第2課時　含量詞命題的否定 教材要點要點　含量詞命題的否定命題的類型全稱命題特稱命題命題的符號表示p：?x∈I，p(x)p：?x∈I，p(x)命題的否定的符號表示?p：________________?p：________________命題的否定的類型特稱命題全稱命題狀元隨筆　特稱命題的否定，一般是在存在量詞前加“不”或者把存在量詞改為全稱量詞的同時對判斷詞進行否定，特稱命題的否定是全稱命題；全稱命題的否定，一般是在全稱量詞前加上“并非”，或把全稱量詞改為存在量詞的同時對判斷詞進行否定，全稱命題的否定是特稱命題．基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)用自然語言描述的全稱命題的否定形式是唯一的．(　　)(2)命題?p的否定是p.(　　)(3)?x∈M，p(x)與?x∈M，?p(x)的真假性相反．(　　)(4)對全稱命題或特稱命題進行否定時，量詞不需要變，只否定結(jié)論即可．(　　)2．命題：?n∈N，n2＞3n＋5，則該命題的否定為(　　)A．?n∈N，n2＞3n＋5    B．?n∈N，n2≤3n＋5C．?n∈N，n2≤3n＋5    D．?n∈N，n2＜3n＋53．已知命題p：?x∈R，x2－x＋1＞0，則?p(　　)A．?x∈R，x2－x＋1≤0    B．?x∈R，x2－x＋1≤0C．?x∈R，x2－x＋1＞0    D．?x∈R，x2－x＋1≥04．命題“有些三角形的三條中線相等”的否定是________________________．  題型1　全稱命題的否定例1　(1)命題“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定為(　　)A．對任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，使得x2＜0C．存在x∈R，使得x2≥0D．存在x∈R，使得x2＜0(2)寫出下列全稱命題的否定：①任何一個平行四邊形的對邊都平行．②?a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有實數(shù)根．③?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．④可以被5整除的整數(shù)，末位是0.          方法歸納全稱命題的否定的兩個關(guān)注點(1)寫出全稱命題的否定的關(guān)鍵是找出全稱命題的全稱量詞和結(jié)論，把全稱量詞改為存在量詞，結(jié)論變?yōu)榉穸ǖ男问骄偷玫矫}的否定．(2)有些全稱命題省略了量詞，在這種情況下，千萬不要將否定寫成“是”或“不是”．跟蹤訓練1　(1)設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p：?x∈A，2x∈B，則(　　)A．?p：?x∈A，2x∈B　　　　B．?p：?x?A，2x∈BC．?p：?x∈A，2x?B         D．?p：?x?A，2x?B(2)命題“?x＞0，＞0”的否定是(　　)A．?x＞0，≤0    B．?x＞0，0≤x≤1C．?x＞0，≤0    D．?x＜0，0≤x≤1題型2　特稱命題的否定例2　(1)命題p：?x＞0，x＋＝2，則?p為(　　)A．?x＞0，x＋＝2    B．?x＞0，x＋≠2C．?x≤0，x＋＝2    D．?x≤0，x＋≠2 (2)寫出下列特稱命題的否定，并判斷其真假．①p：存在x∈R，2x＋1≥0.②q：存在x∈R，x2－x＋＜0.③r：有些分數(shù)不是有理數(shù)．       方法歸納特稱命題否定的方法及關(guān)注點(1)方法：與全稱命題的否定的寫法類似，要寫出特稱命題的否定，先確定它的存在量詞，再確定結(jié)論，然后把存在量詞改寫為全稱量詞，對結(jié)論作出否定就得到特稱命題的否定．(2)關(guān)注點：注意對不同的存在量詞的否定的寫法，例如，“存在”的否定是“任意的”，“有一個”的否定是“所有的”或“任意一個”等．跟蹤訓練2　(1)命題“?x∈?RQ，x3∈Q”的否定是(　　)A．?x∈?RQ，x3?QB．?x??RQ，x3∈QC．?x??RQ，x3?QD．?x∈?RQ，x3?Q(2)寫出下列特稱命題的否定，并判斷真假：①?x，y∈Z，3x－4y＝20.②在實數(shù)范圍內(nèi)，有些一元二次方程無解．     題型3　根據(jù)全稱命題、特稱命題的否定求參數(shù)例3　已知命題p：?x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：?x∈R，ax2＋ax＋1≤0.(1)若?p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若?q為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．       變式探究　本例條件不變，若?p與?q同時為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．        