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1.2.3　全稱量詞和存在量詞

新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀
核心素養(yǎng)
1.通過已知的數(shù)學(xué)實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義
數(shù)學(xué)抽象
2.能正確使用存在量詞對全稱命題進(jìn)行否定以及真假判別
數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理
3.能正確使用全稱量詞對特稱命題進(jìn)行否定以及真假判別
數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理



觀察下列語句：(1)x＞3；(2)2x＋1是整數(shù)；(3)對所有的x∈R，x＞3；(4)存在一個x∈R，2x＋1是整數(shù)．
[問題]　比較(1)和(3)，(2)和(4)，它們之間有何關(guān)系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知識點一　含有量詞的命題
1．全稱量詞與全稱命題
全稱量詞
“所有的”“任意一個”“一切”“每一個”“任給”等
符號

全稱命題
設(shè)語句p(x)中變量x的取值范圍為集合M，則語句“對M的任一個元素x，有p(x)成立”是命題，叫作全稱命題
形式
“對M中任意一個x，有p(x)成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”
2.存在量詞與特稱命題
存在量詞
“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“對某些”“有的”等
符號

特稱命題
語句“存在M的某個元素x，使p(x)成立”也是命題，叫作特稱命題
形式
“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”


有的命題雖然不含全稱量詞，但實質(zhì)上是全稱命題，同理，有些命題雖然不含存在量詞，但實質(zhì)是特稱命題．　　　　
1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)命題“任意一個自然數(shù)都是正整數(shù)”是全稱命題．(　　)
(2)命題“三角形的內(nèi)角和是180°”是全稱命題．(　　)
(3)命題“梯形有兩邊平行”不是全稱命題．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×
2．下列語句是特稱命題的是________．(填序號)
①任意一個自然數(shù)都是正整數(shù)；
②存在整數(shù)n，使n能被11整除；
③若3x－7＝0，則x＝；
④有些函數(shù)為奇函數(shù)．
答案：②④
知識點二　含量詞命題的否定
1．全稱命題的否定：命題“?x∈I，p(x)”的否定是“x∈I，綈p(x)”即綈(?x，p(x))??x，綈p(x)．
2．特稱命題的否定：命題“?x∈I，p(x)”的否定是“?x∈I，綈p(x)”．即綈(?x，p(x))??x，綈p(x)．
全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．

如何對省略量詞的命題進(jìn)行否定？
提示：對于含有一個量詞的命題，容易知道它是全稱命題或特稱命題．一般地，省略了量詞的命題是全稱命題，可加上“所有的”或“對任意”，它的否定是特稱命題．反之亦然．

1．命題“對任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是________．
答案：?x∈R，x3－x2＋1>0
2.(2021·泰州高一月考)命題“?x∈R，x2＋x＋1≤0”的否定是________________．
答案：?x∈R，x2＋x＋1＞0


全稱命題與特稱命題的判斷
[例1]　(鏈接教科書第19頁例6)判斷下列語句是全稱命題，還是特稱命題：
(1)凸多邊形的外角和等于360°；
(2)矩形的對角線不相等；
(3)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；
(4)有些實數(shù)a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(5)方程3x－2y＝10有整數(shù)解．
[解]　(1)可以改為所有凸多邊形的外角和都等于360°，故為全稱命題．
(2)可以改為所有矩形的對角線都不相等，故為全稱命題．
(3)若一個四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱命題．
(4)含存在量詞“有些”，故為特稱命題．
(5)可改寫為：存在一對整數(shù)x，y，使3x－2y＝10成立，故為特稱命題．

判斷一個語句是全稱命題還是特稱命題的思路

[注意]　全稱命題可能省略全稱量詞，特稱命題的存在量詞一般不能省略．　　　　
[跟蹤訓(xùn)練]
1.(多選)下列語句是特稱命題的是(　　)
A．有的無理數(shù)的平方是有理數(shù)
B．有的無理數(shù)的平方不是有理數(shù)
C．對于任意x∈Z，2x＋1是奇數(shù)
D．存在x∈R，2x＋1是奇數(shù)
解析：選ABD　因為“有的”“存在”為存在量詞，“任意”為全稱量詞，所以選項A、B、D均為特稱命題，選項C為全稱命題．
2．用量詞符號“?”或“?”表述下列命題：
(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；
(2)當(dāng)x為有理數(shù)時，x2＋x＋1也是有理數(shù)；
(3)對所有實數(shù)a，b，方程ax＋b＝0恰有一個解；
(4)有些整數(shù)既能被2整除，又能被3整除．
解：(1)?x∈R，x2＋x＋1>0.
(2)?x∈Q，x2＋x＋1是有理數(shù)．
(3)?a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
(4)?x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.

