（人教A版2019）高二數(shù)學(xué)選修二專題03 方法篇：求數(shù)列前n項的和（重難點突破）（課時訓(xùn)練）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題03 求數(shù)列的前n項和
A組基礎(chǔ)鞏固
1．（2022·江蘇·高二）已知數(shù)列的前項和為，若，則（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用裂項相消法求數(shù)列的和即可.
【詳解】
解：，
所以.
故選：C.
2．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學(xué)高二期末）已知等差數(shù)列，，，則數(shù)列的前100項和（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出的通項，再利用裂項相消法可求前100項和.
【詳解】
因為為等差數(shù)列且，，
故，故，
故數(shù)列的前100項和為，
故選：A.
3．（2021·天津市靜海區(qū)瀛海學(xué)校高三階段練習(xí)）數(shù)列中，，其前項和是，則=（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用裂項求和即可求解.
【詳解】
因為，
所以
，
故選：D.
4．（2021·江蘇·蘇州大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)）已知在前n項和為的數(shù)列中，，，則（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用并項求和法即可求解.
【詳解】
由，有，
則．
故選：C
5．（2021·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式，則數(shù)列的前5項和等于（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，以及分組求和的方法，即可求出結(jié)果.
【詳解】
因為，
所以則數(shù)列的前5項和.
故選：C
6．（2021·山東·棗莊八中高二階段練習(xí)）若數(shù)列的通項公式是，則（）
A．45 B．65 C．69 D．
【答案】B
【解析】
由題意可得，從而可得，進(jìn)而可得答案
【詳解】
因為，
所以，
則，
故選：B．
【點睛】
此題考查由數(shù)列的通項公式求一些項的和，利用了并項求和法，屬于基礎(chǔ)題
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和為（）
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋n－2 D．2n＋1＋n2－2
【答案】D
【解析】
根據(jù)數(shù)列{an}的通項公式是等差+等比的形式，采用分組求和的方法，以及等差、等比的前n項和公式，可得結(jié)果.
【詳解】
由題可知：設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為
所以
即
所以
故
故選：D
【點睛】
本題考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用，熟悉常用的數(shù)列求和的方法：裂項相消法，分組求和，公式法，錯位相減等，屬基礎(chǔ)題.
8．（2020·廣西·南寧三十六中高二階段練習(xí)）數(shù)列的前項和，則等于(　　)
A．171 B．21 C．10 D．161
【答案】D
【解析】
【詳解】
由題意得

．選D．
9．（2021·江西·九江一中高二階段練習(xí)（理））在數(shù)列中，，，則（）
A．224 B．226 C．482 D．508
【答案】B
【解析】
【分析】
先根據(jù)，利用累加法求得，再利用分組求和法求解.
【詳解】
因為數(shù)列，滿足，，
所以，
，
，
所以，
，
，
故選：B
10．（2021·黑龍江·勃利縣高級中學(xué)高三期中（理））“垛積術(shù)”是由北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛等．某倉庫中部分貨物堆放成如圖所示的“茭草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是n件．已知第一層貨物單價1萬元，從第二層起，貨物的單價是上一層單價的．若這堆貨物總價是萬元，則n的值為（）

A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
先依次求出各層貨物總價，再利用裂項抵消法進(jìn)行求解.
【詳解】
由題意，得第一層貨物總價為1萬元，第二層貨物總價為萬元，
第三層貨物總價為萬元，，第層貨物總價為萬元.
設(shè)這堆貨物總價為萬元，
則
，
兩式相減，得，
即，
則，
令，
得.
故選：B.
11．（2022·浙江杭州·高二開學(xué)考試）在數(shù)列{an}中，Sn為它前n項和，已知a2＝1，a3＝6，且數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列，則Sn＝__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的基本量求得，利用分組求和法即可求得結(jié)果.
【詳解】
令，由題可知：，又為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，
故，，故，解得；
則

