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專題12幾何部分驗收卷
1．如圖，在平行四邊形中，，，，點、分別是邊、上的動點．連接、，點為的中點，點為的中點，連接．則的最大值與最小值的差為(　　)

A．1 B． C． D．
【答案】C
解：如圖，取的中點，連接、、，作于.

∵四邊形是平行四邊形，，
∴，，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，∵，，
∴，
∵，，
∴，
易知的最大值為的長，最小值為的長，
∴的最大值為，最小值為，
∴的最大值為，最小值為，
∴的最大值與最小值的差為.
故選：C．
2．如圖，在正方形中，對角線，相交于點，點在邊上，且，連接交于點，過點作，連接并延長，交于點，過點作分別交，于點，，交的延長線于點，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有( )

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵OP⊥OQ，
∴∠AOQ+∠DOQ=∠DOQ+∠DOP=90°，
∴∠AOQ=∠DOP，
∵DF⊥AE，
∴∠EAD+∠ADF=90°，
∵∠OAD+∠ODA=90°，
∴∠OAE=∠ODF，
∴△OAN≌△ODF(ASA)，
∴ON=OF，
∴∠ONF=∠OFN=45°，故①正確；
∵∠DAO=∠ODC=45°，OA=OD，∠AOH=∠DOP，
∴△AOH≌△DOP(ASA)，
∴AH=DP，
∵∠AHN=∠OHA，∠HNA=∠HAO=45°，
∴△AHN∽△OHA，
∴AH2=HN·HO，
即DP2=NH·HO，故②正確；
∵∠NOA=∠AOQ，∠ONA=∠OAQ=135°，
∴△ONA∽△OAQ，
∴∠Q=∠OAG，故③正確；
取AE中點M，
∵點O為AC中點，
∴OM=CE=DE，且OM∥CD，
∴∠MOG=∠EDG，∠OMG=∠DEG，
∵CE=2DE，
∴DE=OM，
∴△MOG≌△EDG(ASA)，
∴OG=DG，故正確；
故選D．

3．如圖，在中，，，是邊上一點，且，連接，把沿翻折，得到，與交于點，連接，則的面積為(　　)

A． B． C． D．
【答案】B
解：∵，，
∴，，
∴，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
過點作交的延長線于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
延長交的延長線于，
由折疊知，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
過點作于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，

∴，
∴，
∴，
故選：B．
4．如圖，正方形中，在的延長線上取點，，使，，連接分別交，于，，下列結(jié)論：①；②；③圖中有8個等腰三角形；④．其中正確的結(jié)論個數(shù)是( )

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
解：∵DF=BD，
∴∠DFB=∠DBF
∵四邊形ABCD是正方形，
∵AD//BC，AD=BC=CD，∠ADB=∠DBC=45°，
∴DE//BC，∠DFB=∠GBC，
∵DE=AD，
∴DE=BC，
∴四邊形DBCE是平行四邊形，
∴∠DEC=∠DBC=45°，
∴∠DEC=∠ADB=∠DFB+∠DBF=2∠EFB=45°，
∴∠GBC=∠EFB=22.5°，∠CGB=∠EGF=22.5°=∠GBC，
∴CG=BC=DE，
∵BC=CD，
∴DE=CD=CG，
∴∠DEG=∠DCE=45°，EC=CD，∠CDG=∠CGD=(180°-45°)=67.5°，
∴∠DGE=180°-67.5°=112.5°，
∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°，
∴∠GHC=∠DGE，
∴△CHG≌△EGD(AAS)，
∴∠EDG=∠CGB=∠CBF，
∴∠GDH=90°-∠EDG，∠GHD=∠BHC=90°-∠CGB，
∴∠GDH=∠GHD，
∴∠GDH=∠GHD，故②正確；
∵∠EFB=22.5°，
∴∠DHG=∠GDH=67.5°，
∴∠GDF=90°-∠GDH=22.5°=∠EFB，
∴DG=GF，
∴HG=DG=GF，
∴HF=2HG，即EC≠HF=2HG，故①正確；
∵△CHG≌△EGD，
∴S△CHG=S△EGD，
∴，即，故④錯誤；
結(jié)合前面條件易知等腰三角形有：△ABD、△CDB、△BDF、△CDE、△BCG、△DGH、△EGF、△CDG、△DGF共9個，故③錯誤；
則正確的個數(shù)有2個．
故選：B．
5．如圖，在中，，以的中點D為圓心，作圓心角為的扇形，點C恰好在上，設(shè)，當(dāng)由小到大變化時，圖中兩個陰影部分的周長和( )

