專題04二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)（教師版含解析）-2022年初升高數(shù)學銜接講義（第1套）-學案下載-教習網(wǎng)

專題04二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)確定二次函數(shù)的圖象，主要應(yīng)抓住：拋物線的開口方向、頂點位置、對稱軸以及與兩坐標軸的交點.解決二次函數(shù)的問題，通常利用配方法和數(shù)形結(jié)合思想求解，先畫出二次函數(shù)的圖象，根據(jù)題中所給的區(qū)間觀察函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間研究最值等問題.二次函數(shù)是初中數(shù)學的一個重要內(nèi)容，是中考重點考查的內(nèi)容，也是高考必考內(nèi)容，同時還是一個研究函數(shù)性質(zhì)的很好的載體，因此做好二次函數(shù)的初高中銜接至關(guān)重要，初中階段對二次函數(shù)的要求，是立足于用代數(shù)方法來研究，比如配方結(jié)合頂點式，描述函數(shù)圖象的某些特征(開口方向、頂點坐標、對稱軸、最值)等；再比如待定系數(shù)法，通過解方程組的形式來求二次函數(shù)的解析式.高中的函數(shù)立足于集合觀點，對二次函數(shù)的學習要求明顯提高，二次函數(shù)的研究更側(cè)重于數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法. 《初中課程要求》熟悉了二次函數(shù)的定義和解析式，掌握了二次函數(shù)的圖象畫法《高中課程要求》掌握二次函數(shù)在一個閉區(qū)間上的最值求法，會求二次函數(shù)的解析式，會通過圖象分析性質(zhì) 高中必備知識點1：二次函數(shù)圖像的伸縮變換問題函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問題，我們可以先畫出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關(guān)系，推導出函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間所存在的關(guān)系．先畫出函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象．先列表：x…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818 從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴大兩倍就可以了．再描點、連線，就分別得到了函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象(如圖2－1所示)，從圖2－1我們可以得到這兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y＝2x2的圖象可以由函數(shù)y＝x2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫剑?/span>同學們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y＝x2，y＝－2x2的圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關(guān)系．通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象可以由y＝x2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>a倍得到．在二次函數(shù)y＝ax2(a≠0) 高中必備知識點2：二次函數(shù)圖像的平移變換函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)系．同學們可以作出函數(shù)y＝2(x＋1)2＋1與y＝2x2的圖象(如圖2－2所示)，從函數(shù)的同學我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y＝2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數(shù)y＝2(x＋1)2＋1的圖象．這兩個函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點．類似地，還可以通過畫函數(shù)y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系．通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”．由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性質(zhì)：(1)當a＞0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開口向上；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而減??；當x＞時，y隨著x的增大而增大；當x＝時，函數(shù)取最小值y＝．(2)當a＜0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開口向下；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而增大；當x＞時，y隨著x的增大而減??；當x＝時，函數(shù)取最大值y＝．高中必備知識點1：二次函數(shù)圖像的伸縮變換【典型例題】二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論個數(shù)是　　A．1個 B．2 個 C．3 個 D．4 個【變式訓練】下列說法錯誤的是( )A．二次函數(shù)y=－2x2中，當x=0時，y有最大值是0B．二次函數(shù)y=4x2中，當x>0時，y隨x的增大而增大C．在三條拋物線y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的圖象開口最大，y=－x2的圖象開口最小D．不論a是正數(shù)還是負數(shù)，拋物線y=ax2(a≠0)的頂點一定是坐標原點【能力提升】拋物線y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的圖象開口最大的是(　　)A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2 高中必備知識點2：二次函數(shù)圖像的平移變換【典型例題】如圖，已知拋物線C1：y＝﹣x2+4，將拋物線C1沿x軸翻折，得到拋物線C2(1)求出拋物線C2的函數(shù)表達式；(2)現(xiàn)將拋物線C1向左平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A，B；將拋物線C2向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N，與x軸交點從左到右依次為D，E．在平移過程中，是否存在以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．【變式訓練】如圖，拋物線軸的負半軸相交于點，將拋物線平移得到拋物線相交于點，直線于點，且.(1)求點的坐標；(2)寫出一種將拋物線平移到拋物線的方法；(3)在軸上找點，使得的值最小，求點的坐標.【能力提升】已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點B(﹣1，0)和點C(2，3)．(1)求此拋物線的函數(shù)表達式；(2)如果此拋物線上下平移后過點(﹣2，﹣1)，試確定平移的方向和平移的距離．
