高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第一冊1.1 集合導(dǎo)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．2　常用邏輯用語1．2.1　命題新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.理解命題的概念與命題的判斷，理解命題的結(jié)構(gòu)，能判斷命題的真假數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理2.了解命題的否定與否命題的區(qū)別，會根據(jù)命題的真假求解參數(shù)邏輯推理 “紅豆生南國，春來發(fā)幾枝．愿君多采擷，此物最相思．”這是唐代詩人王維的《相思》詩．[問題]　(1)在這4句詩中，哪幾句是疑問句？哪幾句是陳述句？(2)疑問句、祈使句、感嘆句能否作為命題？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識點(diǎn)一　命題的定義及分類1．邏輯用語：在數(shù)學(xué)乃至科學(xué)中常用于引入概念、表述規(guī)律、推導(dǎo)定理法則或交流信息的詞語，經(jīng)過規(guī)范化使之意義更為清楚嚴(yán)謹(jǐn)，這類詞語叫做邏輯用語．2．命題的定義：可判斷真假的陳述句叫做命題．3．命題的分類：判斷為真(成立)的命題叫作真命題，判斷為假(不成立)的命題叫作假命題．4．猜想：數(shù)學(xué)中暫時(shí)不知道真假的命題可以叫作猜想．1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)“集合{a，b，c}有3個子集”是命題．(　　)(2)“x2－3x＋2＝0”是命題．(　　)答案：(1)√　(2)×2．語句“若a＝b，則a＋c＝b＋c”(　　)A．不是命題　　　　　　　 B．是真命題C．是假命題 D．不能判斷真假答案：B3．下列命題是真命題的是________(填序號)．①若a＝b，則a2＝b2；②若a2＝b2，則a＝b；③對頂角相等；④兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．答案：①③④知識點(diǎn)二　命題及其否定的結(jié)構(gòu)形式1．數(shù)學(xué)中，許多命題可表示為“如果p，那么q”或“若p，則q”的形式，其中叫作命題的條件，叫作命題的結(jié)論．2．命題的否定：如果p是一個命題，則“p不成立”也是一個命題，叫作p的否定，記作綈p，讀作“非p”．對一般命題若p，則q的否定為若，則綈q．3．命題的否定與原命題的真假性.命題p綈p真假假真寫出下列命題p的否定綈p：(1)p：3＋4>6；(2)p：2，3都是8的約數(shù)；(3)p：方程x2＋x＋1＝0至少有一個實(shí)數(shù)解．解：(1)綈p：3＋4≤6；(2)綈p：2，3不都是8的約數(shù)；(3)綈p：方程x2＋x＋1＝0沒有實(shí)數(shù)解．命題的概念[例1]　判斷下列語句是否是命題，并說明理由．(1)是有理數(shù)；(2)3x2≤5；(3)梯形是不是平面圖形呢？(4)一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是負(fù)數(shù)．[解]　(1)“是有理數(shù)”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題．(2)因?yàn)闊o法判斷“3x2≤5”的真假，所以它不是命題．(3)“梯形是不是平面圖形呢？”是疑問句，所以它不是命題．(4)“一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是負(fù)數(shù)”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題．判斷語句是否是命題的策略(1)命題是可以判斷真假的陳述句，因此，疑問句、祈使句、感嘆句等都不是命題；(2)對于含變量的語句，要注意根據(jù)變量的取值范圍，看能否判斷其真假，若能，就是命題；若不能，就不是命題．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練](2021·西安一中月考)下列語句中是命題的有______；是真命題的有________(填序號)．①這幅畫真漂亮！②求證是無理數(shù)；③正切函數(shù)是周期函數(shù)嗎？④并非所有的人都喜歡蘋果；⑤若x＝2，則x2－1>0.解析：①是感嘆句，不是命題．②是祈使句，不是命題．③是疑問句，不是命題．④是命題，有的人喜歡蘋果，也有人不喜歡蘋果，所以可判斷該陳述句的真假，故它是命題，并且是真命題．⑤是命題，x＝2時(shí)，x2－1＝3>0，可以判斷該陳述句的真假，故它是命題，并且是真命題．答案：④⑤　④⑤判斷命題的真假[例2]　(鏈接教科書第14頁例1)判斷下列命題的真假，并說明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)當(dāng)x＝4時(shí)，2x＋1<0；(3)若x＝3或x＝7，則(x－3)(x－7)＝0.[解]　(1)是真命題，由正方形的定義知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命題，x＝4不滿足2x＋1<0.(3)是真命題，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.命題真假的判定方法(1)真命題的判斷方法：要判斷一個命題是真命題，一般要有嚴(yán)格的證明或有事實(shí)依據(jù)，比如根據(jù)已學(xué)過的定義、公理、定理證明或根據(jù)已知的正確結(jié)論推證；(2)假命題的判斷方法：通過構(gòu)造一個反例否定命題的正確性，這是判斷一個命題為假命題的常用方法．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．(多選)下列命題是真命題的是(　　)A．若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)B．平面內(nèi)，四條邊相等的四邊形是正方形C．平行四邊形是梯形D．若ac2>bc2，則a>b解析：選AD　A、D是真命題；B.