A．由小變大 B．由大變小 C．不變 D．先由小變大，后由大變小
【答案】D
解：如圖．
，，為的中點，
，，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
圖中兩個陰影部分的周長和的長

，
與均為定值，而，，
當(dāng)由小到達(dá)大變化時，的長度由小變大，當(dāng)垂直時達(dá)到最大，然后長度變小，所以圖中兩個陰影的周長和是由小變大再變小，
故選：D．

6．著名畫家達(dá)·芬奇用三個正方形和三個全等的直角三角形拼成如下圖形證明了勾股定理，其中，，連結(jié)，得到4個全等的四邊形，四邊形，四邊形，四邊形．分別交，于點M，N，若，且，則的長為( )

A． B． C． D．
【答案】D
解：過點C作CP⊥DE于點P，交AB于點K，如圖所示：

∵四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是全等的，
∴，
∵，，，
∴，
易得CM=NJ，
∵，
∴，
∵AB∥ED，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)BC=a，AC=b，則，
∴，
由等積法可得，
∴，
由勾股定理可得，
∴，
∴；
故選D．
7．在中，，為上一動點，若，，則的最小值為( )

A．5 B．10 C． D．
【答案】B
解：以為頂點，為一邊在下方作，過作于，過作于，交于，如圖：

，要使最小，只需最小，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴最小即是最小，此時與重合，與重合，即最小值是線段的長度，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
又，
∴，，
∵，
∴，
而，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故選：B．
8．如圖，在正方形紙片中，點M，N在上，將紙片沿折疊，折疊后使點A和點D重合于點I，的外接圓分別交于點P，Q．若，則的長度為( )

A． B． C． D．
【答案】B
解：∵，，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
由折疊知：，
，
∴，，
∴，
∵圓是的外接圓，
∴點是的內(nèi)心，
∴OB平分，OC平分，
∴，，
過點作，則OH平分BC．
則：，
在中：，
由勾股定理得：，即，
解得：，(舍)，
∴．
故選B．

9．在平面直角坐標(biāo)系中，定義直線為拋物線的特征直線，為其特征點．若拋物線的對稱軸與x軸交于點D，其特征直線交y軸于點E，點F的坐標(biāo)為，，若，則b的取值范圍是( )
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
解：由題意知，當(dāng)x=0時，特征直線y=b，且其特征直線交y軸于點E，則點E(0，b)．
∵DE∥CF，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∵DE∥CF，CE∥DF，
∴CE=DF，
由題意，得，
∴，即，
當(dāng)時，
當(dāng)時，得，，
當(dāng)時，得，，
綜上所述：或，
故選：D．
10．如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸交于A，B兩點，與反比例函數(shù)的圖象相交于C，D兩點，分別過C，D兩點作y軸，x軸的垂線，垂足為E，F(xiàn)，連接．有下列四個結(jié)論：①與的面積相等；②；③；④．其中正確的結(jié)論是( )