方法歸納根據(jù)命題真假求參數(shù)的范圍的兩個關(guān)注點(1)命題和它的否定的真假性只能一真一假，解決問題時可以相互轉(zhuǎn)化．(2)求參數(shù)范圍問題，通常根據(jù)有關(guān)全稱命題和特稱命題的意義列不等式求范圍．跟蹤訓練3　已知命題p：?x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且?p是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．          易錯辨析　對含量詞的命題否定不準確致誤例4　命題“?x＜1，＜1”的否定是________．解析：特稱命題的否定是全稱命題，否定時，既改量詞，又否結(jié)論，∴原命題的否定是?x＜1，0≤x≤1.答案：?x＜1，0≤x≤1易錯警示易錯原因糾錯心得易出現(xiàn)的錯誤是：①改量詞的同時錯改范圍，即寫成?x≥1；②“＜1”的否定寫成“>1”，忽略“＜1”的否定是“0≤x≤1”．牢記命題的否定與原命題的真假性相反，可以以此來檢驗命題的否定是否正確．課堂十分鐘1．命題：“?x≥0，x3＋x≥0”的否定是(　　)A．?x＜0，x3＋x＜0    B．?x＜0，x3＋x≥0C．?x≥0，x3＋x＜0    D．?x≥0，x3＋x≥02．命題p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是(　　)A．有些三角形不是等腰三角形B．所有三角形是等邊三角形C．所有三角形不是等腰三角形D．所有三角形是等腰三角形3．下列四個命題中，真命題是(　　)A．?x∈R，x＋≥2B．?x∈R，x2－x＞5C．?x∈R，|x＋1|＜0D．?x∈R，|x＋1|＞04．命題p：?x∈R，x2＋3x＋2＜0，則命題p的否定為________．5．已知命題“?x∈R，2x2＋3x＋a≤0”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．  生活中的命題及邏輯推理問題     例1　除夕夜，萬家團圓之時，中國人民解放軍陸、海、空三軍醫(yī)療隊馳援武漢．“在疫情面前，我們中國人民解放軍誓死不退！不獲勝利決不收兵！”這里“獲取勝利”是“收兵”的(　　)A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：由題意可得，“獲取勝利”是“收兵”的必要條件．答案：B例2　設(shè)S是由任意n(n≥5)個人組成的集合，如果S中任意4個人當中都至少有1個人認識其余3個人(本題中的認識是相互的，即不存在甲認識乙而乙不認識甲的情況)，那么下面的判斷中正確的是(　　)A．S中沒有人認識S中所有的人B．S中至少有1人認識S中所有的人C．S中至多有2人認識不全S中所有的人D．S中至多有2人認識S中所有的人解析：如果S中所有人都相互認識，顯然這樣的S符合題目條件，從而A，D都是錯誤的；又設(shè)a，b，c是S中的三個人，a，b，c三人間相互不認識，而除a，b，c之外其他(n－3)個人認識所有的人，顯然這樣的集合符合要求，故C是錯誤的．若集合S中任何兩個人不都互相認識，則不妨設(shè)甲、乙互相不認識．任取另外兩個人，設(shè)為丙、?。?/span>依題意知，甲、乙、丙、丁這四個人必有一個人認識其余3個人，顯然，這個人不可能是甲，也不可能是乙，不妨設(shè)為丙，則丙認識丁(當然也認識甲和乙)．再在剩下的人中另取一個人戊，并考慮甲、乙、丙、戊，依題意知丙與戊也必相互認識，從而可知丙認識S中所有的人，故B是正確的．答案：B例3　運動會上，甲、乙、丙三名同學各獲得一枚獎牌，其中1人得金牌、1人得銀牌、1人得銅牌．王老師曾猜測“甲得金牌、乙不得金牌、丙不得銅牌”，結(jié)果王老師只猜對了一人，那么甲、乙、丙分別獲得______、______、______牌．解析：先設(shè)王老師猜對的是“甲得金牌”，則“乙不得金牌”是錯的，故乙也得金牌，產(chǎn)生矛盾．再設(shè)“乙不得金牌”是對的，則“甲得金牌”是錯的，故甲也不得金牌，只有丙得金牌，而“丙不得銅牌”是錯的，故丙得銅牌，產(chǎn)生矛盾．故猜對的是“丙不得銅牌”，此時甲、乙、丙分別得銅、金、銀牌．答案：銅　金　銀例4　住同一房間的四名女生A，B，C，D，在某天下午課外活動時間中，有一人在看書，有一人在梳頭發(fā)，有一人在聽音樂，另外一人在修剪指甲，每個人都做著不一樣的事情，有以下五個命題：(1)A不在修剪指甲，也不在看書；(2)B不在聽音樂，也不在修剪指甲；(3)若C在修剪指甲，則A在聽音樂；(4)D不在看書，也不在修剪指甲；(5)C不在看書，也不在聽音樂．若上面的命題都是真命題，問：她們各自在干什么？解析：由以上五個命題都是真命題，我們可以列表如下： ABCD修剪指甲不在做不在做 不在做看書不在做 不在做不在做梳頭發(fā)    聽音樂 不在做不在做 由表格看出，C在修剪指甲，B在看書，又由命題(3)可知A在聽音樂，最后推出D在梳頭發(fā)．