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專題03一元二次方程
專題綜述課程要求

1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)是在求根公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行.它深化了兩根的和與積同系數(shù)之間的關(guān)系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為高中階段的使用打下基礎(chǔ).
2.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索與推導(dǎo)，向我們展示了認(rèn)識事物的一般規(guī)律，提倡積極思維，勇于探索，鍛煉我們分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力.
3.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，中考考查的頻率較高，高考也常與幾何、二次函數(shù)等問題結(jié)合考查，是考試的熱點(diǎn)，它是方程理論的重要組成部分.
4.韋達(dá)定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，則可寫出該方程的兩根之和的值及兩根之積的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的兩個(gè)根，可寫出這個(gè)方程.
課程要求

《初中課程要求》
能熟練利用一元二次方程根的判別式去判斷根的個(gè)數(shù)，簡單地介紹了韋達(dá)定理
《高中課程要求》
熟練掌握求根公式求根和對含參數(shù)判別式的處理能力，會靈活使用韋達(dá)定理解決各種問題

知識精講


高中必備知識點(diǎn)1：根的判別式

我們知道，對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，用配方法可以將其變形為
．①
因?yàn)閍≠0，所以，4a2＞0．于是
(1)當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
x1，2＝；
(2)當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根
x1＝x2＝－；
(3)當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實(shí)數(shù)根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情況可以由b2－4ac來判定，我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式，通常用符號“Δ”來表示．
綜上所述，對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有
(1)當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
x1，2＝；
(2)當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
x1＝x2＝－；
(3)當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．

高中必備知識點(diǎn)2：根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
，，
則有
；
．
所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根分別是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理．
特別地，對于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達(dá)定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，
即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化為x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．
典例剖析


高中必備知識點(diǎn)1：根的判別式

【典型例題】
關(guān)于x的一元二次方程x2-(m-1)x+2m-1=0，其根的判別式為16，求m的值．
【答案】m1=11，m2=-1．
【解析】
由題意得，
△=[-(m-1)]2-4(2m-1)=16，
整理得，m2-10m-11=0，
解得：m1=11，m2=-1．

【變式訓(xùn)練】
已知關(guān)于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0
(1)若方程的一個(gè)根為3，求m的值及另一個(gè)根；
(2)若該方程根的判別式的值等于1，求m的值．
【答案】(1)m=23；即原方程的另一根是1；(2) m=1，m=3．
【解析】
(1)設(shè)方程的另一根是x2．
∵一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0的一個(gè)根為3，
∴x=3是原方程的解，
∴9m﹣(m+2)×3+2=0，
解得m=；
又由韋達(dá)定理，得3×x2=，
∴x2=1，即原方程的另一根是1；
(2)∵△=(m+2)2﹣4×m×2=1
∴m=1，m=3．
【能力提升】
方程(x﹣5)(2x﹣1)=3的根的判別式b2﹣4ac= ．
【答案】105
【解析】
先把方程(x﹣5)(2x﹣1)=3化為一元二次方程的一般形式，再求出根的判別式即可．
方程(x﹣5)(2x﹣1)=3化為一元二次方程的一般形式為：2x2﹣11x+2=0，
故△=b2﹣4ac=(﹣11)2﹣4×2×2=105．


高中必備知識點(diǎn)2：根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)

【典型例題】
如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．
(1)請問一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程嗎？如果是，請說明理由．
(2)若一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一個(gè)根為2，求b、c的值．
【答案】(1)該方程是倍根方程，理由見解析；
(2)當(dāng)方程根為1，2時(shí)， b＝﹣3，c＝2；當(dāng)方程根為2，4時(shí)b＝﹣6，c＝8．
【解析】
(1)該方程是倍根方程，理由如下：
x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，
∴x2＝2x1，
∴一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；
(2)∵方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一個(gè)根為2，
∴方程的另一個(gè)根是1或4，
當(dāng)方程根為1，2時(shí)，﹣b＝1+2，解得b＝﹣3，c＝1×2＝2；
當(dāng)方程根為2，4時(shí)﹣b＝2+4，解得b＝﹣6，c＝2×4＝8．

【變式訓(xùn)練】
求方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2(x1＞x2)，并求x12+2x2的值．
【答案】6
【解析】
方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2，
，
∴

