知識點 含量詞的命題的否定
思考1 用自然語言描述的全稱量詞命題的否定形式唯一嗎？
答案 不唯一，如“所有的菱形都是平行四邊形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四邊形”，也可以是“有些菱形不是平行四邊形”．
思考2 對省略量詞的命題怎樣否定？
答案 對于含有一個量詞的命題，容易知道它是全稱量詞命題或存在量詞命題．一般地，省略了量詞的命題是全稱量詞命題，可加上“所有的”或“對任意”，它的否定是存在量詞命題．反之，亦然．
1．命題“?x∈R，x2－1≥－1”的否定是全稱量詞命題．( × )
2．若命題綈p是存在量詞命題，則命題p是全稱量詞命題．( √ )
3．“?x∈M，p(x)”與“?x∈M，綈p(x)”的真假性相反．( √ )
4．“任意x∈R，x2≥0”的否定為“?x∈R，x2m恒成立，
所以只要mm有解，
所以只要m小于函數(shù)的最大值即可，
所以所求m 的取值范圍是{m|mm恒成立，
所以只要m1
B．不存在實數(shù)x，使x≤1
C．對任意實數(shù)x，都有x≤1
D．存在實數(shù)x，使x≤1
答案 C
解析 利用存在量詞命題的否定是全稱量詞命題求解．“存在實數(shù)x，使x>1”的否定是“對任意實數(shù)x，都有x≤1”．
4．(多選)關(guān)于命題p：“?x∈R，x2＋1≠0”的敘述，正確的是( )
A．綈p：?x∈R，x2＋1＝0
B．綈p：?x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命題，綈p是假命題
D．p是假命題，綈p是真命題
答案 AC
解析 命題p：“?x∈R，x2＋1≠0”的否定是“?x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命題，綈p是假命題．
5．(多選)對下列命題的否定說法正確的是( )
A．p：能被2整除的數(shù)是偶數(shù)；p的否定：存在一個能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)
B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形為正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D．p：?n∈N,2n≤100；p的否定：?n∈N,2n>100
答案 ABD
解析 “有的三角形為正三角形”為存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題：“所有的三角形都不是正三角形”，故選項C錯誤．
6．命題“任意一個x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________________________．
答案 存在一個x∈R，使得x2－2x＋4>0
解析 原命題為全稱量詞命題，其否定為存在量詞命題，既要否定量詞又要否定結(jié)論，所以其否定為存在一個x∈R，使得x2－2x＋4>0.
7．命題“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________．
答案 任意x∈R，使得x2＋2x＋5≠0
解析 存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，將“存在”改為“任意”，“＝”改為“≠”．
8．已知命題p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命題綈p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 {a|a≤1}
解析 ∵命題綈p是假命題，
∴p是真命題，
即存在x∈R，x2＋2x＋a＝0為真命題，
∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1.
9．寫出下列命題的否定．
(1)有些四邊形有外接圓；
(2)末位數(shù)字為9的整數(shù)能被3整除；
(3)?x∈R，x2＋10恒成立，
∴綈p為假命題．
(2)綈p：?x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0.
∵x2＋y2＋2x－4y＋5＝(x＋1)2＋(y－2)2，
當(dāng)x＝0，y＝0時，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0成立，∴綈p為真命題．
11．下列命題的否定是真命題的為( )
A．p1：每一個合數(shù)都是偶數(shù)
B．p2：兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯角相等
C．p3：全等三角形的周長相等
D．p4：所有的無理數(shù)都是實數(shù)
答案 A
解析 若判斷某命題的否定的真假，只要判斷出原命題的真假即可，它們的真假性始終相反．因為p1為全稱量詞命題，且是假命題，所以綈p1是真命題．命題p2，p3，p4均為真命題，即綈p2，綈p3，綈p4均為假命題．
12．(多選)下列命題的否定是假命題的是( )
A．等圓的面積相等，周長相等
B．?x∈N，x2≥1
C．任意兩個等邊三角形都是相似的
D．3是方程x2－9＝0的一個根
答案 ACD
解析 A的否定：存在一對等圓，其面積不相等或周長不相等，假命題；
B的否定：?x∈N，x20”是真命題，即判別式Δ＝1－4×4×eq \f(1,4)(a－2)eq \f(9,4).
14．已知命題：“?x∈{x|1≤x≤2}，使x2＋2x＋a≥0”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 a≥－8
解析 當(dāng)x∈{x|1≤x≤2}時，
因為x2＋2x＝(x＋1)2－1，
所以3≤x2＋2x≤8，
由題意有a＋8≥0，∴a≥－8.
15．命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式是( )
A．?x∈R，?n∈N*，使得n

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1.5 全稱量詞與存在量詞

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