答案：見解析例5　主人邀請張三、李四、王五三個人吃飯，時間到了，只有張三、李四準時赴約，王五打電話說：“臨時有急事，不能去了，”主人聽了，隨口說了句：“該來的沒有來．”張三聽了臉色一沉，起來一聲不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不該走的又走了．”李四聽了大怒，拂袖而去．請你用邏輯學原理解釋二人離去的原因．解析：張三走的原因是：“該來的沒有來”的等價命題是“來了不該來的”，張三覺得自己是不該來的．李四走的原因是：“不該走的又走了”的等價命題是“沒走的應該走”，李四覺得自己是應該走的．答案：見解析  第2課時　含量詞命題的否定新知初探·課前預習要點?x∈I，?p(x)　?x∈I，?p(x)[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．解析：否定為：?n∈N，n2≤3n＋5.故選B.答案：B3．解析：?p：?x∈R，x2－x＋1≤0.故選A.答案：A4．解析：特稱命題的否定為全稱命題，故命題的否定為：“所有三角形的三條中線都不相等．”答案：所有三角形的三條中線都不相等題型探究·課堂解透例1　解析：(1)全稱命題的否定是特稱命題．“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定為“存在x∈R，使得x2<0”．故選D.(2)①存在一個平行四邊形，它的對邊不都平行．②?a∈R，方程x2＋ax＋2＝0沒有實數(shù)根．③?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．④存在被5整除的整數(shù)，末位不是0.答案：(1)D　(2)見解析跟蹤訓練1　解析：(1)全稱命題的否定是特稱命題，將“?”改為“?”，“2x∈B”否定為“2x?B”，即?p：?x∈A，2x?B.故選C.(2)∵>0，∴x<0或x>1，∴命題“?x>0，>0”的否定是“?x>0，0≤x≤1”．故選B.答案：(1)C　(2)B例2　解析：(1)特稱命題的否定是全稱命題，“?x＞0，x＋＝2”的否定為“?x＞0，x＋≠2”．故選B.(2)①任意x∈R，2x＋1<0，為假命題．②任意x∈R，x2－x＋≥0，因為x2－x＋＝≥0，所以是真命題．③一切分數(shù)都是有理數(shù)，是真命題．答案：(1)B　(2)見解析跟蹤訓練2　解析：(1)“?x∈?RQ，x3∈Q”的否定是“?x∈?RQ，x3?Q”．故選D.(2)①該命題的否定：?x，y∈Z，3x－4y≠20，當x＝4，y＝－2時，3x－4y＝20.因此這是一個假命題．②該命題的否定：在實數(shù)范圍內(nèi)，所有的一元二次方程都有解，這是一個假命題．答案：(1)D　(2)見解析例3　解析：(1)因為命題p：?x∈R，ax2＋2x＋1≠0，所以?p：?x∈R，ax2＋2x＋1＝0.因為?p為真命題，所以a＝0，或解得a＝0，或a≤1且a≠0，所以a≤1，即實數(shù)a的取值范圍為{a|a≤1}．(2)因為命題q：?x∈R，ax2＋ax＋1≤0.所以?q：?x∈R，ax2＋ax＋1>0.因為?q為真命題，所以a＝0，或解得a＝0，或0<a<4，所以0≤a<4，即實數(shù)a的取值范圍為{a|0≤a<4}．變式探究　解析：由本例解題過程可知{a|a≤1}≤a<4}＝{a|0≤a≤1}，即實數(shù)a的取值范圍為{a|0≤a≤1}．跟蹤訓練3　解析：?p是假命題即p是真命題．即?x∈{x|－3≤x≤2}，x∈{x|a－4≤x≤a＋5}成立，所以解得－3≤a≤1，所以實數(shù)a的取值范圍為－3≤a≤1.[課堂十分鐘]1．解析：命題“?x≥0，x3＋x≥0”為全稱命題，該命題的否定為“?x≥0，x3＋x<0”．故選C.答案：C2．解析：在寫命題的否定時，一是更換量詞，二是否定結(jié)論．更換量詞：“有些”改為“所有”，否定結(jié)論：“是等腰三角形”改為“不是等腰三角形”，故否定為“所有三角形不是等腰三角形”．故選C.答案：C3．解析：選項A，當x<0時，x＋≥2不成立，所以A錯；選項C，絕對值恒大于等于0，故C錯；選項D，當x＝－1時，|x＋1|＝0，所以D錯．故選B.答案：B4．解析：命題p是特稱命題，根據(jù)特稱命題的否定是改量詞，否結(jié)論，則是?x∈R，x2＋3x＋2≥0.答案：?x∈R，x2＋3x＋2≥05．解析：因為命題“?x∈R，2x2＋3x＋a≤0”是假命題，所以其否定“?x∈R，2x2＋3x＋a>0”是真命題，等價于方程2x2＋3x＋a＝0無實根，所以Δ＝32－4×2×a<0，解得a>.故實數(shù)a的取值范圍是a>. 

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高中數(shù)學湘教版（2019）必修 第一冊電子課本

1.2 常用邏輯用語

版本： 湘教版（2019）

年級： 必修 第一冊

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