【能力提升】
已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2＝0有兩根α，β
(1)求m的取值范圍；
(2)若α+β+αβ＝0．求m的值．
【答案】(1)m≥﹣34；(2)m的值為3．
【解析】
(1)由題意知，(2m+3)2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≥﹣34；
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系得：α+β＝﹣(2m+3)，αβ＝m2，
∵α+β+αβ＝0，
∴﹣(2m+3)+m2＝0，
解得：m1＝﹣1，m1＝3，
由(1)知m≥﹣34，
所以m1＝﹣1應(yīng)舍去，
m的值為3．
對點(diǎn)精練


1．若直線y＝n截拋物線y＝x2+bx+c所得線段AB＝4，且該拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則n的值為(　　)
A．﹣1 B．2 C．25 D．4
【答案】D
解：∵拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴b2﹣4c＝0，
設(shè)A、B的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2，
∴x1、x2是方程x2+bx+c＝n的兩個(gè)根，
∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，
∵AB＝4，
∴|x1﹣x2|＝4，
∴(x1﹣x2)2＝(x1+x2)2﹣4x1x2＝16，
∴(﹣b)2﹣4(c﹣n)＝16，即b2﹣4c+4n＝16，
∴4n＝16，
∴n＝4，
故選：D．
2．若實(shí)數(shù)a(a≠0)滿足a﹣b＝3，a+b+1＜0，則方程ax2+bx+1＝0根的情況是( )
A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．無實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
【答案】B
解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，
∵a﹣b＝3，
∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，
b＜﹣2，b2﹣4(3+b)= b2﹣4b﹣12= (b+2)(b﹣6)
∵b+2＜0， b-6＜0，
∴(b+2)(b-6) ＞0，
所以，原方程有有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
故選：B．
3．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于(x1，0)、(x2，0)兩點(diǎn)，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，與y軸交于點(diǎn)(0，﹣2)．下列結(jié)論：①2a+b＞1；②3a+b＞0；③a﹣b＜2；④a＜﹣1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
解：如圖：
0＜x1＜1，1＜x2＜2，并且圖象與y軸相交于點(diǎn)(0，﹣2)，
可知該拋物線開口向下即a＜0，c＝﹣2，
①當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＜0，即4a+2b＜﹣c；
∵c＝﹣2，
∴4a+2b＜2，
∴2a+b＜1，
故結(jié)論①錯(cuò)誤；
②∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴1＜x1+x2＜3，
又∵x1+x2＝，
∴1＜＜3，
∴3a+b＜0，
故結(jié)論②錯(cuò)誤；
③當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，
∵c＝﹣2，
∴a﹣b＜﹣c，
即a﹣b＜2，
故結(jié)論③正確；
④∵0＜x1x2＜2，x1x2＝＜2，
又∵c＝﹣2，
∴a＜﹣1．
故結(jié)論④正確．
故選：C．

4．如圖，這是一個(gè)三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)…，第行有個(gè)點(diǎn)…，前行的點(diǎn)數(shù)和不能是以下哪個(gè)結(jié)果 ( )

A．741 B．600 C．465 D．300
【答案】B
解：通過觀察圖形可知：
第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)…第n行有n個(gè)點(diǎn)，
則前5行共有(1＋2＋3＋4＋5)個(gè)點(diǎn)，
前10行共有(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10)個(gè)點(diǎn)，
前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n(n＋1)個(gè)點(diǎn)，
其中n為正整數(shù)，
∴當(dāng)n(n＋1)=741時(shí)，解得：(舍)，，
當(dāng)n(n＋1)=600時(shí)，解得： (舍)，
當(dāng)n(n＋1)=465時(shí)，解得：(舍)，，
當(dāng)n(n＋1)=300時(shí)，解得：(舍)，，
故選：B．
5．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC＝2OB則下列結(jié)論：① ；②；③；④ ，其中正確的結(jié)論有( )

