雙曲線的幾何性質(zhì) 【學(xué)習(xí)目標】1．了解雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，如范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率等。2．能用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)解決一些簡單問題。【學(xué)習(xí)重難點】雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運用。【學(xué)習(xí)過程】一、復(fù)習(xí)提問引入新課1．橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？2．雙曲線的兩種標準方程是什么？下面我們類比橢圓的幾何性質(zhì)來研究它的幾何性質(zhì)。二、類比聯(lián)想得出性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點）引導(dǎo)學(xué)生完成下列關(guān)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格：               三、漸近線雙曲線的范圍在以直線和為邊界的平面區(qū)域內(nèi)，那么從x，y的變化趨勢看，雙曲線與直線具有怎樣的關(guān)系呢？根據(jù)對稱性，可以先研究雙曲線在第一象限的部分與直線的關(guān)系。雙曲線在第一象限的部分可寫成：。         設(shè)是它上面的點，設(shè)點N是直線上與有相同橫坐標的點，則。設(shè)MQ是點M到直線的距離，則有。當x逐漸增大，并趨向于無窮大時，MN趨向于0，這說明，雙曲線在射線ON的下方，并無限接近于射線ON。在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情況。我們把兩條直線叫做雙曲線的漸近線。定義：直線叫做雙曲線的漸近線；直線叫做雙曲線的漸近線。四、離心率由于正確認識了漸近線的概念，對于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹一下雙曲線的離心率以及它對雙曲線的形狀的影響：1．雙曲線的焦距與實軸的比叫做雙曲線的離心率，且。2．由于，所以越大，也越大，即漸近線的斜率絕對值越大。這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊。這時，指出：焦點在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)可以類似得出，雙曲線的幾何性質(zhì)與坐標系的選擇無關(guān)，即不隨坐標系的改變而改變。五、練習(xí)1．已知雙曲線方程如下，求它們的兩個焦點、離心率e和漸近線方程。（1）；         （2）2．求雙曲線的標準方程：（1）實軸的長是10，虛軸長是8，焦點在x軸上；（2）焦距是10，虛軸長是8，焦點在y軸上；（3）離心率，經(jīng)過點；  （4）兩條漸近線的方程是，經(jīng)過點。3．求以橢圓的焦點為頂點，而以橢圓的頂點為焦點的雙曲線的方程。六、小結(jié)雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用。

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.6.2 雙曲線的幾何性質(zhì)

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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