專題10圓平面幾何中直線與圓的位置關(guān)系包含的知識(shí)點(diǎn)較多，方法靈活，抓住核心概念和基本方法即可，對(duì)定理的本質(zhì)要理解，看到相關(guān)已知能夠聯(lián)想到需要的定理，常常先分析所求問(wèn)題的路徑，找準(zhǔn)方向，綜合運(yùn)用條件加以突破.直線與圓有三種位置關(guān)系：相離、相切和相交.相切和相交是代數(shù)與幾何研究的重點(diǎn).常用的結(jié)論包括：1.切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.2.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.3.相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等4.切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)5.割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等 《初中課程要求》1、圓的基本性質(zhì)2、垂徑定理3、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系4、點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系5、正多邊形與圓、弧長(zhǎng)、扇形面積《高中課程要求》1、握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2、能判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系3、能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題  高中必備知識(shí)點(diǎn)1：直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)有直線和圓心為且半徑為的圓，怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系？觀察圖3.3-1，不難發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系為：當(dāng)圓心到直線的距離時(shí)，直線和圓相離，如圓與直線；當(dāng)圓心到直線的距離時(shí)，直線和圓相切，如圓與直線；當(dāng)圓心到直線的距離時(shí)，直線和圓相交，如圓與直線.在直線與圓相交時(shí)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B.若直線經(jīng)過(guò)圓心，則AB為直徑；若直線不經(jīng)過(guò)圓心，如圖3.3-2，連結(jié)圓心和弦的中點(diǎn)的線段垂直于這條弦.且在中，為圓的半徑，為圓心到直線的距離，為弦長(zhǎng)的一半，根據(jù)勾股定理，有.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，如圖3.3-3，為圓的切線，可得，，且在中，.如圖3.3-4，為圓的切線，為圓的割線，我們可以證得，因而. 高中必備知識(shí)點(diǎn)2：點(diǎn)的軌跡在幾何中，點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)按照某個(gè)條件運(yùn)動(dòng)形成的圖形，它是符合某個(gè)條件的所有點(diǎn)組成的.例如，把長(zhǎng)度為的線段的一個(gè)端點(diǎn)固定，另一個(gè)端點(diǎn)繞這個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周就得到一個(gè)圓，這個(gè)圓上的每一個(gè)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于；同時(shí)，到定點(diǎn)的距離等于的所有點(diǎn)都在這個(gè)圓上.這個(gè)圓就叫做到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡.我們把符合某一條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡.這里含有兩層意思：(1)圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，就是說(shuō)，圖形上的任何一點(diǎn)都滿足條件；(2)圖形包含了符合條件的所有的點(diǎn)，就是說(shuō)，符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上.下面，我們討論一些常見(jiàn)的平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡.從上面對(duì)圓的討論，可以得出：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓.我們學(xué)過(guò)，線段垂直平分線上的每一點(diǎn)，和線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，和線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡：和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線.由角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個(gè)軌跡：到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線. 高中必備知識(shí)點(diǎn)1：直線與圓的位置關(guān)系 【典型例題】在同一平面直角坐標(biāo)系中有5個(gè)點(diǎn)：A(1，1)，B(﹣3，﹣1)，C(﹣3，1)，D(﹣2．﹣2)．(1)畫出△ABC的外接圓⊙P，并指出點(diǎn)D與⊙P相的位置關(guān)系；(2)E點(diǎn)是y軸上的一點(diǎn)，若直線DE與⊙P相切，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于P、Q兩點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)P到x、y軸的距離中的最大值等于點(diǎn)Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱P、Q兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，如圖中的P、Q兩點(diǎn)即為“等距點(diǎn)”．(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3，1)①在點(diǎn)E(0，3)、F(3，﹣3)、G(2，﹣5)中，點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”是　   　；②若點(diǎn)B在直線y＝x+6上，且A、B兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為　   　；(2)直線l：y＝kx﹣3(k＞0)與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D．