.
故答案為：.
12．（2022·安徽·合肥一中高二期末）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的前2021項和為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意求出，代入中，再利用裂項相消即可求出答案.
【詳解】
由是等差數(shù)列且，可知：，
故.
，
數(shù)列的前2021項和為.
故答案為：.
13．（2022·山東泰安·高二期末）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前n項和______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出，利用裂項相消法求和.
【詳解】
因為數(shù)列滿足，，
所以數(shù)列為公差d=2的等差數(shù)列，所以，
所以
所以

.
故答案為：.
14．（2022·浙江嘉興·高二期末）已知數(shù)列的通項公式，則其前項和___________.
【答案】，
【解析】
【分析】
根據(jù)數(shù)列的通項公式，求和時采用分組求和法，利用等比數(shù)列的前n項和公式，求得答案.
【詳解】
因為，
所以

，
故答案為：，
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a5＝14，且a1，a3，a11成等比數(shù)列，設(shè)bn＝(－1)n＋1an，數(shù)列{bn}的前n項的和為Sn，則S2 021＝________.
【答案】3032
【解析】
【分析】
根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得，利用分組求和法求得.
【詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由于a1，a3，a11成等比數(shù)列，
∴，即(a5－2d)2＝(a5－4d)·(a5＋6d).
∴14d2＝3a5d.
又d≠0，a5＝14，知d＝3，
因此an＝a5＋(n－5)×3＝3n－1，bn＝(－1)n＋1(3n－1).
∴S2 021＝b1＋b2＋b3＋…＋b2 021
＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(b2 020＋b2 021)
.
故答案為：
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）學(xué)數(shù)學(xué)的人重推理愛質(zhì)疑，比如唐代詩人盧綸《塞下曲》：“月黑雁飛高，單于夜遁逃.欲將輕騎逐，大雪滿弓刀.”這是一首邊塞詩的名篇，講述了一次邊塞的夜間戰(zhàn)斗，既刻畫出邊塞征戰(zhàn)的艱苦，也透露出將士們的勝利豪情.這首詩歷代傳誦，而無人提出疑問，當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家華羅庚以數(shù)學(xué)家特有的敏感和嚴(yán)密的邏輯思維，發(fā)現(xiàn)了此詩的一些疑點，并寫詩質(zhì)疑，詩云：“北方大雪時，群雁早南歸.月黑天高處，怎得見雁飛？”但是，數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯誤，如法國數(shù)學(xué)家費馬于1640年提出了以下猜想是質(zhì)數(shù)，直到1732年才被善于計算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出不是質(zhì)數(shù).現(xiàn)設(shè)記，則數(shù)列的前項和___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，化簡數(shù)列通項公式，利用分組求和的方法求解即可.
【詳解】
依題意有代入
得，
所以
則有
故答案為：

