《1.5.1全稱量詞與存在量詞》教學(xué)設(shè)計(jì)一．教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》人教A版（2019）第一章《集合與常用邏輯用語》的第s五節(jié)《全稱量詞與存在量詞》。以下是“常用邏輯用語”單元的課時(shí)安排： 第四節(jié)第五節(jié)課時(shí)內(nèi)容 充分條件與必要條件  （共2課時(shí)）全稱量詞與存在量詞（共2課時(shí)）所在位置教材第17頁教材第26頁  新教材內(nèi)容分析通過列舉學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)命題，加深學(xué)生對(duì)命題的條件與結(jié)論的認(rèn)識(shí)，教材主要以“若p則q”形式的命題為載體，通過考察命題中的條件p與結(jié)論q之間的關(guān)系，學(xué)習(xí)充分條件、必要條件、充要條件這三個(gè)邏輯用語。全稱量詞和存在量詞是數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的量詞，教材通過豐富的數(shù)學(xué)實(shí)例，介紹了這兩類量詞的意義，探究了全稱量詞命題和存在量詞命題的否定，并鼓勵(lì)學(xué)生使用新的數(shù)學(xué)符號(hào)，使學(xué)生習(xí)慣于運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)一些數(shù)學(xué)內(nèi)容。 核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過觀察實(shí)例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；會(huì)辨析充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分又不必要條件，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過數(shù)學(xué)實(shí)例，使學(xué)生理解全稱量詞、存在量詞的意義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；會(huì)判定命題的真假，會(huì)寫出命題的否定，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng)。教學(xué)主線命題的真假判斷 二，學(xué)情分析     本章內(nèi)容屬于“預(yù)備知識(shí)”。學(xué)生在初中階段已經(jīng)接觸過命題，會(huì)判斷命題的真假，上一節(jié)學(xué)習(xí)了充要條件的判斷，對(duì)于邏輯用語有了一定的了解，所以學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容還是比較感興趣的，但是對(duì)于全稱量詞、存在量詞是陌生的，因此會(huì)有較強(qiáng)的好奇心，教師可以抓住這一點(diǎn)，通過實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)量詞的含義。 三．學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的含義,熟悉常見的全稱量詞和存在量詞，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)；2.了解含有量詞的全稱量詞命題和存在量詞命題的含義,并能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示含有量詞的命題，提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)； 會(huì)判斷全稱量詞命題、存在量詞命題的真假，強(qiáng)化邏輯推理核心素養(yǎng)。四．教學(xué)重點(diǎn)重點(diǎn)：全稱量詞與存在量詞的含義；難點(diǎn)：判定全稱量詞命題和存在量詞命題的真假五．教學(xué)過程（一）新知導(dǎo)入1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題在某個(gè)城市中有一位理發(fā)師,他的廣告詞是這樣寫的:“本人的理發(fā)技藝十分高超,譽(yù)滿全城.我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉,我也只給這些人刮臉.我對(duì)各位表示熱誠歡迎!”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕,自然都是那些不給自己刮臉的人.可是,有一天,這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了,他本能地抓起了剃刀,你們說他能不能給他自己刮臉呢? 如果他不給自己刮臉,他就屬于“不給自己刮臉的人”他就要給自己刮臉,而如果他給自己刮臉呢? 他又屬于“給自己刮臉的人”,他就不該給自己刮臉.這就是著名的“羅素理發(fā)師悖論”問題. 探索交流，解決問題【問題1】（1） 文中理發(fā)師說:“我將給所有的不給自己刮臉的人刮臉”.對(duì)“所有的”這一詞語,你還能用其他詞語代替嗎?（2）上述詞語都有什么含義?