2．2　從函數(shù)觀點看一元二次方程 新課程標(biāo)準解讀核心素養(yǎng)會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實數(shù)根的存在性及實數(shù)根的個數(shù)，了解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理 函數(shù)與方程有著一定的聯(lián)系，如一次函數(shù)y＝ax＋b與一元一次方程ax＋b＝0之間關(guān)系的探究：  a>0a<0一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象一元一次方程ax＋b＝0的根有一個實數(shù)根有一個實數(shù)根發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)就是對應(yīng)方程的解．[問題]　你能否對二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)和對應(yīng)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解建立聯(lián)系？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識點一　方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的實數(shù)根與函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的實數(shù)x叫作該方程的實數(shù)根．同時x也叫作y＝ax2＋bx＋c的零點．即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)根就是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點也就是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．函數(shù)的零點不是點，而是一個實數(shù)，是函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，也是函數(shù)值為零時自變量x的值，也是函數(shù)相應(yīng)的方程的實數(shù)根．　　　　 函數(shù)y＝x2－3x＋2的零點是________．解析：由x2－3x＋2＝0得x1＝1，x2＝2，故函數(shù)y＝x2－3x＋2的零點為1和2.答案：1和2知識點二　一元二次方程的根、二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的零點之間的關(guān)系當(dāng)a>0時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點之間的關(guān)系如表所示： 判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0的根有兩個相異的實數(shù)根x1，2＝有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－沒有實數(shù)根二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點有兩個零點x1，2＝有一個零點x＝－無零點 1．從代數(shù)角度思考，函數(shù)的零點如何求？提示：直接解函數(shù)對應(yīng)的方程，它的相異的實數(shù)根就是函數(shù)的零點．2．從函數(shù)的圖象看，函數(shù)的零點如何求？提示：從函數(shù)的圖象看，函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，就是相應(yīng)函數(shù)的零點．1．函數(shù)y＝(x－1)(x2＋x－2)的零點是________．答案：1，－22．函數(shù)y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零點的個數(shù)為________．解析：由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函數(shù)零點的個數(shù)為2.答案：2 二次函數(shù)的零點與對應(yīng)方程的實根[例1]　(鏈接教科書第46頁例2)(1)二次函數(shù)y＝x2－7x＋12的零點為________；(2)若函數(shù)y1＝x2－ax－b的圖象如圖所示，則函數(shù)y2＝bx2－ax－1的零點是________．[解析]　(1)由x2－7x＋12＝0得x1＝3，x2＝4.所以函數(shù)y＝x2－7x＋12的零點為3和4.(2)由題圖可知函數(shù)y1＝x2－ax－b的零點是2和3，由函數(shù)的零點與對應(yīng)方程根的關(guān)系知方程x2－ax－b＝0的兩根為2和3，再由根與系數(shù)的關(guān)系得a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，即a＝5，b＝－6.所以y2＝－6x2－5x－1，易得y2＝－6x2－5x－1的零點為－和－.[答案]　(1)3和4　(2)－和－二次函數(shù)零點的求法(1)代數(shù)法：求出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的實數(shù)根，即為函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點；(2)幾何法：對于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以將它與對應(yīng)函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)求零點．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]求下列函數(shù)的零點．(1)y＝3x2－2x－1；(2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)；(3)y＝ax2＋bx＋c，其圖象如圖所示．解：(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函數(shù)y＝3x2－2x－1的零點為1和－.(2)①當(dāng)a＝0時，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函數(shù)的零點為－1.②當(dāng)a≠0時，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1，又－(－1)＝.當(dāng)a＝－時，x1＝x2＝－1，函數(shù)有唯一的零點－1.當(dāng)a≠－且a≠0時，x1≠x2，函數(shù)有兩個零點－1和.綜上：當(dāng)a＝0或－時，函數(shù)的零點為－1.當(dāng)a≠－且a≠0時，函數(shù)有兩個零點－1和.(3)由圖象可知，函數(shù)有兩個零點－1和3.函數(shù)的零點個數(shù)的判斷與證明[例2]　(鏈接教科書第45頁例1)若a>2，求證： 函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有兩個零點．[證明]　因為Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)，又a>2，所以Δ>0，所以函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有兩個零點．[母題探究](變設(shè)問)求函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零點的充要條件．解：因為函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零點．當(dāng)a＝2時，方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0無解．函數(shù)無零點．當(dāng)a≠2時，因為函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零點，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有實數(shù)根．所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0.即或解得a≥2或a≤－2，又a≠2所以a>2或a≤－2，所以函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零點的充要條件為a>2或a≤－2.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點個數(shù)的判斷對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式Δ＝b2－4ac.(1)Δ>0?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有兩個零點；(2)Δ＝0?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一個零點；(3)Δ<0?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)無零點．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]求證：函數(shù)y＝ax2－x－a(a∈R)有零點．證明：當(dāng)a＝0時，y＝－x，該函數(shù)有零點0；當(dāng)a≠0時，對于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2>0，函數(shù)y＝ax2－x－a有兩個零點．綜上，函數(shù)y＝ax2－x－a(a∈R)有零點.二次函數(shù)零點的分布探究[例3]　(1)判斷二次函數(shù)y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零點；(2)若二次函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的兩個零點均為正數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．[解]　(1)由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋，x2＝－1－，因為－3<－1－<－2，所以二次函數(shù)y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)存在零點．(2)因為函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4的兩個零點均為正數(shù)，所以(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有兩個正實數(shù)根．顯然a≠2.由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得即所以a≤－2，即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)零點的分布探究結(jié)合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判別式Δ＝b2－4ac和根與系數(shù)的關(guān)系處理：(1)?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有兩個正零點；　　　　 (2)?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有兩個負零點；(3)x1x2<0?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有兩個異號零點．[跟蹤訓(xùn)練]已知函數(shù)y＝x2－x－a2＋a(a∈R)．(1)若該函數(shù)有兩個不相等的正零點，求a的取值范圍；(2)若該函數(shù)有兩個零點，一個大于1，另一個小于1，求a的取值范圍．解：由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a，(1)因為該函數(shù)有兩個不相等的正零點，所以解得0<a<或<a<1，所以a的取值范圍是∪.(2)因為函數(shù)有兩個零點，一個大于1，另一個小于1，所以或解得a>1或a<0.所以a的取值范圍是(－∞，0)∪(1，＋∞)．1．已知某一元二次函數(shù)的圖象與函數(shù)y＝2x2的圖象的形狀一樣，開口方向相反，且其頂點為(－1，3)，則此函數(shù)的解析式為(　　)A．y＝2(x－1)2＋3　　　　　 B．y＝2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋3  D．y＝－2(x＋1)2＋3解析：選D　設(shè)所求函數(shù)的解析式為y＝－2(x＋h)2＋k，根據(jù)頂點為(－1，3)，可得h＝1，且k＝3，故所求的函數(shù)解析式為y＝－2(x＋1)2＋3，故選D.2．已知：p：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有兩個異號實數(shù)根，q：ac<－1，則p是q的________條件．解析：因為關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有兩個異號實數(shù)根?x1x2＝<0?ac<0，所以p是q的必要不充分條件．答案：必要不充分 3．討論函數(shù)y＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零點．解：當(dāng)a＝0時，函數(shù)為y＝－x＋2，則函數(shù)的零點為2；當(dāng)a＝時，則(x－2)＝0，解得x1＝x2＝2，則函數(shù)的零點為2；當(dāng)a≠0且a≠時，由(ax－1)(x－2)＝0，解得x1＝，x2＝2，則函數(shù)的零點為和2.

