授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第15頁
[教材提煉]
知識點(diǎn)一 全稱量詞與全稱量詞命題
eq \a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)
語句(1)“x＞3”；語句(2)“對所有的x∈R，x＞3”，兩者有什么區(qū)別？
知識梳理 (1)短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞(universal quantifier)，并用符合“?”表示．含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題(universal prpsitin)．
常見的全稱量詞還有“一切”“每一個(gè)”“任給”等．
(2)通常，將含有變量x 的語句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表示．那么，全稱量詞命題“對M中任意一個(gè)x，p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)．
知識點(diǎn)二 存在量詞與存在量詞命題
eq \a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)
語句(1)“2x＋1＝3”；語句(2)“存在一個(gè)x∈R，使2x＋1＝3”，兩者有什么區(qū)別？
知識梳理 (1)短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞(existential quantifier)，并用符號“?”表示．含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題(existential prpsitin)．
常見的存在量詞還有“有些”“有一個(gè)”“對某些”“有的”等．
(2)存在量詞命題“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)．
知識點(diǎn)三 含有量詞命題的否定
eq \a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)
“空集是集合A＝{1,2,3}的真子集”與“空集不是集合A＝{1,2,3}的真子集”，兩個(gè)命題有什么關(guān)系？是真是假．
知識梳理 (1)否命題
一般地，對一個(gè)命題進(jìn)行否定，就可以得到一個(gè)新的命題，這一新命題稱為原命題的否定．通常用符號“綈p(x)”表示“p(x)不成立”．
(2)對于含有一個(gè)量詞的全稱量詞命題的否定，有下面的結(jié)論：全稱量詞命題：?x∈M，p(x)．它的否定：?x∈M，綈p(x)．也就是說，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．
(3)對含有一個(gè)量詞的存在量詞命題的否定，有下面的結(jié)論：存在量詞命題：?x∈M，p(x)，它的否定：?x∈M，綈p(x)．也就是說，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．
[自主檢測]
1．下列語句中是全稱量詞的命題有________，是存在量詞命題的有________．
(1)2x＋1是整數(shù)；
(2)對任意一個(gè)x∈Z,2x＋1是整數(shù)；
(3)至少有一個(gè)x∈Z，使2x＋1為整數(shù)；
(4)x∈R，|x|＋1≥1.
答案：(2)(4) (3)
2．判斷下列全稱量詞命題的真假：
(1)每個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是360°；
(2)任何實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根；
(3)?x∈{y|y是無理數(shù)}，x3是無理數(shù)．
答案：(1)真 (2)假 (3)假
3．判斷下列存在量詞命題的真假：
(1)存在一個(gè)四邊形，它的兩條對角線互相垂直；
(2)至少有一個(gè)整數(shù)n，使得n2＋n為奇數(shù)；
(3)?x∈{y|y是無理數(shù)}，x2是無理數(shù)．
答案：(1)真 (2)假 (3)真
4．寫出下列命題的否定：
(1)?n∈Z，n∈Q；
(2)任意奇數(shù)的平方還是奇數(shù)；
(3)每個(gè)平行四邊形都是中心對稱圖形．
答案：(1)?n∈Z，n?Q；
(2)存在一個(gè)數(shù)為奇數(shù)，它的平方不是奇數(shù)；
(3)存在一個(gè)平行四邊形，不是中心對稱圖形．
授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第16頁
探究一 全稱量詞命題、存在量詞命題的判斷
[例1] 判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題：
(1)凸多邊形的外角和等于360°；
(2)有的平行四邊形是菱形；
(3)有一個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)也是合數(shù)；
(4)菱形的對角線互相垂直．
[解析] (2)(3)的存在量詞“有的”“有一個(gè)”為存在量詞命題，(1)(4)是省略了全稱量詞的全稱量詞命題.
判定一個(gè)語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題的步驟
(1)首先判斷語句是否為命題，若不是命題，就當(dāng)然不是全稱量詞命題或存在量詞命題．
(2)若是命題，再分析命題中所含的量詞，含有全稱量詞的命題是全稱量詞命題，含有存在量詞的命題是存在量詞命題．
(3)當(dāng)命題中不含量詞時(shí)，要注意理解命題含義的實(shí)質(zhì)，只有全稱量詞才可省略.