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
解：∵一次函數(shù)y=x+3的圖象與軸，y軸交于A，B兩點，
∴A(-3，0)，B(0，3)．
∵與反比例函數(shù)y=的圖象相交于C，D兩點，
∴，
解得：或1，
經(jīng)檢驗：或1都是原分式方程的解，
∴C(-4，-1)，D(1，4)，
∵DF⊥x軸，CE⊥y軸，
∴E(0，-1)，F(xiàn)(1，0)，
∴CE=DF=4，．
在△DCE與△CDF中，
∵，
∴△DCE≌△CDF(SSS)，故③正確；
設(shè)直線EF的解析式為y=mx+n(m≠0)，
∵E(0，-1)，F(xiàn)(1，0)，
∴，解得，
∴直線EF的解析式為y=x-1．
∵直線AB的解析式為：y=x+3，
∴AB∥EF，
∴∠FEO=∠ABO，∠EFO=∠BAO，
∴△AOB∽△FOE，故②正確；
∵EF∥AB，
∴△CEF與△DEF同底等高，
∴△CEF與△DEF的面積相等，故①正確；
∵A(-3，0)，B(0，3)，C(-4，-1)，D(1，4)，
∴，
∴AC=BD，即④正確．
綜上，①②③④均正確．
故選：D．
11．如圖，在矩形中，，，，分別在邊，上，將四邊形沿翻折，得到四邊形，使得點的對應(yīng)點落到邊的延長線上，且，連接，交于點，延長交于點，則______．

【答案】
解：設(shè)DG=DE=x，
∵四邊形ABCD為矩形，，，
∴AD=，
∴AE=AD-DE=9-x=EH，
∵四邊形沿翻折，得到四邊形，
∴△EHG為直角三角形，HG=AB=，
∴HG2+EH2=EG2，
即，
解得x=4或x=-10(舍去)，
∴DG=DE=4，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△DMG∽△CMB，
∴，
∴，
解得DM=，
在△DNG中，∠NGD=90°，
∵∠NGD=∠EGH，∠EHG=90°，
∴△NGD∽△EGH，
∴，
∴，
∴ND=，
∴MN=DM+ND=+=．
故答案為．
12．如圖，平行四邊形的邊的中點在軸上，對角線與軸交于點，若反比例函數(shù)()的圖象恰好經(jīng)過的中點，且的面積為6，則的值為________．

【答案】9．
解：如圖，連接OD，

∵四邊形ABCO是平行四邊形，
∴AB∥OC，AB＝OC，
∴△AEF∽△CEO，
∴，
∵F是AB的中點，
∴AB＝2AF，
∴OC＝2AF，
∴，
∴，
∵△AEO的面積為6，
∴S△AEFS△AEO6＝3，
∴S△AOF＝S△AEO+S△AEF＝6+3＝9，
∵點D是AF的中點，
∴S△DOFS△AOF，
∴|k|，且k＞0，
∴k＝9．
故答案為：9．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸交于兩點，于點是線段上的一個動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則線段的最小值為_________．

【答案】
∵A，B兩點是直線y=﹣x+4與坐標(biāo)軸的交點，
∴A(0，4)，B(4，0)，
∴三角形OAB是等腰直角三角形，
∵OC⊥AB
∴A(2，2)，
又∵P是線段OC上的一個動點，將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，
∴ P'的運動軌跡是在與x軸垂直的一條線段MN，
∴當(dāng)線段CP'與MN垂直時，線段CP'的值最小，
在△AOB中，AO=AN=4，AB=4，
∴NB=4-4
又∵Rt△HBN是等腰直角三角形，
∴2HB2=NB2，
∴HB=4-2，
∴CP'=4-(4-2)-2=2-2