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
解：①觀察圖象可知：拋物線的開口方向向上，對稱軸在y軸左側(cè)，與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，
所以①正確；
②當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c，不能說明y的值是否大于還是小于0，
所以②錯(cuò)誤；
③設(shè)A(x1，0)(x1＜0)，B(x2，0)(x2＞0)，
∵OC＝2OB，∴﹣2x2＝c，
∴，
∴B(，0)
將點(diǎn)B坐標(biāo)代入y＝ax2+bx+c中，
，
∵
∴
所以③正確；
④當(dāng)y＝0時(shí)，ax2+bx+c＝0，
方程的兩個(gè)根為x1，x2，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得，
即
所以④正確．
故選：C．
6．對于函數(shù)，我們定義(，為常數(shù))．例如：，則．已知：，若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為( )
A．0 B． C． D．1
【答案】D
解：由題意得：，即，
方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
此方程根的判別式，
解得，
故選：D．
7．若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
解：根據(jù)題意得k≠0且△=(-2)2-4k×(-1)＞0，
解得k＞-1且k≠0．
故選：D．
8．已知、是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，且滿足，，則的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【答案】D
一元二次方程的兩個(gè)根，
所以△=，
∴或，
令y=，
∵，拋物線開口向上，且滿足，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
解得，
∴的取值范圍是．
故選擇D．
9．若關(guān)于x的一元二次方程x2+5x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且m為正整數(shù)，則符合條件的m有(　　)
A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)
【答案】B
解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+5x+m＝0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，
∴△＝52﹣4×1×m＞0，
解得：m＜，
∵m為正整數(shù)，
∴m＝1，2，3，4，5，6，
∴符合條件的m有6個(gè)，
故選：B.
10．已知，是一元二次方程的兩不相等的實(shí)數(shù)根，且，則的值是( )
A．或 B． C． D．
【答案】C
解：根據(jù)題意得△＝＞0，
解得m＞?，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系的，，
∵，
∴，
∴，
整理得，解得，，
∵m＞?，
∴m的值為．
故選：C．

11．如圖①，在矩形中，，對角線，相交于點(diǎn)O，動點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)，沿運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動路程為x，的面積為y，y與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示，則邊的長為________．

【答案】6
如圖，過點(diǎn)O作OM⊥AB，垂足為M，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴OD=OB，DA⊥AB，AD=BC，
∵OM⊥AB，
∴OM∥AB，AM=BM，
∴OM=，結(jié)合圖像知，當(dāng)運(yùn)動到點(diǎn)B是三角形的面積最大，
∴即AD×AB=24，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，面積為0即AB+BC=10，
∴AD+AB=10，
∴AB，AD是方程的兩個(gè)根，
解得x=4或x=6，
∵，
∴AB=6，
故答案為：6．
12．在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)N在AD邊上，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，連接DE、MN、BN，若DE＝MN，cos∠AED＝，則BN的長為_____．
【答案】5或
解：根據(jù)題意可分兩種情況畫圖：
①如圖1，取AD的中點(diǎn)G，連接MG，

∴AG＝DG＝AD＝2，
∵點(diǎn)M為正方形ABCD的邊BC中點(diǎn)，
∴MG⊥AD，MG＝AB＝AD，
∴∠MGN＝∠A＝90°，
在Rt△ADE和Rt△GMN中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△GMN(HL)，
∴∠GNM＝∠AED，
∴cos∠GMN＝cos∠AED＝，
∴設(shè)GN＝x，MN＝17x，
∵，
∴，
∴x＝，x＝－(舍去)，
∴GN＝1，
∴AN＝1，
∴BN＝＝；
②如圖2，取AD的中點(diǎn)G，

同理可得Rt△ADE≌Rt△GMN(HL)，
∴∠GNM＝∠AED，
∴cos∠GMN＝cos∠AED＝＝，
∴設(shè)GN＝x，MN＝17x，
∵，
∴，
∴x＝，x＝－(舍去)，
∴GN＝1，
∴AN＝3，
∴BN＝＝5，
故答案為：5或．
13．如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，下列結(jié)論：①BE+DF＝EF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④四邊形面積＝2+，其中正確的序號是_____．