①若T1(﹣1，t1)、T2(4，t2)是直線l上的兩點(diǎn)，且T1、T2為“等距點(diǎn)”，求k的值；②當(dāng)k＝1時(shí)，半徑為r的⊙O上存在一點(diǎn)M，線段CD上存在一點(diǎn)N，使得M、N兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，直接寫出r的取值范圍．【能力提升】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)．請(qǐng)?jiān)趫D中作出經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的，并寫出圓心M的坐標(biāo)；，試判斷直線BD與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 高中必備知識(shí)點(diǎn)2：點(diǎn)的軌跡 【典型例題】如圖，點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到.(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng).【變式訓(xùn)練】閱讀理解：在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則P、Q這兩點(diǎn)間的距離為|PQ|=．如P(1，2)，Q(3，4)，則|PQ|==2．對(duì)于某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)形成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡．如平面內(nèi)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線．解決問(wèn)題：如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+交y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作直線l平行于x軸．(1)到點(diǎn)A的距離等于線段AB長(zhǎng)度的點(diǎn)的軌跡是　   　；(2)若動(dòng)點(diǎn)C(x，y)滿足到直線l的距離等于線段CA的長(zhǎng)度，求動(dòng)點(diǎn)C軌跡的函數(shù)表達(dá)式；問(wèn)題拓展：(3)若(2)中的動(dòng)點(diǎn)C的軌跡與直線y=kx+交于E、F兩點(diǎn)，分別過(guò)E、F作直線l的垂線，垂足分別是M、N，求證：①EF是△AMN外接圓的切線；②為定值．【能力提升】在數(shù)學(xué)上，我們把符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形叫做滿足該條件的點(diǎn)的軌跡．例如：動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足(m，m﹣1)，所有符合該條件的點(diǎn)組成的圖象在平面直角坐標(biāo)系xOy中就是一次函數(shù)y=x﹣1的圖象．即點(diǎn)P的軌跡就是直線y=x﹣1．(1)若m、n滿足等式mn﹣m=6，則(m，n﹣1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡是　   　；(2)若點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)A(0，1)的距離與到直線y=﹣1的距離相等，求點(diǎn)P的軌跡；(3)若拋物線y=上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N滿足MN=a(a為常數(shù)，且a≥4)，設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q到x軸的最短距離．
1．如圖，將⊙O沿弦折疊，恰好經(jīng)過(guò)圓心O，若⊙O的半徑為6，則的長(zhǎng)為(    )
 A． B．π C． D．2．如圖，為的直徑，直線與相切于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)、交于點(diǎn)，連接、，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(    )A．若，則平分； B．若平分，則；C．若，則平分； D．若，則．3．如圖，在中，點(diǎn)在優(yōu)弧上，將弧沿折疊后剛好經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)．若的半徑為5，，則的長(zhǎng)是(    )A． B． C． D．4．如圖，已知，為上一點(diǎn)，以為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與、交于點(diǎn)、，設(shè)，，則(　　)A．若，則弧的度數(shù)為B．若，則弧的度數(shù)為C．若，則弧的度數(shù)為D．若，則弧的度數(shù)為5．如圖，為的直徑，C為圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線與直徑的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，若，則的度數(shù)為( )A． B． C． D．6．如圖，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，以斜邊AB上的點(diǎn)O為圓心的圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)E、F，與AB分別相交于點(diǎn)G、H，且EH的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)為(　　)A．2﹣1 B．2 C．+1 D．7．如圖，已知⊙O的半徑為10，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C是射線OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AC并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OD交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．當(dāng)∠A從30°增大到60°時(shí)，弦AD在圓內(nèi)掃過(guò)的面積是(　　)A． B． C． D．8．如圖，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB為直徑作⊙O，將矩形ABCD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使所得矩形A'BC'D'的邊C'D'與⊙O相切，切點(diǎn)為E，邊A'B與⊙O相交于點(diǎn)F．若BF＝8，則CD長(zhǎng)為(　　)A．9 B．10 C．8 D．129．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是 上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線與 軸、軸分別交于點(diǎn)，，則面積的最小值為( )A．5 B．6 C． D．10．如圖，內(nèi)接于，其外角平分AD交于D，于M，則結(jié)論①②③④中正確的是(    )