故答案為：．
14．如圖，已知在菱形，，，點在上，且，將沿折疊得到，其中交于點，則______________．

【答案】．
解：過B′作B′H∥BC交AE于H，連結(jié)BH，BB′交AE于N，過A作AG⊥BC于G，過H作HM⊥BC于M，過F作FR⊥BC交BC延長線于R，
由折疊可知∠AEB=∠AEB′，BE=B′E，B、B′關(guān)于AE對稱，
∴BB⊥AE，且BN=B′N，
∴AE為BB′的垂直平分線，
∴BH=B′H，
∵B′H∥BC(作法)，
∴∠B′HE=∠AEB，
∴∠B′HE=∠B′EH，
∴HB′=B′E=BH=BE=6，
∴四邊形BEB′H為菱形，
∴BH∥B′E，
∴∠HAM=∠FER，
在Rt△FRC中，∠FCR=60°設(shè)FC為x，
CR=CFcos60°=，F(xiàn)R=CFsin60°=，
在Rt△ABG中，∠ABG=60°，AB=9，BG=ABcos60°=，AG=ABsin60°=，
∴GE=BE=BG=6-，
在Rt△AGE中，由勾股定理AE=，
由S△ABE=，
∴BN=，
在Rt△NEB中，由勾股定理，
∴HE=2NE=，
由S△BHE=，
∴，
在Rt△BHM中，勾股定理得，
∴tan∠HBM=tan∠FER=，
即，
解得x=．
經(jīng)檢驗符合題意，
故答案為．

15．如圖，矩形中，，，點E，F(xiàn)將對角線三等分，點P是矩形的邊上的動點．則周長的最小值為_________．

【答案】
在Rt△ABC中，，，
∴，
①作點E關(guān)于直線AD的對稱點M，連接FM交AD與點P，此時△PEF的周長最短，

∵點E，F(xiàn)為對角線三等分點，
∴AE=EF==，EG=GM=，
過點F作FNME于點N，
∵點E，F(xiàn)為對角線三等分點，
∴，
在Rt△EFN中，，，
∴，
∴MN=MG+GE+EN=1+1+1=3，
在Rt△MNF中，，，
∴，
∴△PEF的周長為：EF+EP+PF=EF+PF+PM=EF+FM=；
②作點F關(guān)于直線CD的對稱點M，連接EM交CD與點P，此時△PEF的周長最短，

∵點E，F(xiàn)為對角線三等分點，
∴CF=EF==，F(xiàn)G=GM=，
過點E作ENMF于點N，
∵點E，F(xiàn)為對角線三等分點，
∴，
在Rt△EFN中，，，
∴，
∴MN=MG+GF+FN=2+2+2=6，
在Rt△MNE中，，，
∴，
∴△PEF的周長為：EF+EP+PF=EF+PF+PM=EF+EM=；
∵>，
∴△PEF的周長最短值為．
故答案為：．
16．如圖，A是雙曲線上一點，B是x軸正半軸上一點，以AB為直角邊向右構(gòu)造等腰直角三角形ABC，，過點A作軸于點D，以AD為斜邊向上構(gòu)造等腰直角三角形ADE，若點C，點E恰好都落在該雙曲線上，與的面積之和為28，則_________．

【答案】36
解：分別過點E作EF⊥x軸于點F，交AD于點M，BG⊥AD，CH⊥AD，垂足分別為G、H，如圖所示：

∵△ADE是等腰直角三角形，
∴EM=DM=AM，
∴根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知點A、E的橫坐標(biāo)之比為2∶1，則它們的縱坐標(biāo)之比為1∶2，
∴，即EM=MF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴△ABG≌△CAH(AAS)，
∴BG=AH，
設(shè)，
∴，，
∴，
∴點，
∴，
∴，
∴，
∵與的面積之和為28，
∴，
∴，
∴；
故答案為36．
17．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，AC為對角線，E為CD邊上一點，且DE＝2EC，連接BE交AC于點F，若AB＝6，BC＝8，則△ABF的面積為__．

【答案】
過A作AM⊥BC，交BC于M；過F作FG⊥AB，交AB于點G，延長GF，交DC于H，

∵∠ABC＝60°，AB＝6，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝3
∴AM＝
∴平行四邊形面積＝AB?GH＝6GH＝BC?AM＝
∴GH＝
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝6，
∵FG⊥AB
∴FH⊥CD，
∵DE＝2EC，
∴CE＝CD
∵AB∥CD，
∴
∴△ABF∽△CEF
∴
∴FH＝FG，
∴FG＝GH＝
∴S△ABF＝AB?FG＝×6×＝
故答案為：．
18．如圖，，，點為平面內(nèi)一動點，且，點為線段中點，則線段的取值范圍為______．