全稱命題與特稱命題的真假判斷
[例2]　(鏈接教科書第19頁例7)判斷下列命題的真假：
(1)?x∈Z，x30.
[解]　(1)因為－1∈Z，且(－1)3＝－11”的否定是(　　)
A．對任意實數(shù)x，都有x>1
B．不存在實數(shù)x，使x≤1
C．對任意實數(shù)x，都有x≤1
D．存在實數(shù)x，使x≤1
(2)命題“?x∈R，?n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A．?x∈R，?n∈N＋，使得n＜x2
B．?x∈R，?n∈N＋，使得n＜x2
C．?x∈R，?n∈N＋，使得n＜x2
D．?x∈R，?n∈N＋，使得n＜x2
[解析]　(1)利用特稱命題的否定為全稱命題可知，原命題的否定為：對于任意的實數(shù)x，都有x≤1.故選C.
(2)由于特稱命題的否定形式是全稱命題，全稱命題的否定形式是特稱命題，所以“?x∈R，?n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式為“?x∈R，?n∈N＋，使得n＜x2”．故選D.
[答案]　(1)C　(2)D

全稱命題與特稱命題的否定的思路
(1)一般地，寫含有一個量詞的命題的否定，首先要明確這個命題是全稱命題還是特稱命題，并找到量詞及相應(yīng)結(jié)論，然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞， 同時否定結(jié)論；
(2)對于省略量詞的命題，應(yīng)先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再依據(jù)規(guī)則來寫出命題的否定．　　　　
[跟蹤訓(xùn)練]
1．設(shè)x∈Z，集合A為偶數(shù)集，命題“?x∈Z，2x∈A”的否定為(　　)
A．?x∈Z，2x?A　　　　　 B．?x?Z，2x∈A
C．?x∈Z，2x∈A D．?x∈Z，2x?A
解析：選D　全稱命題的否定是特稱命題，即?x∈Z，2x?A.故選D.
2.(2021·蘇州高一月考)設(shè)有下面四個命題：p1：?x∈R，x2＋10；p3：?x∈Z，|x|∈N；p4：?x∈R，x2－2x＋3＝0.其中真命題為(　　)
A．p1 B．p2
C．p3 D．p4
解析：選C　對于A：?x∈R，x2＋1≥1，所以該命題為假命題；對于B：當(dāng)x≤0時，x＋|x|＝0，所以該命題為假命題；對于C：當(dāng)?x∈Z時，|x|均為非負(fù)整數(shù)，所以該命題為真命題；對于D：因為x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≠0，所以該命題為假命題．
3．寫出下列命題的否定并判斷其真假：
(1)有的四邊形沒有外接圓；
(2)某些梯形的對角線互相平分；
(3)被8整除的數(shù)能被4整除．
解：(1)命題的否定：所有的四邊形都有外接圓，是假命題．
(2)命題的否定：每一個梯形的對角線不互相平分，是真命題．
(3)命題的否定：存在一個數(shù)能被8整除，但不能被4整除，是假命題.

已知全稱(特稱)命題的真假求參數(shù)
[例4]　已知命題p：?x∈R，2x≠－x2＋m，命題q：?x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若命題p為假命題，命題q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．
[解]　因為命題p為假命題，所以命題p的否定為真命題，即命題“?x∈R，2x＝－x2＋m”為真命題．
則－x2－2x＋m＝0有實根．
所以Δ＝4＋4m≥0，所以m≥－1.
若命題q：?x∈R，x2＋2x－m－1＝0為真命題，
則方程x2＋2x－m－1＝0有實根，
所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.
所以m≥－1且m≥－2，
所以m的取值范圍為[－1，＋∞)．

已知全稱(特稱)命題的真假求參數(shù)的解題思路
(1)已知全稱命題的真假求參問題，常以一次函數(shù)、二次函數(shù)等為載體進(jìn)行考查，一般在題目中會出現(xiàn) “恒成立”等詞語，解決此類問題時，可構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)范圍，也可用分離參數(shù)法求參數(shù)范圍；
(2)已知特稱命題的真假求參數(shù)范圍的問題中常出現(xiàn)“存在”等詞語，對于此類問題，通常是假設(shè)存在滿足條件的參數(shù)，然后利用條件求參數(shù)范圍，若能求出參數(shù)范圍，則假設(shè)成立；反之，假設(shè)不成立．解決此類問題時，應(yīng)盡量分離參數(shù)．　　　　
[跟蹤訓(xùn)練]
已知命題“?x∈R，ax2＋2x＋1≠0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：題中的命題為全稱命題，因為其是假命題，所以其否定“?x∈R，ax2＋2x＋1＝0”為真命題，即關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0有實數(shù)根．
所以a＝0或即a＝0或a≤1且a≠0，
所以a≤1.
答案：(－∞，1]

1．下列結(jié)論正確的個數(shù)是(　　)
①命題“所有的四邊形都是矩形”是特稱命題；
②命題“?x∈R，x2＋2x2
C．?x∈N，x3x2”的否定形式是特稱命題“?x∈N，x3≤x2”．故選D.
4．命題“有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)”的否定是(　　)
A．?x∈R，|x|>0
B．?x∈R，|x|>0
C．?x∈R，|x|≤0
D．?x∈R，|x|≤0
解析：選C　由詞語“有些”知原命題為特稱命題，故其否定為全稱命題，因為命題的否定只否定結(jié)論，所以選C.
5．已知命題p：?1≤x≤3，都有m≥x，命題q：?1≤x≤3，使m≥x，若命題p為真命題，命題q的否定為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．
解：由題意知命題p，q都是真命題．
由?1≤x≤3，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由?1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，因為兩者同時成立，故實數(shù)m的取值范圍為{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．

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