判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題：
(1)負(fù)數(shù)沒有倒數(shù)；
(2)至少有一個(gè)整數(shù)，它既能被2整除；又能被5整除；
(3)?x∈{x|x是無理數(shù)}，x2是無理數(shù)；
(4)x＞7.
答案：(1)(3)(4)為全稱量詞命題
(2)為存在量詞命題
探究二 全稱量詞命題、存在量詞命題的
真假
[例2] 判斷下列命題的真假
(1)梯形的對角線相等；
(2)有些菱形是正方形；
(3)至少有一個(gè)整數(shù)n，n2＋1是4的倍數(shù)．
[解析] (1)假：省略了全稱量詞，如直角梯形的對角線不相等．
(2)真：正方形是菱形的特例．
(3)假：不存在n，使n2＋1是4的倍數(shù)．
1．全稱量詞命題真假的判斷
對于全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”：
(1)要證明它是真命題，需對集合M中每一個(gè)元素x，證明p(x)成立；
(2)要判斷它是假命題，只要在集合M中找到一個(gè)元素x0，使p(x0)不成立即可．(通常舉反例)
2．存在量詞命題真假的判斷
對于存在量詞命題“?x0∈M，p(x0)”：
(1)要證明它是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使p(x0)成立即可．(通常舉正例)
(2)要判斷它是假命題，需對集合M中每一個(gè)元素x，證明p(x)不成立．
下列命題中是假命題的個(gè)數(shù)為________．
(1)每一個(gè)末位是0的整數(shù)都是5的倍數(shù)；
(2)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；
(3)有些實(shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；
(4)存在一個(gè)三角形不是等腰三角形；
答案：0
探究三 含有量詞的命題的否定
[例3] 寫出下列命題的否定，并判斷真假：
(1)p：?x＞1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素?cái)?shù)是奇數(shù)；
(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整數(shù)，末位是0.
[解析] (1)綈p：?x＞1，x2－2x－3≠0.假命題，如x＝3時(shí)，x2－2x－3＝0.
(2)綈p：任意素?cái)?shù)不是奇數(shù)．假命題，如素?cái)?shù)3為奇數(shù)．
(3)是全稱命題，其否定：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．是真命題，如a＝0、b＝0時(shí)，x∈R；a＝0、b≠0，解不存在．
(4)是全稱命題，其否定：存在被5整除的整數(shù)，末位不是0.真命題，如15.
1．全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，對省略全稱量詞的全稱命題可補(bǔ)上量詞后進(jìn)行否定．
2．存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，寫命題的否定時(shí)要分別改變其中的量詞和判斷詞．即p：?x0∈M，p(x0)成立?綈p：?x∈M，綈p(x)成立．
寫出下列存在量詞命題的否定，并判斷其否定的真假．
(1)有些實(shí)數(shù)的絕對值是正數(shù)；
(2)某些平行四邊形是菱形；
(3)?x0，y0∈Z，使得eq \r(2)x0＋y0＝3.
解析：(1)命題的否定是“不存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”，即“所有實(shí)數(shù)的絕對值都不是正數(shù)”．它為假命題．
(2)命題的否定是“沒有一個(gè)平行四邊形是菱形”，即“每一個(gè)平行四邊形都不是菱形”．由于菱形是平行四邊形，因此命題的否定是假命題．
(3)命題的否定是“?x，y∈Z，eq \r(2)x＋y≠3”．當(dāng)x＝0，y＝3時(shí)，eq \r(2)x＋y＝3，因此命題的否定是假命題．
探究四 全稱量詞命題、存在量詞命題的
應(yīng)用
[例4] (1)已知對任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)已知存在實(shí)數(shù)x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
[解析] (1)由于對任意的x∈{x|1≤x≤3}都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.
(2)由于存在實(shí)數(shù)x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.
通過量詞的意義及命題的真假，建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)或方程求解．
?a∈R，|a－1|＝1－a成立，求a的范圍．
解析：由題意得a－1≤0，
∴a≤1.
