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1.2.2　充分條件和必要條件

新課程標準解讀
核心素養(yǎng)
1.通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質定理與必要條件的關系
數(shù)學抽象、邏輯推理
2.通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關系
數(shù)學抽象、邏輯推理
3.通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學定義與充要條件的關系
數(shù)學抽象、邏輯推理



某居民的臥室里安有一盞燈，在臥室門口和床頭各有一個開關，任意一個開關都能夠獨立控制這盞燈．這就是電器上常用的“雙刀”開關．

[問題]　(1)A開關閉合時B燈一定亮嗎？
(2)從數(shù)學的角度如何描述這種關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知識點一　充分條件和必要條件
命題真假
“若p，則q”是真命題
“若p，則q”是假命題
推出關系
p?q
p q
條件關系
p叫作q的充分條件；q叫作p的必要條件
p不是q的充分條件；q不是p的必要條件



1．判定定理和性質定理與充分條件、必要條件的關系
(1)數(shù)學中的每一條判定定理都給出了相應數(shù)學結論成立的一個充分條件；
(2)數(shù)學中的每一條性質定理都給出了相應數(shù)學結論成立的一個必要條件．
2．充分條件、必要條件的理解
p?q可以理解為若p成立，則q一定也成立，即p對于q的成立是充分的；反過來，若q不成立，則p必不成立，即q對于p的成立是必要的．　　　　

1．p是q的充分條件與q是p的必要條件所表示的推出關系是否相同？
提示：相同，都是p?q.
2．以下五種表述形式：①p?q；②p是q的充分條件；③q的充分條件是p；④q是p的必要條件；⑤p的必要條件是q.這五種表述形式等價嗎？
提示：這五種表述形式是等價的．

1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)“兩角不相等”是“兩角不是對頂角”的必要條件．(　　)
(2)若p是q的充分條件，則p是唯一的．(　　)
(3)若q不是p的必要條件，則“p q”成立．(　　)
(4)“x>1”是“x>0”的充分條件．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.(2021·姜堰二中月考)已知p：－2＜x＜2，q：－1＜x＜2，則p是q的(　　)
A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件
C．充分條件 D．既不充分又不必要條件
解析：選B　已知p：－2＜x＜2，q：－1＜x＜2，∴q?p，但p q，∴p是q的必要不充分條件．
3．(2021·日照高一月考)已知a，b∈R，則“a>b”是“>1”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．必要條件 D．既不充分又不必要條件
解析：選D　當a＝－1，b＝－2時，a>b，但＝1，但ab”是“>1”的既不充分又不必要條件，故選D.
知識點二　充分必要條件(充要條件)
1．定義：如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q．即p既是q的充分條件，又是q的必要條件，此時我們稱p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．當然，此時q也是p的充分必要條件．
2．記法：如果p是q的充要條件，就記作p?q，稱為“p與q等價”，或“p等價于q”．
3．傳遞性：“?”和“?”都具有傳遞性，即
(1)如果p?q，q?s，那么p?s；
(2)如果p?q，q?s，那么p?s．

對充分必要條件的再理解
(1)如果一個命題和它的逆命題都成立，則此命題的條件和結論互為充分必要條件；
(2)p是q的充分必要條件?p成立當且僅當q成立．　　　　

1．若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個相互等價的命題，這種說法對嗎？
提示：正確．若p是q的充要條件，則p?q，即p等價于q.
2．“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？
提示：p是q的充要條件說明p是條件，q是結論；p的充要條件是q說明q是條件，p是結論．

1．(2021·無錫高一月考)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
解析：選C　設A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要條件．
2．設p：“四邊形為菱形”，q：“四邊形的對角線互相垂直”，則p是q的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
答案：A
3．若p是q的充要條件，q是r的充要條件，則p是r的________條件．
答案：充要



充分、必要、充要條件的判斷
[例1]　(鏈接教科書第16頁例3)下列各題中，p是q的什么條件？
(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(2)p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直平分；
(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；
(4)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是平行四邊形．
[解]　(1)因為x＝1或x＝2?x－1＝，x－1＝?x＝1或x＝2，所以p是q的充要條件．
(2)若一個四邊形是正方形，則它的對角線互相垂直平分，即p?q.反之，若四邊形的對角線互相垂直平分，該四邊形不一定是正方形，即q p.
所以p是q的充分不必要條件．
(3)因為xy>0時，x>0，y>0或xb”的充分條件
B．“a2>b2”是“a>b”的必要條件
C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分條件
D．“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分又不必要條件
解析：選CD　對于A，當a＝－5，b＝1時，滿足a2>b2，但是ab，但是a2bc2得c≠0，則a>b成立，即充分性成立，故正確；對于D，當a＝－5，b＝1時，|a|>|b|成立，但是ab，但是|a||b|”是“a>b”的既不充分又不必要條件．故選C、D.
2．已知p，q都是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件．那么：
(1)s是q的什么條件？
(2)r是q的什么條件？
(3)p是q的什么條件？
解：將p，q，r，s的關系作圖表示，如圖所示．
(1)因為q?r?s，s?q，所以s是q的充要條件．
(2)因為r?s?q，q?r，所以r是q的充要條件．
(3)因為p?r?s?q，所以p是q的充分條件.

充分條件與必要條件的應用
[例2]　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．
[解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因為p是q的必要不充分條件，
所以q是p的充分不必要條件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m>0，所以實數(shù)m的取值范圍為{m|00)．
因為p是q的充分不必要條件，
所以或
解得m≥9，
故實數(shù)m的取值范圍是{m|m≥9}．
2．(變設問)本例中p，q不變，是否存在實數(shù)m使p是q的充要條件？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．
解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若p是q的充要條件，則方程組無解．
故不存在實數(shù)m，使得p是q的充要條件．

充分條件與必要條件的應用技巧及求解步驟
(1)應用技巧：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數(shù)的值或取值范圍問題；
(2)求解步驟：先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數(shù)的不等式(組)進行求解．　　　　
[跟蹤訓練]
(2021·揚州中學月考)設集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，則A?(A∩B)的充要條件為________；一個充分不必要條件可為________．
解析：A?(A∩B)?A?B，B＝{x|3≤x≤22}．
若A＝?，則2a＋1>3a－5，解得a

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1.2 常用邏輯用語

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