【答案】②③④
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵△AEF為等邊三角形，
∴AE＝AF＝EF＝2，∠EAF＝60°，
∴
∴△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝15°，
∴∠AEB＝90°-∠BAE＝75°，即③正確
∵CB＝CD，
∴CB﹣BE＝CD-DF，
∴CE＝CF，即②正確；
∴△CEF為等腰直角三角形，
∴CE＝CF＝EF＝
設(shè)正方形的邊長為：x，則BE＝x-，
Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
∴
解得：x1＝，x2＝(舍去)，
∴BE+DF＝2(x-)＝2(-)＝-≠2，即①錯(cuò)誤；
四邊形面積＝x2＝＝，即④正確．
故答案為：②③④．
14．已知二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則下列說法在確的有：_____．(填序號)
①該二次函數(shù)的圖象一定過定點(diǎn)；
②若該函數(shù)圖象開口向下，則m的取值范圍為：；
③當(dāng)且時(shí)，y的最小值為；
④當(dāng)，且該函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足時(shí)，m的取值范圍為：．
【答案】②③④
解：①y=(m-2)x2+2mx+m-3=m(x+1)2-2x2-3，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=-5，故該函數(shù)圖象一定過定點(diǎn)(-1，-5)，故①錯(cuò)誤；
②若該函數(shù)圖象開口向下，則m-2＜0，且△＞0，
△=b2-4ac=20m-24＞0，解得：m＞，且m＜2，
故m的取值范圍為：＜m＜2，故②正確；
③當(dāng)m＞2，函數(shù)的對稱軸在y軸左側(cè)，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y的最小值在x=0處取得，
故y的最小值為：(m-2)×0+2m×0+m-3=m-3，故③正確；
④當(dāng)m＞2，x=-4時(shí)，y=9m-35，x=-3時(shí)，y=4m-21，x=0時(shí)，y=m-3，當(dāng)x=-1時(shí)，y=-5，
當(dāng)-4＜x1＜-3時(shí)，則(9m-35)(4m-21)＜0，
解得：；
同理-1＜x2＜0時(shí)，m＞3，
故m的取值范圍為：，故④正確；
故答案為：②③④．
15．已知為一元二次方程的一個(gè)根，且，為有理數(shù)，則______，______．
【答案】； ；
解：∵




∴
∴
∴
∴
∴
∵，為有理數(shù)，
∴，也為有理數(shù)，
故當(dāng)時(shí)候，只有，，
∴，，
故答案是：，；
16．關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，其中是銳角的一個(gè)內(nèi)角；關(guān)于的方程的兩個(gè)根恰好是的兩邊長，則的周長是______．
【答案】16或
∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
∴sinA=，sinA=-(舍去)，
∵方程有兩個(gè)根，
∴，
∴，
∵，
∴m-2=0，
∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
當(dāng)∠A為等腰三角形的頂角時(shí)，過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，如圖1:

∵AB=AC=5，sinA=，
∴BD=ABsinA==4，AD==3，
∴DC=2，
∴BC==，
∴的周長是10+；
當(dāng)∠A為等腰三角形的底角時(shí)，過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，如圖2:

∵AB=BC=5，sinA=，
∴BE=ABsinA==4，AE==3，
∴AE=CE=3，
∴AC=6，
∴的周長是10+6=16；
故答案為：16或10+．
17．若實(shí)數(shù)a、b滿足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，則a+b的值_____．
【答案】8或
解：當(dāng)a＝b時(shí)，
由a2﹣8a+5＝0解得a＝4±，
∴a+b＝8±2；
當(dāng)a≠b時(shí)，
a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的兩根，
∴a+b＝8．
故答案為8或8±2．
18．已知α、β是方程x2－2x－1＝0的兩個(gè)根，則α2＋2β＝_____．
【答案】5
解：由題意可得：
∴
∴
∵α、β是方程x2－2x－1＝0的兩個(gè)根
∴
∴
∴α2＋2β=5
故答案是：5
19．若，且，，則(1)的值為______；(2)的值為_____．
【答案】4 1
(1)∵，且，，
∴a，b是一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴a+b=4,
故答案為：4；
利用根與系數(shù)關(guān)系定理求解即可；
(2)∵，，
∴，，
∴=，
∵，且，，
∴a，b是一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴a+b=4,ab=1，
∴==1，
故答案為：1．
20．關(guān)于x的一元二次方程x2+(k﹣3)x+1﹣k＝0的根的情況是_____．
【答案】有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
解：△＝(k﹣3)2﹣4(1﹣k)
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝(k﹣1)2+4，
∴(k﹣1)2+4＞0，即△＞0，
∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故答案為：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

21．已知拋物線．
(1)求拋物線的對稱軸；

(2)過點(diǎn)作y軸的垂線，與拋物線交于不同的兩點(diǎn)M，N(不妨設(shè)點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè))．
①當(dāng)時(shí)，求線段的長；
②當(dāng)時(shí)，若，求a的值；
③當(dāng)時(shí)，若，直接寫出a的取值范圍．
【答案】(1)；(2)①2；②；③或
解：(1)拋物線的對稱軸為；
(2)過點(diǎn)作y軸的垂線，與拋物線交于不同的兩點(diǎn)M，N，設(shè)，
①當(dāng)時(shí)，則、是的兩個(gè)根，∵a≠0，
∴，
∴；

