專題01數(shù)與式的運算初中階段“從分數(shù)到分式”，通過觀察、分析、類比，找出分式的本質(zhì)特征，及它們與分數(shù)的相同點和不同點，進而歸納得出分式的概念及運算性質(zhì)，我們已經(jīng)運用的這些思想方法是高中繼續(xù)學(xué)習(xí)的法寶.二次根式是在學(xué)習(xí)了平方根、立方根等內(nèi)容的基礎(chǔ)上進行的，是對“實數(shù)”、“整式”等內(nèi)容的延伸和補充，對數(shù)與式的認識更加完善.二次根式的化簡對勾股定理的應(yīng)用是很好的補充；二次根式的概念、性質(zhì)、化簡與運算是高中學(xué)習(xí)解三角形、一元二次方程、數(shù)列和二次函數(shù)的基礎(chǔ).二次根式是初中階段學(xué)習(xí)數(shù)與式的最后一章，是式的變形的終結(jié)章.當(dāng)兩個二次根式的被開方數(shù)互為相反數(shù)時，可用“夾逼”的方法推出，兩個被開方數(shù)同時為零.本專題內(nèi)容蘊涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如類比的思想(指數(shù)冪運算律的推廣)、逼近的思想(有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪)，掌握運算性質(zhì)，能夠區(qū)別與的異同.通過與初中所學(xué)的知識進行類比，理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，進而學(xué)習(xí)指數(shù)冪的性質(zhì)，掌握分數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化，掌握分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì). 《初中課程要求》1、認識了實數(shù)及相關(guān)概念，如有理數(shù)、無理數(shù)；了解了實數(shù)具有順序性，知道字母表示數(shù)的基本代數(shù)思想2、初中會比較簡單實數(shù)的大小，初步接觸作差法3、理解了多項式與多項式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式，掌握了不超過三步的數(shù)的混合運算4、掌握了平方根、立方根運算；了解了有理式和無理式的概念；了解了整數(shù)指數(shù)冪的含義《高中課程要求》1、高中必修一中常用數(shù)集都用了符號表示，同時為數(shù)系的擴充打基礎(chǔ)，會運算字母代表數(shù)的式子2、掌握用作差法、作商法來比較實數(shù)大小，體會變形過程中的技巧3、在高中會常常用到立方和、立方差、三數(shù)和的平方的公式，兩數(shù)和、差的立方公式.高中有很多混合運算都超過三步4、必須掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性質(zhì)根式的大小比較，會把整數(shù)指數(shù)冪的運算及其性質(zhì)推廣到分數(shù)指數(shù)冪  高中必備知識點1：絕對值 絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零．即：絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離．兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離． 高中必備知識點2：乘法公式 我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：(1)平方差公式；(2)完全平方公式．我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式；(2)立方差公式；(3)三數(shù)和平方公式；(4)兩數(shù)和立方公式；(5)兩數(shù)差立方公式． 高中必備知識點3：二次根式 一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式．根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式.例如，等是無理式，而，，等是有理式．1．分母(子)有理化把分母(子)中的根號化去，叫做分母(子)有理化．為了進行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等．一般地，與，與，與互為有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類二次根式．2．二次根式的意義 高中必備知識點4：分式 1．分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當(dāng)M≠0時，分式具有下列性質(zhì)：；．上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)．2．繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 高中必備知識點1：絕對值 【典型例題】閱讀下列材料：我們知道的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離，即=，也就是說，表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對應(yīng)的點之間的距離；這個結(jié)論可以推廣為表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)對應(yīng)的點之間的距離；例1解方程||=2．因為在數(shù)軸上到原點的距離為2的點對應(yīng)的數(shù)為，所以方程||=2的解為．例2解不等式|－1|＞2．