2．1　相等關(guān)系與不等關(guān)系2．1.1　等式與不等式 新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)邏輯推理 第一課時　不等關(guān)系與大小比較(1)如圖，某城市的高樓有高、有矮，有的高度相同．(2)任意兩個實(shí)數(shù)之間有三種關(guān)系：a＞b，a＝b，a＜b.(3)在日常生活中，糖水中加些糖后就會變的更甜．[問題]　通過以上三例我們可以發(fā)現(xiàn)在客觀世界中，量與量之間的關(guān)系有哪些？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識點(diǎn)一　等式與不等式1．等式與不等式的概念 等式不等式定義表示兩個數(shù)或兩個數(shù)學(xué)表達(dá)式相等的式子表示兩個數(shù)或兩個數(shù)學(xué)表達(dá)式不等的式子連接符號“＝”“≠”“>”“<”“≥”“≤”2.不等式中文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于，高于，超過小于，低于，少于大于或等于，至少，不低于小于或等于，至多，不多于，不超過符號語言 不等式a≥b讀作“a大于或等于b”，其含義是指“a＞b或a＝b”，等價于“a不小于b”，即a＞b或a＝b中有一個正確，則a≥b正確．　　　　 1．某路段豎立的的警示牌，是指示司機(jī)通過該路段時，車速v km/h應(yīng)滿足的關(guān)系式為(　　)A．v＜60　　　　　 B．v＞60C．v≤60  D．v≥36答案：C2．一個兩位數(shù)，個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，且這個兩位數(shù)大于70，用不等式表示為________．答案：10y＋x＞70知識點(diǎn)二　實(shí)數(shù)大小比較的基本事實(shí)1．文字?jǐn)⑹?/span>如果a－b>0，那么a>b；如果a－b＝0，那么a＝b；如果a－b<0，那么a<b.2．符號表示a－b>0?ab；a－b＝0?ab；a－b<0?ab.1．在比較兩實(shí)數(shù)a，b大小的依據(jù)中，a，b兩數(shù)是任意實(shí)數(shù)嗎？提示：是．2．p?q的含義是什么？提示：p?q的含義是：p可以推出q，q也可以推出p，即p與q可以互推．1．設(shè)m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，則m，n的大小關(guān)系是________．答案：m≥n2．若實(shí)數(shù)a＞b，則a2－ab________ba－b2.(填“＞”或“＜”)答案：＞用不等式(組)表示不等關(guān)系[例1]　(鏈接教科書第32頁問題1、2)(1)某車工計(jì)劃在15天里加工零件408個，最初三天中，每天加工24個，則以后平均每天至少需加工多少個，才能在規(guī)定的時間內(nèi)超額完成任務(wù)？列出解決此問題需要構(gòu)建的不等關(guān)系式；(2)用一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18 m，要求菜園的面積不小于110 m2，靠墻的一邊長為x m．試用不等式表示其中的不等關(guān)系．[解]　(1)設(shè)該車工3天后平均每天需加工x個零件，加工(15－3)天共加工12x個零件，15天里共加工(3×24＋12x)個零件，則3×24＋12x>408.故不等關(guān)系表示為72＋12x>408.(2)由于矩形菜園靠墻的一邊長為x m，而墻長為18 m，所以0<x≤18，這時菜園的另一條邊長為＝(m)．因此菜園面積S＝x，依題意有S≥110，即x≥110，故該題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為1．將不等關(guān)系表示成不等式(組)的思路(1)讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量；(2)用適當(dāng)?shù)牟坏忍栠B接；(3)多個不等關(guān)系用不等式組表示．2．用不等式(組)表示不等關(guān)系時應(yīng)注意的問題在用不等式(組)表示不等關(guān)系時，應(yīng)注意必須是具有相同性質(zhì)，可以進(jìn)行比較時，才可用，沒有可比性的兩個(或幾個)量之間不能用不等式(組)來表示．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．雷電的溫度大約是28 000 ℃，比太陽表面溫度的4.5倍還要高．設(shè)太陽表面溫度為t ℃，那么t應(yīng)滿足的關(guān)系式是________．解析：由題意得，太陽表面溫度的4.5倍小于雷電的溫度，即4.5t<28 000.答案：4.5t<28 0002．某汽車公司因發(fā)展需要，需購進(jìn)一批汽車，計(jì)劃使用不超過1 000萬元的資金購買單價分別為40萬元、90萬元的A型汽車和B型汽車，根據(jù)需要，A型汽車至少買5輛，B型汽車至少買6輛，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式(組)．解：設(shè)購買A型汽車和B型汽車分別為x輛、y輛，則作差法比較大小[例2]　(鏈接教科書第33頁例1)(1)已知x<1，比較x3－1與2x2－2x的大??；(2)已知a>0，試比較a與的大小．[解]　(1)(x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1).∵x<1，∴x－1<0.又＋>0，∴(x－1)<0.即x3－1<2x2－2x.(2)∵a－＝＝，又∵a>0，∴當(dāng)a>1時，>0，有a>；當(dāng)a＝1時，＝0，有a＝；當(dāng)0<a<1時，<0，有a<.