B組能力提升
17．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高三開學(xué)考試）（多選題）在數(shù)列中，，前n項的和為Sn，則（）
A．的最大值為1 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
對于A：當(dāng)n=2時，有，對分正負(fù)進(jìn)行討論，利用基本不等式求出的最大值；
對于B、C：利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行判斷；
對于D：利用分組求和法直接求出，即可判斷.
【詳解】
對于A：當(dāng)n=2時，有，若時，由基本不等式可得：（時取等號），所以；若中有一個為0或負(fù)值時，；若時，不可能成立；故的最大值為1.故A正確；
對于B：數(shù)列中，，
當(dāng)n為奇數(shù)時，有，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；
對于C：當(dāng)n為偶數(shù)時，有，只有時，數(shù)列是等差數(shù)列，否則數(shù)列不是等差數(shù)列，故C不正確；
對于D：.
故D正確.
故選：ABD
18．（2022·山東萊西·高二期末）（多選題）已知數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列；是以為首項，為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的為（）
A． B．
C． D．若，則的最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】
求出數(shù)列、的通項公式，可求得的表達(dá)式，可判斷A選項；利用分組求和法可判斷B選項；設(shè)，利用數(shù)列的單調(diào)性求出數(shù)列的最大項的值，可判斷C選項；計算出、的值，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可判斷D選項.
【詳解】
由已知可得，，
對于A選項，，A對；
對于B選項，
，B錯；
對于C選項，由題意可知，，
令，則.
當(dāng)時，，即；
當(dāng)時，，即，即數(shù)列從第二項開始單調(diào)遞減，
所以，，即，故，C對；
對于D選項，，故數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，
因為，，即，D對.
故選：ACD.
19．（2022·湖南·高二期末）（多選題）設(shè)和分別為數(shù)列和的前n項和．已知，，則（）
A．是等比數(shù)列 B．是遞減數(shù)列
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用及求得的遞推關(guān)系式，確定數(shù)列性質(zhì)得出通項公式，求出后，可得其單調(diào)性，計算，由錯位相減求得后，利用的正負(fù)可得.，從而判斷各選項．
【詳解】
因為，所以當(dāng)時，，即，又，所以，即，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以．因為，所以，是遞減數(shù)列．
因為，所以．
①，②，
①－②得，
所以，所以，所以．
故選：ABD．
20．（2022·江蘇·高二）（多選題）已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的是（）
A．為等比數(shù)列
B．的通項公式為
C．為遞增數(shù)列
D．的前n項和
【答案】AB
【解析】
【分析】
將給定的遞推公式兩邊取倒數(shù)，構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項并逐項判斷作答.
【詳解】
因數(shù)列滿足，顯然，，
兩邊取倒數(shù)得：，即有，而，
因此，數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，A正確；
于是得，整理得，數(shù)列的通項公式為，B正確；
因，即數(shù)列是遞減數(shù)列，C不正確；
因，則，D不正確.
故選：AB
21．（2021·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）（多選題）在1261年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中提出了如圖所示的三角形數(shù)表，這就是著名的“楊輝三角”，它是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．從第1行開始，第n行從左至右的數(shù)字之和記為，如：的前n項和記為，依次去掉每一行中所有的1構(gòu)成的新數(shù)列，記為，的前n項和記為，則下列說法正確的是（）
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
…… …… …… ……
A． B．的前n項和為 C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求數(shù)列的通項公式，再利用等比數(shù)列的前n項和公式求，再利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和，再根據(jù)楊輝三角的特點確定在楊輝三角中的位置，通過與的關(guān)系求，由此確定正確選項.
【詳解】
從第一行開始，每一行的數(shù)依次對應(yīng)的二項式系數(shù)，為一個等比數(shù)列，，所以，故A錯誤；
的前n項和為
，故B正確；
去掉每一行中的1以后，每一行剩下的項數(shù)分別為構(gòu)成一個等差數(shù)列，項數(shù)之和為的最大整數(shù)為11，楊輝三角中取滿了第11行，第12行首位為1被去掉，取的就是第12行中的第三項，，故C正確；
，這11行中共去掉了22個1，，故D正確，
故選：BCD．
22．（2021·河北·衡水市冀州區(qū)第一中學(xué)高三期中）（多選題）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）
A．若，則數(shù)列的前2020項和為4040 B．?dāng)?shù)列是公比為8的等比數(shù)列
C． D．若，則數(shù)列的前2020項和為
【答案】AD
【解析】
【分析】
由分組求和可判斷A;由等比數(shù)列的定義可判斷B；由等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷C；由裂項相消可判斷D
【詳解】
等差數(shù)列的前項和為，若，，
設(shè)的公差為，則有，
解得，，故，
若，
則的前2020項，故A正確；
由，得，
令，則當(dāng)時，，
則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故B錯誤；
由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，故C錯誤；
若，則的前2020項和
，故D正確，
故選：AD.
23．（2021·四川省通江中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2Sn＝3an﹣3．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)，，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用來求得.
（2）利用裂項求和法求得.
(1)
依題意①，
當(dāng)時，.
當(dāng)時，②，
①-②得，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，
當(dāng)時，上式也符合，所以.
(2)
，.
所以.
24．（2021·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心一模）已知數(shù)列{}的前n項和滿足：．
(1)求數(shù)列{}的前3項；
(2)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(3)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)，令n＝1，2，3即可求出前三項；
(2)利用與的關(guān)系得到{}的遞推公式，從而可以證明，其中k為常數(shù)；
(3)根據(jù)(2)求出，從而求出，根據(jù)通項公式的特征，分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行求和，求和時采用分組求和法與錯誤相減法.
(1)
當(dāng)時，有：；
當(dāng)時，有：；
當(dāng)時，有：；
綜上可知；
(2)
由已知得：時，，
化簡得：
上式可化為：
故數(shù)列{}是以為首項，公比為2的等比數(shù)列.
(3)
由（2）知，∴，
∴
當(dāng)n為偶數(shù)時，
=
令，
①
②
則①②得