平面內(nèi)，四條邊相等的四邊形是菱形，但不一定是正方形；C.平行四邊形不是梯形．2．判斷下列命題的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，則a＋b≠c＋d；(2)若x∈N，則x3>x2成立；(3)若m>1，則方程x2－2x＋m＝0無實(shí)數(shù)根；(4)存在一個三角形沒有外接圓．解：(1)假命題．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命題．反例：當(dāng)x＝0時(shí)，x3>x2不成立．(3)真命題．∵m>1?Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0無實(shí)數(shù)根．(4)假命題．因?yàn)椴还簿€的三點(diǎn)確定一個圓，即任何三角形都有外接圓. 命題的結(jié)構(gòu)形式[例3]　將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假：(1)6是12和18的公約數(shù)的否定；(2)當(dāng)a>－1時(shí)，方程ax2＋2x－1＝0有兩個不等實(shí)根；(3)平行四邊形的對角線互相平分；(4)已知x，y為非零自然數(shù)，當(dāng)y－x＝2時(shí)，y＝4，x＝2.[解]　(1)若一個數(shù)是6，則它不是12和18的公約數(shù)，是假命題．(2)若a>－1，則方程ax2＋2x－1＝0有兩個不等實(shí)根，是假命題．(3)若一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相平分，是真命題．(4)已知x，y為非零自然數(shù)，若y－x＝2，則y＝4，x＝2，是假命題．將命題改寫為“若p，則q”形式的方法及原則[注意]　若判斷一個命題的真假性時(shí)，從原命題入手不易判斷時(shí)，可以考慮判斷該命題的否定的真假性，根據(jù)p與綈p的真假關(guān)系得出結(jié)論．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假．(1)奇數(shù)不能被2整除；(2)當(dāng)(a－1)2＋(b－1)2＝0時(shí)，a＝b＝1；(3)兩個相似三角形是全等三角形．解：(1)若一個數(shù)是奇數(shù)，則它不能被2整除，是真命題．(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，則a＝b＝1，是真命題．(3)若兩個三角形是相似三角形，則這兩個三角形是全等三角形，是假命題.由命題的真假求參數(shù)的范圍[例4]　(2021·蘇州檢測)已知集合A＝[－3，6)，B＝(－∞，a)，若A∩B＝?是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[解析]　法一：若A∩B＝?是真命題，則a≤－3，∴A∩B＝?是假命題時(shí)，a>－3.法二：若A∩B＝?是假命題，則A∩B≠?是真命題，即集合A，B有公共元素，在數(shù)軸上表示出兩個集合，易得a>－3.[答案]　(－3，＋∞)由命題的真假求參數(shù)的取值范圍的基本步驟第一步，明確命題的條件和結(jié)論；第二步，根據(jù)所學(xué)知識寫出命題為真時(shí)參數(shù)所滿足的條件；第三步，化簡相應(yīng)的條件，求出參數(shù)的取值范圍．[注意]　若求命題為假時(shí)參數(shù)的取值范圍，可求命題為真時(shí)參數(shù)取值范圍對應(yīng)的補(bǔ)集．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]若A＝{1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，則B?A成立是真命題，求實(shí)數(shù)a的值．解：∵集合A＝{1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，B?A成立是真命題．∴B＝?或B＝{1}或B＝{2}，∴a＝0或a＝1或a＝2.1．下列說法正確的是(　　)A．命題“直角相等”的條件和結(jié)論分別是“直角”和“相等”B．語句“當(dāng)a>4時(shí)，方程x2－4x＋a＝0有實(shí)根”不是命題C．命題“對角線互相垂直的四邊形是菱形”是真命題D．“x＝2時(shí)，x2－3x＋2＝0”是真命題解析：選D　命題“直角相等”寫成“若p，則q”的形式為：若兩個角都是直角，則這兩個角相等，所以選項(xiàng)A錯誤；語句“當(dāng)a>4時(shí)，方程x2－4x＋a＝0有實(shí)根”是陳述句，而且可以判斷真假，故該語句是命題，所以選項(xiàng)B錯誤；選項(xiàng)C錯誤，應(yīng)為“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”；選項(xiàng)D正確．2．(多選)下列命題是真命題的是(　　)A．所有質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)B．若 >，則a>bC．對任意的x∈N＋，都有x2≥x成立D．方程x2＋x＋2＝0有實(shí)根解析：選BC　選項(xiàng)A錯，因?yàn)?/span>2是偶數(shù)也是質(zhì)數(shù)；選項(xiàng)B正確；不論x取N＋內(nèi)的任何數(shù)，x2≥x恒成立，故C正確；選項(xiàng)D錯，因?yàn)?/span>Δ＝12－8＝－7<0，所以方程x2＋x＋2＝0無實(shí)根．3．將下列命題改寫為“若p，則q”的形式，并判斷真假．(1)當(dāng)a>b時(shí)，有ac2>bc2；(2)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)實(shí)數(shù)；(3)能被6整除的數(shù)既能被3整除也能被2整除．解：(1)若a>b，則ac2>bc2，是假命題．(2)若一個數(shù)是實(shí)數(shù)，則它的平方是非負(fù)實(shí)數(shù)，是真命題．(3)若一個數(shù)能被6整除，則它既能被3整除也能被2整除，是真命題．

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