【答案】
解：如圖1，連接，取的中點，連接，

點為線段中點，
是的中位線，
，
，，
，
又點為的中點，
，
(1)如圖1，當(dāng)點不共線時，
由三角形的三邊關(guān)系得：，
即；
(2)如圖2，當(dāng)點共線，且點位于點中間時，

則；
(3)如圖3，當(dāng)點共線，且點位于點中間時，

則；
綜上，線段的取值范圍為，
故答案為：．
19．如圖，等邊中，，為中點，，為邊上的動點，且，則的最小值是__________．

【答案】
解：如圖，作C點關(guān)于AB的對稱點C'，則C'G＝CG，取BC的中點Q，連接EQ，GQ，B C'，

∵點E是AC的中點，
∴EQ＝AB＝5＝FG，EQ∥AB，
∴四邊形EFGQ是平行四邊形，
∴EF＝GQ，
∴當(dāng)點C'，G，Q在同?條線上時，CG＋EF最小，
作C'H⊥BC交BC的延長線于點H，
∵BC＝BC'＝10，∠CBC'＝120°，∠HB C'=60°，
∴HC'＝5，HB＝5，
∴HQ＝10，
∴C'Q＝
∴EF＋CG的最小值是，
故答案為：．
20．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝6，∠C＝60°，連接BD，BD⊥AB且BD＝CD，求四邊形ABCD面積的最大值．小明過點C作CH⊥AB，交AB的延長線于點H，連接DH，則∠AHD的正弦值為___，據(jù)此可得四邊形ABCD面積的最大值為___．

【答案】
解：∵∠C=60°，BD=CD，
∴為等邊三角形，
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∵BD⊥AB，CH⊥AB，
∴BD∥CH，
∴，∠HCB=∠BDC=60°，
∴，
∴最大，則最大，
在中，tan∠BHD=，
設(shè)BD=2x，則BH=，HD=，
∴sin∠AHD=sin∠BHD=．
作的外接，過點O作OE⊥AD，連接OA，OD，設(shè)的半徑為R，
∵∠AHD=∠AOD，∠AOE=∠AOD，
∴∠AHD=∠AOE，
∴sin∠AOE= sin∠AHD=，
∴中，AE=AD=3，R=OA= AE÷sin∠AOE=3÷=，
OE=AE÷tan∠AOE=3÷=，
延長EO交于點，E=OE+O=+，
∵當(dāng)H與重合時，最大，
∴最大值=．
故答案是：，．

21．如圖，兩地之間有一座山，汽車原來從地到地需經(jīng)地沿折線行駛，全長．現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線行駛，已知，求隧道開通后，汽車從地到地的路程(結(jié)果精確到)．參考數(shù)據(jù)：．

【答案】
過點作，垂足為點，

在中，，
．
在中，，
．
，
．
．
．
在中，，
．
在中，，
．
．
答：汽車從地到地的路程約．
22．一輛汽車在處測得東北方向(北偏東)有一古建筑，汽車向正東方向以每小時40公里的速度行駛1小時到達(dá)處時，又觀測到古建筑在北偏東方向上，求此時汽車與古建筑相距多少公里？(，，，)

【答案】公里
解：過作，垂足為，過作，交于．
中，，(公里)，
(公里)，
中，，
(公里)，
答：此時汽車與古建筑相距公里．

23．如圖，的直徑垂直于弦，垂足為點．連接、、．

(1)求證：；
(2)若，，求弧的長．
【答案】(1)見解析；(2)
解：(1)證明：，
，
，
；
(2)連接，
設(shè)的半徑為，
的直徑垂直于弦，，
，，
在中，，即，
解得，，
，
，
，
弧的長．

24．已知的面積為是上的動點，過作的平行線分別交于，設(shè)，平行四邊形的面積是．

求：(1)與的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)是何值時，有最大或最小值？求出此值．
【答案】(1)；(2)當(dāng)時，有最大值．
(1)∵M(jìn)E//AC
∴
∵
，即．，
同理可得：，即
∴
(2)．
-2P

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