在數(shù)軸上找出|－1|=2的解(如圖)，因為在數(shù)軸上到1對應(yīng)的點的距離等于2的點對應(yīng)的數(shù)為－1或3，所以方程|－1|=2的解為=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集為＜－1或＞3．例3解方程|－1|+|+2|=5．由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到1和－2對應(yīng)的點的距離之和等于5的點對應(yīng)的的值．因為在數(shù)軸上1和－2對應(yīng)的點的距離為3(如圖)，滿足方程的對應(yīng)的點在1的右邊或－2的左邊．若對應(yīng)的點在1的右邊，可得=2；若對應(yīng)的點在－2的左邊，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．參考閱讀材料，解答下列問題：(1)方程|+2|=3的解為　     ；(2)解不等式：|－2|＜6；(3)解不等式：|－3|+|+4|≥9；(4)解方程: |-2|+|+2|+|-5|=15.【變式訓(xùn)練】實數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點的位置如圖所示：化簡 .【能力提升】已知方程組的解的值的符號相同.(1)求的取值范圍；(2)化簡：. 高中必備知識點2：乘法公式 【典型例題】(1)計算：(2)化簡：【變式訓(xùn)練】計算：(1)      (2)【能力提升】已知10x＝a，5x＝b，求：(1)50x的值；(2)2x的值；(3)20x的值．(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示) 高中必備知識點3：二次根式 【典型例題】計算下面各題．(1);(2)【變式訓(xùn)練】小穎計算時，想起分配律，于是她按分配律完成了下列計算：解：原式＝＝ ＝．她的解法正確嗎？若不正確，請給出正確的解答過程．【能力提升】先化簡，再求值：(-)÷，其中a=+，b=-． 高中必備知識點4：分式 【典型例題】先化簡，再求值，其中x滿足x2+x﹣1＝0．【變式訓(xùn)練】化簡：÷(4x－y)【能力提升】已知：，則的值等于多少？
1．下列運算正確的是(　　)A．＝ B．C．3x3﹣5x3＝﹣2 D．8x3÷4x＝2x32．下列計算結(jié)果正確的是(　　　)A． B．C．÷= D．3．若式子有意義，則下列說法正確的是(    )A．且 B． C． D．4．計算的結(jié)果是(    )A．3 B．0 C． D．5．若，，且的絕對值與相反數(shù)相等，則的值是(    )A． B． C．或 D．2或66．設(shè)有理數(shù)a、b、c滿足，且，則的最小值是(　　)A． B． C． D．7．如果，，是非零有理數(shù)，那么的所有可能的值為(    )．A．，，0，2，4 B．，，2，4C．0 D．，0，48．如圖是一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第n(n是整數(shù)，且n≥4)行從左向右數(shù)第(n-3)個數(shù)是(用含n的代數(shù)式表示)(    )．A． B． C． D．9．與最接近的整數(shù)是(    )A．3 B．4 C．5 D．610．設(shè)a為的小數(shù)部分，b為的小數(shù)部分，則的值為(     )A． B． C． D．11．若，則分式______﹒12．若分式的值為零，則的值為_______．13．已知整數(shù)a滿足，則分式的值為________．14．計算的結(jié)果等于_________．15．計算__．16．化簡： ___________17．化簡的結(jié)果為____．18．若有理數(shù)x，y，z滿足(|x+1|+|x﹣2|)(|y﹣1|+|y﹣3|)(|z﹣3|+|z+3|)＝36，則x+2y+3z的最小值是_____．19．已知，則的最小值為__．20．已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，則x+y的最小值是_____．21．(1)計算：；(2)先化簡，再求值：，其中．22．計算：．23．已知a，b，c滿足，請回答下列問題：(1)直接寫出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在數(shù)軸上表示．(2)a，b，c所對應(yīng)的點分別為A，B，C，若點A以每秒1個單位長度向右運動，點C以每秒3個單位長度向左運動；①運動1.5秒后，A，C兩點相距幾個單位長度．②幾秒后，A，C兩點之間的距離為4個單位長度．24．同學(xué)們都知道，表示4與的差的絕對值，實際上也可理解為4與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離：問理也可理解為x與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之問的距離，試探索：(1)_______．(2)找出所有符合條件的整數(shù)x，使成立，并說明理由(3)由以上探索猜想，對于任何有理數(shù)x，是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．25．(1)已知，求代數(shù)式的值；(2)化簡：．26．先化簡，再求值：，其中．27．如圖，甲、乙兩張卡片上均有一個系數(shù)為整數(shù)的多項式，其中乙中二次項系數(shù)因為被污染看不清楚．(1)嘉嘉認為污染的數(shù)為，計算“”的結(jié)果；(2)若，淇淇認為存在一個整數(shù)，可以使得“”的結(jié)果是整數(shù)，請你求出滿足題意的被污染的這個數(shù)．28．(1)計算：(2)先化簡再求值：，其中．29．已知，求代數(shù)式的值．30．計算：(1)    (2)(3)       (4) 

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