2．1.2　基本不等式 新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)掌握基本不等式≤(a>0，b≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立)邏輯推理 如圖，是2002年8月在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)．它依據(jù)我國著名數(shù)學(xué)家趙爽在研究勾股定理的弦圖進(jìn)行設(shè)計，顏色的明暗使其看起來像一個風(fēng)車．[問題]　依據(jù)會標(biāo)，你能找到一些相等或不等關(guān)系嗎？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識點　基本不等式1．算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)對于正數(shù)a，b，把稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)；稱為a，b的幾何平均數(shù)．2．定理對任意a，b∈R，必有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立．推論：對任意a，b≥0，必有，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立．上述定理和推論中的不等式稱為基本不等式．1．不等式a2＋b2≥2ab與≥的比較(1)兩個不等式a2＋b2≥2ab與≥成立的條件是不同的．前者要求a，b是實數(shù)即可，而后者要求a，b都是正實數(shù)(實際上后者只要a≥0，b≥0即可)；(2)兩個不等式a2＋b2≥2ab和≥都是帶有等號的不等式，都是“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立”．2．基本不等式的常見變形(1)a＋b≥2；(2)ab≤≤(其中a>0，b>0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立)．　　　　 1．下列不等式正確的是(　　)A．a＋≥2　　　　　 B．(－a)＋≤－2C．a2＋≥2  D．(－a)2＋≤－2答案：C2．若x＞0，則y＝＋x的最小值為________．解析：∵x＞0，＞0，∴y＝x＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝2時，等號成立，故ymin＝4.答案：4對基本不等式的理解[例1]　判斷下列兩個推導(dǎo)過程是否正確：(1)∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2 ＝4；(2)∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2 ＝－2.[解]　(1)由于a∈R，a≠0，不符合基本不等式的使用條件，故(1)的推導(dǎo)是錯誤的．(2)由xy＜0，知，均為負(fù)數(shù)，在推導(dǎo)過程中，將其轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù)－，－后，符合基本不等式的使用條件，故(2)的推導(dǎo)正確．應(yīng)用基本不等式時，注意下列兩個常見變形中等號成立的條件：(1)＋≥2(a，b同號)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號；＋≤－2(a，b異號)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－b時取等號；(2)a＋≥2(a＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時取等號；a＋≤－2(a＜0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－1時取等號．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]下列結(jié)論正確的是(　　)A．若x∈R，且x≠0，則＋x≥4B．當(dāng)x＞0時，＋≥2C．當(dāng)x≥2時，x＋的最小值為2D．當(dāng)0＜x≤2時，x－無最大值解析：選B　對于選項A，當(dāng)x＜0時，＋x≥4顯然不成立；對于選項B，符合應(yīng)用均值不等式的三個基本條件“一正，二定，三相等”；對于選項C，忽視了驗證等號成立的條件，即x＝，則x＝±1，均不滿足x≥2；對于選項D，有最大值2－＝. 應(yīng)用基本不等式證明不等式[例2]　(鏈接教科書第38頁例5、例6)已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求證：≥8.[證明]　因為a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，所以－1＝＝≥，同理－1≥，－1≥.上述三個不等式兩邊均為正，由不等式同向同正可乘性，分別相乘，得≥··＝8.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時，等號成立．[母題探究]1．(變設(shè)問)在本例條件下，求證：＋＋≥9.證明：因為a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時，等號成立．2．(變條件，變設(shè)問)本例條件變?yōu)?/span>“a＋b＝1，a＞0，b＞0”，求證≥9.證明：∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴＝＝＝5＋2≥5＋4＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，等號成立．∴≥9.利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項(1)策略：從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；(2)注意事項：①多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立；②累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時注意使用；③對不能直接使用基本不等式證明的可重新組合，構(gòu)成基本不等式模型再使用．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練](2019·全國卷Ⅰ節(jié)選)已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1.證明：＋＋≤a2＋b2＋c2.證明：因為a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時，等號成立．所以＋＋≤a2＋b2＋c2. 利用基本不等式求最值[例3]　(鏈接教科書第38頁例7)(1)已知x>2，則x＋的最小值為________；(2)若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，則＋的最小值為________．[解析]　(1)因為x>2，所以x－2>0，所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝，即x＝4時，等號成立．所以x＋的最小值為6.(2)因為x＞0，y＞0，x＋4y＝1，所以＋＝＋＝5＋＋≥5＋2 ＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝，y＝時取等號．[答案]　(1)6　(2)9在利用基本不等式求最值時注意以下3點(1)要保證a，b>0；(2)a＋b或ab是一個定值；(3)只有a＝b時，基本不等式中的等號才成立，只有等號成立時，才有最值．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]求下列式子的最值：(1)y＝3x2＋；(2)y＝x(3－x)(0＜x＜3)．解：(1)y＝3x2＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)3x2＝，即x＝±時取等號，所以y＝3x2＋有最小值.(2)因為0＜x＜3，所以x＞0，3－x＞0，所以y＝x(3－x)≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3－x，即x＝時取等號．所以y＝x(3－x)(0＜x＜3)有最大值.1．(多選)下列說法中正確的是(　　)A．a2＋b2≥2ab成立的條件是a≥0，b≥0B．a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈RC．a＋b≥2成立的條件是a≥0，b≥0D．a＋b≥2成立的條件是ab＞0解析：選BC　根據(jù)不等式成立的條件可知只有B、C正確，故選B、C.2．若a＞0，b＞0，a＋2b＝5，則ab的最大值為(　　)A．25　　　　　　　 B．C.  D．解析：選D　a＞0，b＞0，a＋2b＝5，則ab＝a·2b≤×＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時取等號，故選D.3．已知x<0，則x＋－2有(　　)A．最大值為0  B．最小值為0C．最大值為－4  D．最小值為－4解析：選C　∵x＜0，∴x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝，即x＝－1時取等號．4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：＋＋≥8.證明：＋＋＝＋＋＝2，∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，∴＋＋≥8.

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高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第一冊電子課本

2.1 相等關(guān)系與不等關(guān)系

版本： 湘教版（2019）

年級： 必修 第一冊

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