jìn)一步理解任意角的概念，提高學(xué)生分析問(wèn)題、概括能力。
（三）象限角
【探究1】為了進(jìn)一步研究角的需要，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，并使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么對(duì)一個(gè)任意角，角的終邊可能落在哪些位置？
【提示】 任意角的終邊落在四個(gè)象限都有可能，如圖。
象限角的概念：
使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限。
【做一做】 下列各角：-50°，405°，210°, -200°，-450°分別是第幾象限的角？
【提示】
第四象限角 第一象限角 第三象限角
第二象限角 軸線(xiàn)角
【探究2】第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？
【提示】象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小.
【探究3】四個(gè)象限角如何用集合的形式表示？
【提示】
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)探究學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握象限角的判斷方法，強(qiáng)化數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。
（四）終邊相同的角
【探究4】 -32°，328°，-392°是第幾象限的角？ 這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？
【提示】都是第四象限角，這些角的終邊相同，相差3600的整數(shù)倍。
【探究5】所有與-32°角終邊相同的角，連同-32°角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S，你能用描述法表示集合S嗎？
【提示】
【探究6】一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)所構(gòu)成的集合S可以怎樣表示？
【提示】S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}
終邊相同的角的概念：
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．
【探究7】終邊在x軸正半軸、負(fù)半軸，y軸正半軸、負(fù)半軸上的角分別如何表示？
【提示】x軸正半軸：α= k·360°，k∈Z ；
x軸負(fù)半軸：α= 180°＋k·360°，k∈Z ；
y軸正半軸：α= 90°＋k·360°，k∈Z ；
y軸負(fù)半軸：α= 270°＋k·360°，k∈Z 。
【拓展】終邊在x軸的角表示為：α=k?180°,k∈Z
終邊在y軸的角表示為：α=90°+k?180°，k∈Z
【辯一辯】1．第二象限角是鈍角．( × )
2．終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．( √ )
3．終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍．( √ )
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。
（五）典型例題
1.任意角的概念
【例1】 (1)下列說(shuō)法正確的有________．(填序號(hào))
①零角的始邊和終邊重合．
②始邊和終邊重合的角是零角．
③如圖，若射線(xiàn)OA為角的始邊，OB為角的終邊，則∠AOB＝45°；若射線(xiàn)OB為角的始邊，OA為角的終邊，則∠BOA＝－45°.
④絕對(duì)值最小的角是零角．
(2)經(jīng)過(guò)5小時(shí)25分鐘，時(shí)鐘的分針和時(shí)針各轉(zhuǎn)多少度？
[解析] (1)根據(jù)角的概念知①③④正確，②不正確，因?yàn)?60°角的始邊和終邊也重合．
(2)時(shí)針走一周用12小時(shí)，即12小時(shí)轉(zhuǎn)－360°，那么時(shí)針每小時(shí)應(yīng)轉(zhuǎn)－30°，而5小時(shí)25分鐘為5eq \f(5,12)小時(shí)，而分針每小時(shí)轉(zhuǎn)－360°，所以，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為－(5＋eq \f(5,12))×30°＝－162.5°；分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(5,12)))×360°＝－1 950°.
【類(lèi)題通法】求解任意角問(wèn)題的步驟
(1)定方向：明確該角是由順時(shí)針?lè)较蜻€是逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的，由逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角為正角，否則為負(fù)角．
(2)定大?。焊鶕?jù)旋轉(zhuǎn)角度的絕對(duì)量確定角的大?。?br>【鞏固練習(xí)1】寫(xiě)出下列說(shuō)法所表示的角：
(1)順時(shí)針擰螺絲2圈；
(2)將時(shí)鐘撥慢2小時(shí)30分鐘，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角；
(3)向右轉(zhuǎn)體3周．
解析：(1)順時(shí)針擰螺絲2圈，螺絲順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了2周，因此表示的角為－720°.
(2)撥慢時(shí)鐘需將分針按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，因此將時(shí)鐘撥慢2小時(shí)30分鐘，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角為900°.
(3)向右轉(zhuǎn)體即按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，因此向右轉(zhuǎn)體3周，表示的角為－1 080°.
2.象限角與終邊相同的角
【例2】 (1)與－2 010°終邊相同的最小正角是________．
(2)下列各角分別是第幾象限角？請(qǐng)寫(xiě)出與下列各角終邊相同的角β的集合S，并求出S中適合不等式－360°≤β

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

5.1 任意角和弧度制

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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