[提示]   （1）“任意一個(gè)”“一切”“每一個(gè)”“任給”“所有的”“凡是”等.（2）    表示某個(gè)范圍內(nèi)的整體或全部【設(shè)計(jì)意圖】通過問題的探究，引導(dǎo)學(xué)生思考“量詞”在生活中的應(yīng)用，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題的能力。 （二）全稱量詞與存在量詞【思考1】 下列語句是命題嗎？比較（1）和（3），（2）和（4），它們之間有什么關(guān)系？（1）    x＞３；                 （2） 2x＋１是整數(shù)；（3） 對(duì)所有的；  （4） 對(duì)任意一個(gè)是整數(shù).【提示】（1）（2）不是命題，（3）（4）是命題。         其中：（3）是在（1）的基礎(chǔ)上，用短語“所有”對(duì)變量x進(jìn)行限定，從而變?yōu)榭梢耘袛嗾婕俚拿}；（4）是在（2）的基礎(chǔ)上，用短語“任意一個(gè)”對(duì)變量x進(jìn)行限定，從而變?yōu)榭膳袛嗾婕俚拿}。   全稱量詞與全稱量詞命題(1)短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號(hào)“?”表示.(2)含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題.(3)全稱量詞命題的表述形式:  對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立,可簡記為:?x∈M,p(x),讀作“對(duì)任意x屬于M,有p(x)成立”【思考2】（1）常用的全稱量詞還有哪些？（2）全稱量詞命題中是否一定含有全稱量詞？（3）全稱量詞命題具有什么特點(diǎn)？  【提示】 （1）常用的全稱量詞還有“所有”“每一個(gè)”“任何”“任意”“一切”“任給”“全部”.（2）不一定，命題具有全稱量詞所表達(dá)的含義,就是全稱量詞命題。（3）全稱量詞命題是陳述某集合的所有元素都具有某種性質(zhì)的命題。 【辯一辯】  判斷正誤(1)命題“任意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù)”是全稱量詞命題．(　　)(2)命題“三角形的內(nèi)角和是180°”是全稱量詞命題．(　　)(3)命題“梯形有兩邊平行”不是全稱量詞命題．(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)×【做一做】用量詞符號(hào)“?”表述下列命題．(1)對(duì)任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；(2)對(duì)所有實(shí)數(shù)a，b，方程ax＋b＝0恰有一個(gè)解；【提示】(1)?x∈{x|x>－1},3x＋4>0.(2)?a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解． 【設(shè)計(jì)意圖】通過問題探究，使學(xué)生深入全稱量詞與全稱量詞命題的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。 【思考3】下列語句是命題嗎？ 比較（1）和（3），（2）和（4），它們之間有什么關(guān)系？（1）2x＋１=３；                (2)x能被2和3整除；(3)存在一個(gè)；  (4)至少有一個(gè)能被2和3整除.【提示】（1）（2）不是命題，（3）（4）是命題。（3）是在（1）的基礎(chǔ)上，用短語“存在一個(gè)”對(duì)變量x進(jìn)行限定，從而變?yōu)榭膳袛嗾婕俚拿}；（4）是在（2）的基礎(chǔ)上，用短語“至少有一個(gè)”對(duì)變量x進(jìn)行限定，從而變?yōu)榭梢耘袛嗾婕俚拿}。    存在量詞與存在量詞命題(1)短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號(hào)“?”表示.(2)含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.(3)存在量詞命題的表述形式:存在M中的元素x,使p()成立,可簡記為:?∈M,p(),讀作“存在M中的元素,使p()成立” 【思考4】（1）常用的存在量詞還有哪些？（2）存在量詞命題中是否一定含有存在量詞？（3）存在量詞命題具有什么特點(diǎn)？ 【提示】（1）常用的存在量詞還有“有些”、“有一個(gè)”、“存在”、“某個(gè)”、“有的”等.（2）存在量詞命題的存在量詞一般不能省略；（3）存在量詞命題是陳述某集合中有（存在）一些元素具有某種性質(zhì)的命題。【辯一辯】判斷正誤(1)命題“有些菱形是正方形”是全稱命題．(　　)(2)命題“存在一個(gè)菱形，它的四條邊不相等”是存在量詞命題．(　　)(3)命題“有的實(shí)數(shù)絕對(duì)值是正數(shù)”是存在量詞命題．(　　)[答案]    (1)×   　(2)√　    (3)√【做一做】用量詞符號(hào)“?”表述下列命題．(1)有些整數(shù)既能被2整除，又能被3整除；(2)某個(gè)四邊形不是平行四邊形．【提示】(1)?x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．(2)?x∈{y|y是四邊形}，x不是平行四邊形．  