=
=2；
②當(dāng)時(shí)，、是的兩個(gè)根，∵a≠0，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴解得，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，
當(dāng)時(shí)，方程的判別式，符合題意，
∴；
③當(dāng)時(shí)，、是的兩個(gè)根，∵a≠0，
∴，，
∴，即，
解得或，
∵，
∴，
若(M、N都不在y軸左側(cè))，則總成立，∴，
∴或，
∴或，
∵或，
∴或；
若(M在y軸左側(cè)，N不在y軸左側(cè))，，
解得，
∴，
∴變形為，
∴在y軸上，故舍去；
若(M、N都在y軸左側(cè))，
∵，
∴，
這與、是的兩個(gè)根，矛盾，這種情況不存在；
綜上所述，，則或．
22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(0，2)，動點(diǎn)P在y＝x的圖象上運(yùn)動(不與O重合)，連接AP．過點(diǎn)P作PQ⊥AP，交x軸于點(diǎn)Q，連接AQ．
(1)求線段AP長度的取值范圍；
(2)試問：點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，∠QAP是否為定值？如果是，求出該值；如果不是，請說明理由．
(3)當(dāng)△OPQ為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【答案】(1)；(2)是，30°；(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2+4，0)或(2﹣4，0)或(﹣2，0)或(，0)
解：(1)如圖1，作AH⊥OP，則AP≥AH，

∵點(diǎn)P在y＝x的圖象上，
∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°
∵A(0，2)
∴AH＝AO?sin60°＝
∴AP≥
(2)①當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，如圖2，

由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四點(diǎn)共圓，
∴∠PAQ＝∠POQ＝30°
②當(dāng)點(diǎn)P在第一象限的線段OH上時(shí)，如圖3
由∠QPA＝∠QOA＝90°可得Q、P、O、A四點(diǎn)共圓
∴∠PAQ+∠POQ＝180°，又此時(shí)∠POQ＝150°
∴∠PAQ＝180°﹣∠POQ＝30°
③當(dāng)點(diǎn)P在第一象限的線段OH的延長線上時(shí)，
由∠QPA＝∠QOA＝90°可得∠APQ+∠AOQ＝180°
∴Q、P、O、A四點(diǎn)共圓
∴∠PAQ＝∠POQ＝30°
(3)當(dāng)△OPQ為等腰三角形時(shí)，若點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，
設(shè)OQ＝m(m＞0)，則AQ2＝m2+22＝(2PQ)2，
∴PQ2＝，
過點(diǎn)Q作QN⊥OP于點(diǎn)N，如圖：

∵∠POQ＝30°，
∴ NQ＝OQ＝m，
，
在Rt△PQN中，
，
∴
∴
①OP＝OQ時(shí)，則m2
解得m＝2±4(負(fù)值不符合題意，舍去)
∴m＝2+4
②當(dāng)PO＝PQ時(shí)，則
解得：m＝0或m＝﹣2，都不符合題意；
③當(dāng)QO＝QP時(shí)，
則
解得：m＝(負(fù)值不符合題意，舍去)
∴m＝
若點(diǎn)Q在x軸的負(fù)半軸上，則OQ＝﹣m，
同理可得：m＝2﹣4或m＝
∴綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2+4，0)或(2﹣4，0)或(﹣2，0)或(，0)．
23．在二次函數(shù)的復(fù)習(xí)課中，關(guān)于x的二次函數(shù)()，師生共同探討得到以下4條結(jié)論：
(1)這個(gè)二次函數(shù)與x軸必有2個(gè)交點(diǎn)；
(2)二次函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位后經(jīng)過點(diǎn)，則；
(3)當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；
(4)當(dāng)時(shí)，，則，；
請判斷上述結(jié)論是否正確，并說明理由．
【答案】(1)錯(cuò)誤；(2)正確；(3)正確；(4)錯(cuò)誤．
解：(1)∵
∴
△=
故時(shí)，△=0，方程只有一個(gè)根
即此時(shí)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，故(1)說法錯(cuò)誤；
(2)拋物線的解析式為：向左平移2個(gè)單位后的解析式為
，即
把(-1，0)代入上式中得
即，
解得，
由于，故此說法正確；
(3)∵
∴，
∴二次函數(shù)的對稱軸：
又∵
∴二次函數(shù)的對稱軸且二次函數(shù)開口向上
∴二次函數(shù)在對稱軸左邊遞減，
∴當(dāng)，y隨x的增大而減小，此說法正確；
(4)∵
∴
∴
即當(dāng)，
∵時(shí)，
若，即時(shí)函數(shù)有最小值
即
又∵
∴
故當(dāng)時(shí)，，則，這種說法不正確；
綜上所述：(1)錯(cuò)誤；(2)正確；(3)正確；(4)錯(cuò)誤．
24．已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：這個(gè)方程的一根大于2，一根小于2；
(2)若對于時(shí)，相應(yīng)得到的一元二次方程的兩根分別為和和和，…，和和，試求的值．
【答案】(1)見解析；(2)
解：(1)證明：設(shè)方程的兩根是，，
則，，



