2.1.3　基本不等式的應用 新課程標準解讀核心素養(yǎng)結合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題數學建模、數學運算 某養(yǎng)殖場要用100米的籬笆圍成一個矩形的雞舍，怎樣設計才能使雞舍面積最大？[問題]上述問題的實質是什么？如何求解？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識點　基本不等式與最值已知x，y都為正數，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y時，和x＋y有最小值2；(2)如果和x＋y是定值s，那么當且僅當x＝y時，積xy有最大值.利用基本不等式求最值要牢記：“一正”“二定”“三相等”(1)“一正”，即所求最值的各項必須都是正值，否則就容易得出錯誤的結果；(2)“二定”，即含變量的各項的和或積必須是定值(常數)．如果要求a＋b的最小值，那么ab必須是定值；要求ab的最大值，a＋b必須是定值；(3)“三相等”，即必須具備不等式中等號成立的條件，才能求得最大值或最小值．　　　　 x＋的最小值是2嗎？提示：當x>0時，x＋的最小值是2.當x<0時，x＋沒有最小值．1．已知0<x<1，則x(3－3x)取最大值時x的值為(　　)A.　　　　　　　 B．C.  D．解析：選A　∵0<x<1，∴1－x>0，∴x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3＝，當且僅當x＝1－x，即x＝時取等號．故當x＝時，x(3－3x)取得最大值．2．(2021·德州一中月考)設x>0，則y＝3－3x－的最大值為________．解析：∵x>0，∴3x＋≥2，∴－≤－2，∴y＝3－3x－≤3－2，當且僅當3x＝，即x＝時等號成立．故y有最大值為3－2.答案：3－2構造基本不等式求最值[例1]　(1)已知x＜，求y＝4x－2＋的最大值；(2)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值；(3)當x＞0時，求函數y＝的最大值．[解]　(1)∵x＜，∴5－4x＞0，∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，當且僅當5－4x＝，即x＝1時，等號成立，故當x＝1時，ymax＝1.(2)∵0＜x＜，∴1－2x＞0，∴y＝×2x(1－2x)≤×＝×＝，∴當且僅當2x＝1－2x，即x＝時，ymax＝.(3)∵x＞0，∴＝≤＝1，當且僅當x＝，即x＝1時取等號．故函數y＝的最大值為1.構造基本不等式求最值的方法利用基本不等式，通過恒等變形及配湊，使“和”或“積”為定值．常見的變形方法有拆、并、配．(1)拆——裂項拆項：對分子的次數不低于分母次數的分式進行整式分離——分離成整式與“真分式”的和，再根據分式中分母的情況對整式進行拆項，為應用基本不等式湊定積創(chuàng)造條件；(2)并——分組并項：目的是分組后各組可以單獨應用基本不等式，或分組后先對一組應用基本不等式，再在組與組之間應用基本不等式得出最值；(3)配——配式配系數：有時為了挖掘出“積”或“和”為定值，常常需要根據題設條件采取合理配式、配系數的方法，使配式與待求式相乘后可以應用基本不等式得出定值，或配以恰當的系數后，使積式中的各項之和為定值．　　　　 [跟蹤訓練]1．3x2＋的最小值是(　　)A．3－3　　　　　　　 B．3C．6  D．6－3解析：選D　3x2＋＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，當且僅當x2＝－1時等號成立，故選D.2．已知a＞0，b＞0，則4a＋b＋的最小值是(　　)A．2  B．2C．4  D．5解析：選C　∵a＞0，b＞0，∴4a＋b＋≥2＋＝4＋≥2＝4，當且僅當即a＝，b＝1時，等號成立，此時4a＋b＋取得最小值4.利用基本不等式求條件最值[例2]　已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．[解]　∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，當且僅當＝，即x＝4，y＝12時，上式取等號．故當x＝4，y＝12時，x＋y的最小值為16.[母題探究]1．(變條件)本例條件變?yōu)?/span>“x＞0，y＞0，2x＋8y＝xy”，其余不變，求x＋y的最小值．解：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0，y＝，∴x＋y＝x＋＝x＋＝(x－8)＋＋10≥2 ＋10＝18.當且僅當x－8＝，即x＝12時，等號成立，∴x＋y的最小值是18.2．(變條件，變設問)本例條件變?yōu)?/span>“x＋y＝1，x＞0，y＞0”，試求＋的最小值．