相關(guān)學(xué)案

高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第一冊2.2 從函數(shù)觀點看一元二次方程導(dǎo)學(xué)案及答案：

這是一份高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第一冊2.2 從函數(shù)觀點看一元二次方程導(dǎo)學(xué)案及答案，共9頁。

高中數(shù)學(xué)4.1 實數(shù)指數(shù)冪和冪函數(shù)學(xué)案設(shè)計：

這是一份高中數(shù)學(xué)4.1 實數(shù)指數(shù)冪和冪函數(shù)學(xué)案設(shè)計，共10頁。

高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第一冊第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1 函數(shù)學(xué)案：

這是一份高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第一冊第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1 函數(shù)學(xué)案，共8頁。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

2020-2021學(xué)年2.2對數(shù)函數(shù)導(dǎo)學(xué)案

2020-2021學(xué)年2.2對數(shù)函數(shù)導(dǎo)學(xué)案
2020-2021學(xué)年第3章 不等式3.3 從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式學(xué)案設(shè)計

2020-2021學(xué)年第3章 不等式3.3 從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式學(xué)案設(shè)計
高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第一冊3.3 從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式優(yōu)質(zhì)學(xué)案

高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第一冊3.3 從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式優(yōu)質(zhì)學(xué)案
蘇教版 (2019)必修 第一冊第3章 不等式3.3 從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式優(yōu)質(zhì)學(xué)案設(shè)計

蘇教版 (2019)必修 第一冊第3章 不等式3.3 從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式優(yōu)質(zhì)學(xué)案設(shè)計
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第一冊電子課本

2.2 從函數(shù)觀點看一元二次方程

版本： 湘教版（2019）

年級： 必修 第一冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部