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專題05二次函數(shù)的三種表示方式
專題綜述課程要求

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，是中考重點考查的內(nèi)容，也是高考必考內(nèi)容，同時還是一個研究函數(shù)性質(zhì)的很好的載體，因此做好二次函數(shù)的初高中銜接至關(guān)重要，初中階段對二次函數(shù)的要求，是立足于用代數(shù)方法來研究，比如配方結(jié)合頂點式，描述函數(shù)圖象的某些特征(開口方向、頂點坐標、對稱軸、最值)等；再比如待定系數(shù)法，通過解方程組的形式來求二次函數(shù)的解析式.
高中的函數(shù)立足于集合觀點，對二次函數(shù)的學(xué)習要求明顯提高，二次函數(shù)的研究更側(cè)重于數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法.
課程要求


《初中課程要求》
了解了一些簡單函數(shù)圖象的變換，如左加右減之類的水平平移，還了解了些簡單的對稱變換
《高中課程要求》
掌握各種平移變換，如左加右減的水平平移，上加下減的垂直平移，還要掌握各種對稱變換，特別是關(guān)于原點、坐標軸的對稱變換

知識精講


高中必備知識點1：一般式

形如下面的二次函數(shù)的形式稱為一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

高中必備知識點2：頂點式

形如下面的二次函數(shù)的形式稱為頂點式：y＝a(x-h)2＋k (a≠0)，其中頂點坐標是(h，k)．

高中必備知識點3：交點式

形如下面的二次函數(shù)的形式稱為交點式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標．
典例剖析


高中必備知識點1：一般式

【典型例題】
已知拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為x＝﹣1，且過點(﹣3，0)，(0，﹣3)．
(1)求拋物線的表達式．
(2)已知點(m，k)和點(n，k)在此拋物線上，其中m≠n，請判斷關(guān)于t的方程t2+mt+n＝0是否有實數(shù)根，并說明理由．
【答案】(1)y＝x2+2x﹣3；(2)方程有兩個不相等的實數(shù)根．
【解析】
(1)拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為x＝﹣1，且過點(﹣3，0)，(0，3)
9a﹣3b+c＝0

解得a＝1，b＝2，c＝﹣3
∴拋物線y＝x2+2x﹣3；
(2)∵點(m，k)，(n，k)在此拋物線上，
∴(m，k)，(n，k)是關(guān)于直線x＝﹣1的對稱點，
∴＝﹣1 即m＝﹣n﹣2
b2﹣4ac＝m2﹣4n＝(﹣n﹣2)2﹣4n＝n2+4＞0
∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根．

【變式訓(xùn)練】
拋物線的圖象如下，求這條拋物線的解析式。(結(jié)果化成一般式)

【答案】y=-x2+2x+3
【解析】由圖象可知拋物線的頂點坐標為(1，4)，
設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+4
把點(3，0)代入解析式，得：
4a+4，即a=-1
所以此函數(shù)的解析式為y=-(x-1)2+4
故答案是y=-x2+2x+3．

【能力提升】
如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y1=12x2先向右平移2個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線y2.

(1)求拋物線y2的解析式(化為一般式)；
(2)直接寫出拋物線y2的對稱軸與兩段拋物線弧圍成的陰影部分的面積.
【答案】(1) y=12x-22-2 ;(2)4.
【解析】
(1)∵拋物線y1=12x2的頂點坐標為0,0，把點0,0先向右平移2個單位，再向下平移2個單位后得到的點的坐標為2,-2，
∴拋物線y2的解析式為y=12x-22-2；
(2)∵頂點坐標為2,-2，且拋物線y2的對稱軸與兩段拋物線弧圍成的陰影部分的面積=S矩形OBAC，
∴拋物線y2的對稱軸與兩段拋物線弧圍成的陰影部分的面積=4.



高中必備知識點2：頂點式

【典型例題】
已知二次函數(shù)．
⑴用配方法將此二次函數(shù)化為頂點式；
⑵求出它的頂點坐標和對稱軸方程．
【答案】(1)；(2)(1，2)，直線
【解析】
(1)





(2)∵
∴頂點坐標為(1，2)，對稱軸方程為直線.

【變式訓(xùn)練】
已知二次函數(shù)的圖象的頂點是(﹣1，2)，且經(jīng)過(1，﹣6)，求這個二次函數(shù)的解析式．
【答案】二次函數(shù)的解析式為y=﹣2(x+1)2+2．
【解析】
∵二次函數(shù)的圖象的頂點是(﹣1，2)，
∴設(shè)拋物線頂點式解析式y(tǒng)=a(x+1)2+2，將(1，﹣6)代入得，a(1+1)2+2=﹣6，
解得a=﹣2，所以，這個二次函數(shù)的解析式為y=﹣2(x+1)2+2．

【能力提升】
二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，．
(1)求此二次函數(shù)的關(guān)系式；
(2)求此二次函數(shù)圖象的頂點坐標；
(3)填空：把二次函數(shù)的圖象沿坐標軸方向最少平移 個單位，使得該圖象的頂點在原點．
【答案】(1)；(2)(1，-4)；(3)5
【解析】
(1)設(shè)，把點，，代入得
，解得
∴；
(2)∵
∴函數(shù)的頂點坐標為(1，-4)；
(3)∵|1-0|+|-4-0|=5
∴二次函數(shù)的圖象沿坐標軸方向最少平移5個單位，使得該圖象的頂點在原點．


高中必備知識點3：交點式

【典型例題】
已知在平面直角坐標系中，二次函數(shù) y=x2+2x+2k﹣2 的圖象與 x 軸有兩個交點．
(1)求 k 的取值范圍；
(2)當 k 取正整數(shù)時，請你寫出二次函數(shù) y=x2+2x+2k﹣2 的表達式，并求出此二次函數(shù)圖象與 x 軸的兩個交點坐標．
【答案】(1)k＜32；(2)(﹣2，0)和(0,0).
【解析】
(1)∵圖象與x軸有兩個交點，
∴方程x2+2x+2k-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=b2-4ac>0，即4-42k-2>0， 解得 k

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