綜上，當(dāng)a>1時，a>；當(dāng)a＝1時，a＝；當(dāng)0<a<1時，a<.作差法比較大小的步驟[注意]　上述步驟可概括為“三步一結(jié)論”，這里的“判斷符號”是目的，“變形”是關(guān)鍵．其中變形的技巧較多，常見的有因式分解法、配方法、有理化法等．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．設(shè)a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，則(　　)A．a＞b　　　　　 B．a＜bC．a≥b  D．a≤b解析：選C　a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.2．已知x>y>0，試比較x3－2y3與xy2－2x2y的大小．解：由題意，知(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2－y2)·(x＋2y)＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)，∵x>y>0，∴x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0，∴(x3－2y3)－(xy2－2x2y)>0，即x3－2y3>xy2－2x2y.不等關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用[例3]　(鏈接教科書第33頁例2)2020年12月26日某單位職工去瞻仰毛澤東紀(jì)念館需包車前往．甲車隊(duì)說：“如果領(lǐng)隊(duì)買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”，乙車隊(duì)說：“你們屬團(tuán)體票，按原價的8折優(yōu)惠．”這兩車隊(duì)的原價、車型都是一樣的，試根據(jù)單位的人數(shù)，比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠．[解]　設(shè)該單位職工有n人(n∈N＋)，全票價為x元，坐甲車隊(duì)的車需花y1元，坐乙車隊(duì)的車需花y2元．由題意，得y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx.因?yàn)?/span>y1－y2＝x＋nx－nx＝x－nx＝x，當(dāng)n＝5時，y1＝y2；當(dāng)n＞5時，y1＜y2；當(dāng)n＜5時，y1＞y2.所以，當(dāng)單位去的人數(shù)為5人時，兩車隊(duì)收費(fèi)相同；多于5人時，選甲車隊(duì)更優(yōu)惠；少于5人時，選乙車隊(duì)更優(yōu)惠．現(xiàn)實(shí)生活中的許多問題都能夠用不等式解決，其解題思路是將解決的問題轉(zhuǎn)化成不等關(guān)系，利用作差法比較大小，進(jìn)而解決實(shí)際問題．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]某公司有20名技術(shù)人員，計(jì)劃開發(fā)A，B兩類共50件電子器件，每類每件所需人員和預(yù)計(jì)產(chǎn)值如下：電子器件種類每件需要人員數(shù)每件產(chǎn)值(萬元/件)A類7.5B類6 今制訂計(jì)劃欲使總產(chǎn)值最高，則A類電子器件應(yīng)開發(fā)________件，最高產(chǎn)值為________萬元．解析：設(shè)應(yīng)開發(fā)A類電子器件x件，則開發(fā)B類電子器件(50－x)件．根據(jù)題意，得＋≤20，解得x≤20.由題意，得總產(chǎn)值y＝7.5x＋6(50－x)＝300＋1.5x≤330，當(dāng)且僅當(dāng)x＝20時，y取最大值330.所以欲使總產(chǎn)量最高，A類電子器件應(yīng)開發(fā)20件，最高產(chǎn)值為330萬元．答案：20　3301．下列說法正確的是(　　)A．x為非正數(shù)可表示為“x≥0”B．小華的實(shí)際年齡n不足18歲，表示為“n≤18”C．兩數(shù)x，y的平方和不小于2，表示為“x2＋y2≥2”D．甲數(shù)a比乙數(shù)b大，表示為“a≥b”答案：C2．某校對高一美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成績x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式表示就是(　　)A.　　　　　　 B.C.   D.解析：選D　“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超過”即“＞”，∴x≥95，y＞380，z＞45.3．不等式a2＋4≥4a中，等號成立的條件為________．解析：令a2＋4＝4a，則a2－4a＋4＝0，即(a－2)2＝0，∴a＝2.答案：a＝24．已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，試比較x與y的大小．解：因?yàn)?/span>x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，所以當(dāng)a＞b時，x－y＞0，所以x＞y；當(dāng)a＝b時，x－y＝0，所以x＝y；當(dāng)a＜b時，x－y＜0，所以x＜y.

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高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第一冊電子課本

2.1 相等關(guān)系與不等關(guān)系

版本： 湘教版（2019）

年級： 必修 第一冊

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