1．點在拋物線上，若，關(guān)于a，b的數(shù)量關(guān)系，下列描述正確的是( )A． B． C． D．無法確定2．若a、b是關(guān)于x的方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的兩實根，則(a+2)(b+2)的最小值為(　　)A．7 B．10 C．14 D．163．如圖，在平面直角坐標系中，有一系列的拋物線(為正整數(shù))，若和的頂點的連線平行于直線，則該條拋物線對應(yīng)的的值是( )A．8 B．9 C．11 D．104．關(guān)于拋物線，有以下結(jié)論：①當時，拋物線過原點；②拋物線必過點；③頂點的縱坐標最大值為1；④若當時，，當時，隨的增大而減小，則的取值范圍是．錯誤結(jié)論的序號是( )A．① B．② C．③ D．④5．對于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是( )A．開口向下 B．對稱軸是直線C．有最大值為2 D．當時，隨增大而增大6．已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸是直線x=1，其部分圖象如圖所示，下列說法中：①abc<0；②4a?2b+c<0；③若A(，y1)、B(，y2)、C(，y3)是拋物線上的三點，則有；④若m，n()為方程的兩個根，則且，以上說法正確的有( )A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③7．如圖，拋物線y＝a(x+3)(x﹣k)交x軸于點A、B，(A左B右)，交y軸于點C，△AOC的周長為12，sin∠CBA＝，則下列結(jié)論：①A點坐標(﹣3，0)；②a＝﹣；③點B坐標(8，0)；④對稱軸x＝．其中正確的有(　　)個．A．4 B．3 C．2 D．18．如圖，直線y＝2x與直線x＝2相交于點A，將拋物線y＝x2沿線段OA從點O運動到點A，使其頂點始終在線段OA上，拋物線與直線x＝2相交于點P，則點P移動的路徑長為(　　)A．4 B．3 C．2 D．19．王芳將如圖所示的三條水平直線，，的其中一條記為x軸(向右為正方向)，三條豎直直線，，的其中一條記為y軸(向上為正方向)，并在此坐標平面內(nèi)畫出了拋物線，則她所選擇的x軸和y軸分別為(　　)A．，B．，C．，D．，10．在平面直角坐標系中，O 為原點，拋物線y＝－x2＋3x 的對稱軸l 交x 軸于點M，直線 y＝mx－2m(m＜0)與該拋物線x 軸上方的部分交于點A，與l 交于點B，過點A 作AN⊥x 軸，垂足為N，則下列線段中，長度隨線段ON 長度的增大而增大的是( )A．AN B．MN C．BM D．AB11．已知函數(shù)y＝，若使y＝k成立的x的值恰好有三個，則k的值為_____．12．已知一個二次函數(shù)的圖象形狀與拋物線相同，且頂點坐標為，則這個二次函數(shù)的解析式為_____________．13．設(shè)A(-2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是拋物線y=-(x+1)2+3上的三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為______________________．14．設(shè)，，是拋物線上的三點，則，，的大小關(guān)系為________．15．若A(m-2，n)，B(m+2，n)為拋物線上兩點，則n=_______．16．函數(shù)的最小值是_____．17．已知點都在二次函數(shù)上，的橫坐標分別為，過點分別向軸、軸作垂線，垂足分別為，當點在線段上時，的值為___________．18．定義符號的含義為：當時，；當時，如：，=則的最大值是______．19．已知當x=m和x=n時，多項式x2﹣4x+1的值相等，且m≠n，則當x=m+n﹣3時多項式x2﹣4x+1的值為_____．20．如圖，正方形ABCD的邊長為a，點E在邊AB上運動(不與點A，B重合)，∠DAM＝45°，點F在射線AM上，且AF＝BE，CF與AD相交于點G，連接EC、EF、EG．則下列結(jié)論：①∠ECF＝45°；②△AEG的周長為(1+)a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面積的最大值是a2；⑤當時BE＝a，G是線段AD的中點．其中正確的結(jié)論是_____．21．已知函數(shù)y＝(k﹣2)是關(guān)于x的二次函數(shù)，求：(1)滿足條件的k的值；(2)當k為何值時，拋物線有最高點？求出這個最高點，這時，x為何值時，y隨x的增大而增大？(3)當k為何值時，函數(shù)有最小值？最小值是多少？這時，當x為何值時，y與x的增大而減??？22．定義新運算：對于任意實數(shù)m，n都有，等式右邊是常用的加法、減法、乘法及乘方運算．例如：．根據(jù)以上知識解決問題：(1)若，求x的值；(2)求拋物線的頂點坐標；(3)將(2)中的拋物線繞著原點旋轉(zhuǎn)，寫出得到的新的拋物線解析式．23．(1)先填表，并在同一直角坐標系中畫出二次函數(shù)和的圖象；x-3-2-10123____________________________________________________________________________________(2)分別寫出它們頂點坐標．24．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．(1)求該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標．(2)當﹣1≤x≤5時，則y的范圍是　　≤y≤　　(直接寫出答案)．25．如圖，有四張背面完全相同的卡片，，，，其中正面分別寫著四個不同的函數(shù)表達式，將四張卡片洗勻正面朝下隨機放在桌面上．(1)從四張卡片中隨機摸出一張，摸出的卡片上的函數(shù)隨的增大而減小的概率是______；(2)小亮和小強用這四張卡片做游戲，規(guī)則如下：兩人同時從四張卡片中各隨機抽出一張，若抽出的兩張卡片上的函數(shù)增減性相同，則小亮勝；若抽出的兩張卡片上的函數(shù)增減性不同，則小強勝．這個游戲公平嗎？請說明理由．26．在平面直角坐標系中，已知拋物線和直線l:y=kx+b，點A(-3,-3)，B(1,-1)均在直線l上．(1)若拋物線C與直線l有交點，求a的取值范圍；(2)當a=-1，二次函數(shù)的自變量x滿足m≤x≤m+2時，函數(shù)y的最大值為-4，求m的值；(3)若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，請直接寫出a的取值范圍．27．已知拋物線與軸有兩個不同的交點.(1)求的取值范圍；(2)若拋物線經(jīng)過點和點，試比較與的大小，并說明理由.28．已知拋物線經(jīng)過點、．(1)求拋物線的表達式；(2)把表達式化成的形式，并寫出頂點坐標與對稱軸．29．已知二次函數(shù)．(1)用配方法把該二次函數(shù)的解析式化為的形式；(2)寫出該二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標和對稱軸，并說明函數(shù)值y隨自變量x的變化而變化的情況．30．已知拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(1，0)和點B(3，0)，且過點C(0，﹣3)．(1)求拋物線的表達式；(2)若這條拋物線平移后的頂點落在x軸上，請寫出一種平移的方法，并寫出平移后的拋物線的表達式．

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