，
∴，=，
所以.
當(dāng)n為奇數(shù)時，，
，
所以.
綜上，.
25．（2022·河南焦作·一模（理））已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意列出方程求出公比可得；
（2）根據(jù)錯位相減法及分組求和即可得解.
(1)
設(shè)數(shù)列的公比為，，則.
由得，由得，
所以，解得或（舍去），
所以.
所以數(shù)列的通項公式為.
(2)
由條件知，設(shè)，
則，
將以上兩式相減得，
所以.
設(shè)，
則.
26．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的前n項和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）項和轉(zhuǎn)換可得，驗證，分析即得解；
（2）項和轉(zhuǎn)換可得，轉(zhuǎn)化，裂項相消法求和即得解
(1)
當(dāng)時，由
得，
兩式相減可得．
因為，符合上式
所以，故，
(2)
由（1）得，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，不符合上式，
故數(shù)列的通項公式為．
因此．
故當(dāng)時，．
當(dāng)
．
令，得，符合上式
綜上所述，．
27．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)高三期末（文））已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若3S3＝2S2＋S4，且a5＝32.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；
(2)設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
【答案】(1)an＝2n
(2)Tn＝－－
【解析】
【分析】
（1）轉(zhuǎn)化3S3＝2S2＋S4為2S3－2S2＝S4－S3，即，繼而可得公比、首項；
（2）可化簡得到，裂項相消法求和即得解
(1)
由3S3＝2S2＋S4，可得2S3－2S2＝S4－S3.
即
所以公比q＝2，又a5＝32，
故
an＝2n.
(2)
因為bn＝＝
所以Tn＝

28．（2022·山西呂梁·一模（文））已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿足.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
小問1：利用通項公式與的關(guān)系即可求出；
小問2：根據(jù)(1)可得，結(jié)合錯位相減法即可求出前n項和．
(1)
已知①
當(dāng)時，由解得
則當(dāng)時，，②
①②兩式相減得
整理得，
因為，所以
所以數(shù)列是以為首項，公差為2的等差數(shù)列
(2)
由（1）得，所以
所以

兩式相減得

所以
29．（2022·山西太原·高三期末（理））已知數(shù)列中，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）對條件進(jìn)行變形，證明出等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項公式；（2）分組求和及錯位相減法求和.
(1)
由條件可得，
又，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.
.
(2)
，
設(shè)，
則，
兩式相減，整理得，
所以.
30．（2022·福建省永春第一中學(xué)高二期末）已知數(shù)列的首項，且滿足.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）化簡得到，由此證得數(shù)列為等差數(shù)列.
（2）先求得，然后利用錯位相減求和法求得.
(1)
.又
數(shù)列是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列.
(2)
由（1）知：，
則數(shù)列的通項公式為，則，
①，
②，
①-②得：，
，
，
，
.