，
，
，
即這個(gè)方程的一根大于2，一根小于2；
(2)，
對于，2，3，，2019，2020時(shí)，相應(yīng)得到的一元二次方程的兩根分別為和，和，和，，和，和，







．
25．閱讀如下材料，完成下列問題：
材料一：對于二次三項(xiàng)式求最值問題，有如下示例：
．因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，原式的最小值為2．
材料二：對于實(shí)數(shù)a，b，若，則．
完成問題：
(1)求的最小值；
(2)求的最大值；
(3)若實(shí)數(shù)m，n滿足．求的最大值．
【答案】(1)-5；(2)(3)
解：(1)，因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，原式的最小值為-5．
(2)，
當(dāng)取最小值時(shí)，原式最大，
由(1)可知，最小值為2，
此時(shí)的最大值為；
(3)∵，
∴，
，
或，
或，
=，
最大值是，的最大值為；
或=，
最大值是，的最大值為；
綜上，的最大值為
26．已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、．
(1)求的取值范圍
(2)若、滿足等式，求的值．
【答案】(1)且；(2)-1．
解：(1)∵關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、
∴，解得：且
(2)由題意可得：，
由(1)可得，∴
∴
，
∴
解得：(不合題意舍去)，
∴k的值為-1．
27．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
(1)求a的取值范圍；
(2)請你給出一個(gè)符合條件的a的值，并求出此時(shí)方程的解．
【答案】(1)；(2)此題答案不唯一，，，
解：(1)∵關(guān)于x的一元二次方程一般式為，
∴，
∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
．
，
；
(2)此題答案不唯一．如，
∴一元二次方程為，
因式分解得，
，．
∴當(dāng)時(shí)，方程的根為，．
28．已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
(1)求k的取值范圍；
(2)當(dāng)k取最大整數(shù)時(shí)，求此時(shí)方程的根．
【答案】(1)且；(2)
解：(1)∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴且．
．
∴且．
∴且．
(2)當(dāng)k取最大整數(shù)時(shí)，，
此時(shí)，方程為，
解得．
∴當(dāng)時(shí)，方程的根為．
29．解方程
(1)
(2)
(3)解方程：
【答案】(1)；(2)，；(3)無解
解(1)
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：
因式分解得：
所以
(2)
，，

所以此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，
(3)
方程兩邊乘得：

去括號得：

解一元一次方程得：

檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，
所以，是增根，原方程無解．
30．已知x1，x2是一元二次方程(a﹣6)x2+2ax+a＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
(1)求a的取值范圍；
(2)求使代數(shù)式(x1+1)(x2+1)值為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值；
(3)如果實(shí)數(shù)a，b滿足b＝+50，試求代數(shù)式x13+10x22+5x2﹣b的值．
【答案】(1)a≥0且a≠6；(2)a＝7，8，9，12；(3)1100
解：(1)∵關(guān)于x的一元二次方程(a﹣6)x2+2ax+a＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：a≥0且a≠6.
(2)∵x1，x2是一元二次方程(a﹣6)x2+2ax+a＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵(x1+1)(x2+1)＝x1+x2+x1x2+1＝﹣++1＝為負(fù)整數(shù)，
∴6﹣a＝﹣1，﹣2，﹣3，﹣6，
∴a＝7，8，9，12.
(3)∵b＝，
∴a＝5，b＝50，
∴方程﹣x2+10x+5＝0，
∴x1+x2＝10，x1x2＝﹣5，x12＝10x1+5，
∴原式＝x12?x1+10x22+5x2﹣b，
＝(10x1+5)?x1+10x22+5x2﹣50，
＝10(x12+x22)+5( x1+x2)﹣50，
＝10(x1+x2)2﹣20x1x2+5( x1+x2)﹣50，
＝10×102﹣20×(﹣5)+5×10﹣50，
＝1100．

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