例1.    判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題．①凸多邊形的外角和等于360°；②矩形的對(duì)角線不相等；③若一個(gè)四邊形是菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直．④有些實(shí)數(shù)a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；⑤方程3x－2y＝10有整數(shù)解．【思維引導(dǎo)】  尋找命題中的量詞，判斷是全稱量詞還是存在量詞。[解析]  ①可以改為所有的凸多邊形的外角和等于360°，故為全稱量詞命題．②可以改為所有矩形的對(duì)角線不相等，故為全稱量詞命題．③若一個(gè)四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱量詞命題．④含存在量詞“有些”，故為存在量詞命題．⑤可改寫為：存在一對(duì)整數(shù)x，y，使3x－2y＝10成立．故為存在量詞命題． 【類題通法】 判定一個(gè)語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題的步驟(1)  首先判斷語句是否為命題，若不是命題，就當(dāng)然不是全稱量詞命題或存在量詞命題．(2)  若是命題，再分析命題中所含的量詞，含有全稱量詞的命題是全稱量詞命題，含有存在量詞的    命題是存在量詞命題．(3)  當(dāng)命題中不含量詞時(shí)，要注意理解命題含義的實(shí)質(zhì)，只有全稱量詞才可省略. 【鞏固練習(xí)1】  判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題：(1)負(fù)數(shù)沒有倒數(shù)；(2)至少有一個(gè)整數(shù)，它既能被2整除；又能被5整除；(3)?x∈{x|x是無理數(shù)}，x2是無理數(shù)；(4)x＞7.[答案]  (1)(3)(4)為全稱量詞命題(2)為存在量詞命題【設(shè)計(jì)意圖】通過例題及練習(xí)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解全稱量詞與存在量詞的含義，全稱量詞命題與存在量詞命題的概念，強(qiáng)化數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。 （三）全稱量詞命題與存在量詞命題的真假1. 判斷全稱量詞命題與存在量詞命題的真假例2. 判斷下列命題的真假．(1)?x∈Z，x3<1；(2)存在一個(gè)四邊形不是平行四邊形；(3)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)P；(4)?x∈N，x2>0.【思維引導(dǎo)】根據(jù)量詞的含義判斷命題的真假。[解析] (1)因?yàn)椋?∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“?x∈Z，x3<1”是真命題．(2)真命題，如梯形．(3)由有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系知，它是真命題．(4)因?yàn)?∈N,02＝0，所以命題“?x∈N，x2>0”是假命題．【類題通法】全稱量詞命題和存在量詞命題真假的判斷(1)    要判斷一個(gè)全稱量詞命題為真，必須對(duì)于給定集合的每一個(gè)元素x，命題p(x)為真；要判斷一個(gè)全稱量詞命題為假時(shí)，只要在給定的集合中找到一個(gè)元素x，使命題p(x)為假．(2)    要判斷一個(gè)存在量詞命題為真，只要在給定的集合中找到一個(gè)元素x，使命題p(x)為真；要判斷一個(gè)存在量詞命題為假，必須對(duì)于給定集合的每一個(gè)元素x，命題p(x)為假．  【鞏固練習(xí)2】有下列四個(gè)命題：①?x∈R，＋1>0；②?x∈{1，－1,0},2x＋1＞0；③?x∈N，x2≤x；④?x∈N*，x為29的約數(shù)．其中真命題的個(gè)數(shù)為(　　)A．1   B．2C．3   D．4[解析]　對(duì)于①，這是全稱量詞命題，因?yàn)?/span>≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，所以＋1>0，故①為真命題；對(duì)于②，這是全稱量詞命題，因?yàn)楫?dāng)x＝－1時(shí)，2x＋1＞0不成立，故②為假命題；對(duì)于③，這是存在量詞命題，當(dāng)x＝0或x＝1時(shí)，有x2≤x成立，故③為真命題；對(duì)于④，這是存在量詞命題，當(dāng)x＝1時(shí)，x為29的約數(shù)成立，所以④為真命題．[答案]  C2.由全稱量詞命題與存在量詞命題的真假求參數(shù)例3. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.(1)若命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，求m的取值范圍；(2)命題q：“?x∈A，x∈B”是真命題，求m的取值范圍． 【思維引導(dǎo)】利用命題的真假，把問題轉(zhuǎn)化為集合的關(guān)系求解。  [解析]　(1) 由于命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，所以B?A，B≠?，所以解得2≤m≤3.(2) q為真，則A∩B≠?，因?yàn)?/span>B≠?，所以m≥2.所以解得2≤m≤4.【類題通法】求參數(shù)范圍的2類題型(1)全稱量詞命題的常見題型是“恒成立”問題，全稱量詞命題為真時(shí)，意味著命題對(duì)應(yīng)的集合中的每一個(gè)元素都具有某種性質(zhì)，所以利用代入可以體現(xiàn)集合中相應(yīng)元素的具體性質(zhì)；也可以根據(jù)函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)來解決．(2)存在量詞命題的常見題型是以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述．解答這類問題，一般要先對(duì)結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后從肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理證明，若推出合理的結(jié)論，則存在性隨之解決；若導(dǎo)致矛盾，則否定了假設(shè)． 【鞏固練習(xí)3】若命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)x,2x>m(x2＋1)”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析]　由題意知，不等式2x>m(x2＋1)恒成立，即不等式mx2－2x＋m<0恒成立．(1)當(dāng)m＝0時(shí)，不等式可化為－2x<0，顯然不恒成立，不合題意．(2)當(dāng)m≠0時(shí)，要使不等式mx2－2x＋m<0恒成立，則解得m<－1.綜上可知，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是m<－1. 【設(shè)計(jì)意圖】 通過全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的能力。 （四）操作演練  素養(yǎng)提升1.下列命題是“?x∈R，x2>3”的另一種表述方式的是(　　)A．有一個(gè)x∈R，使得x2>3B．對(duì)有些x∈R，使得x2>3C．任意一個(gè)x∈R，使得x2>3D．至少有一個(gè)x∈R，使得x2>3 2.以下四個(gè)命題既是存在量詞命題又是真命題的是(　　)A．銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2≤0C．兩個(gè)無理數(shù)的和必是無理數(shù)D．存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使>2 3.存在量詞命題“存在實(shí)數(shù)x，使x2＋1<0”可寫成(　　)A．若x∈R，則x2＋1>0   B．?x∈R，x2＋1<0C．?x∈R，x2＋1<0   D．以上都不正確 4.下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是(　　)A．?x∈R,2x＋1>0B．若2x為偶數(shù)，則?x∈NC．所有菱形的四條邊都相等D．π是無理數(shù) [答案]     1.C       2.B        3.C        4.C【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。 （五）課堂小結(jié)，反思感悟 1.知識(shí)總結(jié)： 2.學(xué)生反思：（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？                                                                                                                                                                                               （2）在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？                                                                                                                                                                                  【設(shè)計(jì)意圖】通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固全稱量詞與存在量詞含義與全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。 六．布置作業(yè)完成教材：第28頁  練習(xí)     第1，2題   
  

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

1.5 全稱量詞與存在量詞

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