 A．① B．①②③ C．③④ D．①②③④11．如圖，在扇形中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交于弧點(diǎn)，得扇形，若，則圖中陰影部分的面積為______．12．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O， E是邊BC的中點(diǎn)，連接OE并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，若∠BCD＝26°，則∠A＝__°．13．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，再以為直徑畫半圓，若陰影部分的面積分別為，則________．
 14．如圖，是的直徑，弦，，．則圖中陰影部分的面積為___________．15．如圖，在扇形中，已知，，過(guò)的中點(diǎn)作，，垂足分別為、，則圖中陰影部分的面積為__________．16．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，弦CD交AB于E，連接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，過(guò)E作弦GF⊥BC交圓于G、F兩點(diǎn)，連接CF、BG．則下列結(jié)論：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切線；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．其中正確的是___(只需填序號(hào))17．如圖，銳角內(nèi)接于，于點(diǎn)H，直徑，交于點(diǎn)D，，連結(jié)，，已知圓的半徑為13，，則____，四邊形的面積為_______．18．如圖，的弦、相交于點(diǎn)，為弧的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，若，的半徑為，，則________．19．如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是_____．20．如圖，已知的半徑為2，弦，點(diǎn)為優(yōu)弧上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的內(nèi)心，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為______．21．如圖，四邊形內(nèi)接于，是直徑，，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，求的值．22．我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．例如線段的最小覆蓋圓就是以線段為直徑的圓．銳角三角形的最小覆蓋圓是該三角形的外接圓．(1)分別在圖1，圖2中作出的最小覆蓋圓．(要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)根據(jù)(1)中的作圖，鈍角三角形的最小覆蓋圓是______；(3)某地要修建一個(gè)基站，服務(wù)四個(gè)村莊E、F、G、H(其位置如圖3所示)，為使信號(hào)可以覆蓋四個(gè)村莊，且基站所需發(fā)射功率最小(距離越小，所需功率越小)，此基站應(yīng)建在何處？請(qǐng)說(shuō)明理由．23．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，OF⊥BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)E，AE與BC交于點(diǎn)H，點(diǎn)D為OE的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠ODB＝∠AEC．(1)求證：BD是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為5，sinA＝，求BH的長(zhǎng)．24．如圖，是的半徑，且，是半圓上一點(diǎn)，連接，作，過(guò)點(diǎn)作半圓的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，切點(diǎn)為，連接．(1)當(dāng)∥時(shí)，求證：；(2)當(dāng)      度時(shí)，為菱形．25．如圖，已知以為直徑的中，點(diǎn)，在的同側(cè)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)已知，，求的長(zhǎng)．26．如圖，在四邊形中，，過(guò)三點(diǎn)的圓交邊于點(diǎn)E．(1)求證：E是的中點(diǎn)；(2)若，求證：．27．如圖，點(diǎn)為上一點(diǎn)，點(diǎn)在直徑的延長(zhǎng)線上，且．(1)判斷直線和的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)過(guò)點(diǎn)作的切線交直線于點(diǎn)，若，的半徑是3，求的正切值．28．如圖，是的直徑，點(diǎn)在上(點(diǎn)不與，重合)，直線交過(guò)點(diǎn)的切線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的值．29．如圖，中，以為直徑的交于點(diǎn)D，．(1)求證：為的切線；(2)在上取點(diǎn)E，使，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F．若，求的值．30．如圖，⊙O的直徑，點(diǎn)為弧上一點(diǎn)，連接、，點(diǎn)為劣弧上一點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)、重合)，連接交、于點(diǎn)、．(1)當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度為______；(2)當(dāng)點(diǎn)為劣弧的中點(diǎn)，且∽時(shí)，求的度數(shù)；(3)當(dāng)，且為直角三角形時(shí)，求四邊形的面積(直接寫出結(jié)果)． 

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