解：由＋＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16，當且僅當9x2＝y2即y＝3x，得x＝，y＝時，取“＝”，∴＋的最小值為16.1．常值代換法求最值的方法步驟常值代換法適用于求解條件最值問題．應用此種方法求解最值的基本步驟為：(1)根據已知條件或其變形確定定值(常數)；(2)把確定的定值(常數)變形為1；(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值．2．若常值代換法不適用于條件最值時，則對條件變形，直接使用基本不等式，建立以目標函數為整體的不等式，解不等式可得最值．　　　　 [跟蹤訓練]1．已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，則p＝x＋＋y＋的最小值為(　　)A．3  B．4C．5  D．6解析：選C　p＝x＋＋y＋＝3＋＋≥3＋2＝5，當且僅當x＝y＝時等號成立．2．若a＞0，且a＋b＝0，則a－＋1的最小值為________．解析：由a＋b＝0，且a＞0，得b＝－a，－＝＞0，所以a－＋1＝a＋＋1≥3，當且僅當a＝1，b＝－1時取等號．答案：3 利用基本不等式解應用題[例3]　(鏈接教科書第40頁例9、例10)某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200 m2的三級污水處理池(平面圖如圖所示)．如果池四周圍墻建造單價為400 元/m，中間兩道隔墻建造單價為248 元/m，池底建造單價為80 元/m2，水池所有墻的厚度忽略不計．試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價．       [解]　設隔墻的長度為x m，總造價的函數為y元，則隔墻造價為2x×248＝496x元，池底造價為200×80＝16 000元，四周圍墻造價為×400＝800×元．因此，總造價為y＝496x＋800＋16 000(0＜x＜50)＝1 296x＋＋16 000≥2 ＋16 000＝28 800＋16 000＝44 800.當且僅當1 296x＝，即x＝時，等號成立．這時，污水池的長為18 m.故當污水池的長為18 m，寬為 m時，總造價最低，最低為44 800元．求實際問題中最值的解題4步驟(1)先讀懂題意，設出變量，理清思路，列出等量關系式；(2)把實際問題抽象成符合基本不等式的最大值或最小值問題；(3)利用基本不等式求最值；(4)正確寫出答案．　　　　 [跟蹤訓練]用一段長為36 m的籬笆圍成一個矩形菜園，求這個矩形菜園的最大面積．解：設矩形菜園的長和寬分別為x m，y m，x＞0，y＞0，面積為S m2，由題意得2(x＋y)＝36，∴x＋y＝18.∵x＞0，y＞0，∴S＝xy≤＝＝81，當且僅當x＝y＝9時取“＝”，∴當長和寬都為9 m時，菜園面積最大，最大面積為81 m2.1．(多選)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則對于＋(　　)A．取得最值時a＝  B．最大值是5C．取得最值時b＝  D．最小值是解析：選AD　因為a＋b＝2，令y＝＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，當且僅當＝，且a＋b＝2，即a＝，b＝時，取“＝”．2．已知實數x，y滿足x＞0，y＞0，且＋＝1，則x＋2y的最小值為(　　)A．2  B．4C．6  D．8解析：選D　∵x＞0，y＞0，且＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，當且僅當＝，＋＝1，即x＝4，y＝2時等號成立．3.(x＞1)的最小值為________．解析：令y＝，則y＝＝x＋1＋＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝2×3＋2＝8，當且僅當x－1＝，即x＝4時等號成立．故(x＞1)的最小值為8.答案：84．某公司購買一批機器投入生產，據市場分析，每臺機器生產的產品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉時間x(單位：年)的關系為y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，則當每臺機器運轉________年時，年平均利潤最大，最大值是________萬元．解析：每臺機器運轉x年的年平均利潤為＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，當且僅當x＝5時等號成立，此時年平均利潤最大，最大值為8萬元．答案：5　8

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2.1 相等關系與不等關系

版本： 湘教版（2019）

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