授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第17頁
借問量詞何處有——無量詞命題的否定eq \x(?數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)
1．量詞的理解
通常量詞被分為兩類：一類是全稱量詞，另一類是存在量詞．全稱量詞，如“所有”“任何”“一切”等，其表達(dá)的邏輯為：“對宇宙間的所有事物X來說，X都是F”．例句：“所有的魚都會游泳”；存在量詞，如“有”“有的”“有些”等，其表達(dá)的邏輯為：“宇宙間至少有一個(gè)事物X，X是F”．例句：“有的工程師是工人出身”．
2．全稱量詞命題與存在量詞命題
判斷一個(gè)命題為全稱量詞命題還是存在量詞命題，關(guān)鍵是看命題中是否有全稱量詞和存在量詞．
這里需要注意的是：有些全稱命題在文字?jǐn)⑹錾峡赡軙÷粤巳Q量詞，例如：(1)“末位是0的整數(shù)，可以被5整除”；(2)“線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”；(3)“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”；(4)“梯形的對角線相等”都是全稱命題，因此在判斷是否為全稱命題時(shí)要注意，這也是為后面學(xué)習(xí)全稱命題的否定打好基礎(chǔ)．
應(yīng)當(dāng)指出，同一個(gè)全稱命題、特稱命題，由于自然語言的不同，可能有不同的表述方法．現(xiàn)列表總結(jié)于下，在實(shí)際應(yīng)用中可以靈活地選擇：
關(guān)鍵量詞的否定
[典例] 寫出下列命題的否定．
(1)若x2＞4，則x＞2.
(2)若m≥0，則x2＋x－m＝0有實(shí)數(shù)根．
(3)可以被5整除的整數(shù)，末位是0.
(4)被8整除的數(shù)能被4整除．
(5)若一個(gè)四邊形是正方形，則它的四條邊相等．
[解析] (1)否定：存在實(shí)數(shù)x0，雖然滿足xeq \\al(2,0)＞4，但x0≤2.或者說：存在小于或等于2的數(shù)x0，滿足xeq \\al(2,0)＞4.(原意表達(dá)為對任意的實(shí)數(shù)x，若x2＞4則x＞2)
(2)否定：雖然實(shí)數(shù)m≥0，但存在一個(gè)x0，使xeq \\al(2,0)＋x0－m＝0無實(shí)數(shù)根．(原意表達(dá)：對任意實(shí)數(shù)m，若m≥0，則x2＋x－m＝0有實(shí)數(shù)根．)
(3)否定：存在一個(gè)可以被5整除的整數(shù)，其末位不是0.
(4)否定：存在一個(gè)數(shù)能被8整除，但不能被4整除．(原意表達(dá)為所有能被8整除的數(shù)都能被4整除)
(5)否定：存在一個(gè)四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等．(原意表達(dá)為無論哪個(gè)四邊形，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等．)
內(nèi) 容 標(biāo) 準(zhǔn)
學(xué) 科 素 養(yǎng)
1.通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例理解全稱量詞與存在量詞的含義．
數(shù)學(xué)抽象
邏輯推理
2.了解全稱量詞命題和存在量詞命題及真假．
3.能正確地對含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.
命題
全稱量詞命題
“?x∈M，p(x)”
存在量詞命題
“?x∈M，p(x)”
表
述
方
式
(1)所有的x∈M，p(x)成立
(1)存在x∈M，使得p(x)成立
(2)對一切x∈M，p(x)成立
(2)至少有一個(gè)x∈M，使p(x)成立
(3)對每一個(gè)x∈M，p(x)成立
(3)對有些x∈M，使p(x)成立
(4)任意一個(gè)x∈M，p(x)成立
(4)對某個(gè)x∈M，使p(x)成立
(5)凡x∈M，都有p(x)成立
(5)有一個(gè)x∈M，使p(x)成立
詞語
是
一定是
都是
大于
小于
且
詞語的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
或
詞語
必有一個(gè)
至少有n個(gè)
至多有一個(gè)
所有x成立
所有x不成立
詞語的否定
一個(gè)也沒有
至多有n－1個(gè)
至少有兩個(gè)
存在一個(gè)x不成立
存在有一個(gè)成立

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